2022年高中数学学业水平测试必背知识点 4.pdf
高中数学学业水平测试必背知识点必修一一、集合与函数概念并集：由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作： AB 交集：由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作： AB 补集：就是作差。1、集合naaa,.,21的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子有2n2 个. 2、 （1）函数定义域：分母不为0；开偶次方被开方数0；指数的真数属于 R 、对数的真数0 .3、函数的单调性：如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)（）f(x2) ，那么就说f(x) 在区间 D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。4、奇函数：是()( )fxf x-= -，函数图象关于原点对称（若0 x在其定义域内，则(0)0f） ；偶函数： 是()( )fxf x-=，函数图象关于y 轴对称。5、指数幂的含义及其运算性质：（ 1）函数) 10(aaayx且叫做指数函数。（ 2）指数函数(0,1)xyaaa当01a为减函数，当1a为增函数；rsrsaaa；()rsrsaa；()(0,0, ,)rrraba babr sQ。（ 3）指数函数的图象和性质xay0 a 1 图象性质定义域R 值域(0 , +) 定点过定点（ 0，1） ，即 x = 0 时， y = 1 （1） a 1，当 x 0 时， y 1；当 x 0 时， 0 y 1。（2） 0 a 0 时， 0 y 1；当 x 1。单调性在 R 上是减函数在 R 上是增函数对称性xya和xya关于 y 轴对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页奇偶性非奇非偶函数7、对数函数的含义及其运算性质：（1）函数log(0,1)ayx aa叫对数函数。（2）对数函数log(0,1)ayx aa当01a为减函数，当1a为增函数；负数和零没有对数；1 的对数等于0 ：01loga；底真相同的对数等于1：1log aa，（3）对数的运算性质：如果a 0 , a 1 , M 0 , N 0 ，那么：NMMNaaalogloglog；NMNMaaalogloglog；)(loglogRnMnMana。（4）换底公式：)0, 10, 10(logloglogbccaaabbcca且且(5) 对数函数的图象和性质：xyalog0 a 1 图象定义域(0 , +)值域R性质（1）过定点（ 1，0） ，即 x = 1 时， y = 0 （2）在 R 上是减函数（2）在 R 上是增函数（3）同正异负，即0 a 1 , 0 x 1 , x 1 时， log a x 0；0 a 1 或 a 1 , 0 x 1 时， log a x 0 ，0，x)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间2T，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数21Tf，它叫做振动的频率；x叫做相位，叫做初相（即当x0 时的相位）。二、平面向量1、 平面向量的概念：1在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a6方向相同且模相等的向量称为相等向量2、实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( )a;(2) 第一分配律： ( + )a = a+a;(3) 第二分配律：(ba)= a + b. 3、向量的数量积的运算律：(1)ab =ba（交换律） ; (2)（a） b = （ab） =ab =a（b） ;(3) （ba） c=ac +bc.4、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得a = 11e + 22e不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 5、坐标运算 ： （1）设2211,yxbyxa，则2121,yyxxba数与向量的积：1111,yxyxa，数量积：2121yyxxbayxyxsinsin()()()|向左或向右平移个单位00精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页（2） 、设 A、B 两点的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，则1212,yyxxAB.（终点减起点）6、平面两点间的距离公式：（1）,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy（2）向量a的模 |a| ：aaa2|22yx；（3） 、 平面向量的数量积：cosbaba， 注意：00 a，00 a，0)( aa（4） 、向量2211,yxbyxa的夹角，则，（2211,yxbyxa）7、 重要结论： （ 1） 、 两个向量平行：baba/)(R，ba/01221yxyx（2） 、两个非零向量垂直02121yyxxba（3） 、P分有向线段21PP的：设 P （x，y） ，P1（ x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且21PPPP，则定比分点坐标公式中点坐标公式三、空间向量1、空间向量的概念： （空间向量与平面向量相似）1在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a6方向相同且模相等的向量称为相等向量2、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与a方向相同； 当0时，a与a方向相反； 当0时，a为零向量， 记为0a的长度是a的长度的倍3、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：abab；结合律：aa4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线121211xxxyyy121222xxxyyy121222221122cosx xy yxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab6、平行于同一个平面的向量称为共面向量7、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有xy C；或若四点，C共面，则1xyz C xyz8、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b9、对于两个非零向量a和b，若,2a b，则向量a，b互相垂直，记作ab10、已知两个非零向量a和b，则cos,a ba b称为a，b的数量积，记作a b即cos,a ba ba b零向量与任何向量的数量积为011、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,ba b的乘积12、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,e aa eaa e；20aba b；3a baba ba bab与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b13、量数乘积的运算律：1 a bb a；2aba bab；3abca cb c14、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组, ,x y z，使得pxaybzc15、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是, , ,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页, ,a b c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底16、设1e，2e，3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p存在有序实数组, ,x y z，使得123pxeyeze把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e下的坐标，记作, ,px y z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标, ,x y z17、设111,ax y z，222,bxyz，则1121212,abxxyyzz2121212,abxxyyzz3111,axyz4121212a bx xy yz z5若a、b为非零向量，则12121200aba bx xy yz z6若0b，则121212/,ababxxyyzz7222111aa axyz8121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz9111,xy z，222,xyz， 则222212121dxxyyzz18、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则/abababR，异面垂直时0ababa b19、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/abab，0aba b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页20、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量21、法向量的定义：垂直于平面或者垂直于线的向量（方向不管）。22、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa0ana n，/aaanan法向量的计算方法一：已知),(),(222111zyxCAzyxBA，,设面平 ABC的一个法向量为),(zyxn，由n面 ABC 得所以：CAnBAn,; 所以0BAn0CAn即0111zzyyxx0222zzyyxx上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取z（或 x 或 y）等于一个数，可求出另两个未知数，得出平面的一个法向量。方法二：若),(),(222111zyxCAzyxBA，则平面 ABC 的一个法向量为：y1z1z1x1x1y1CABAn( ) y2z2 ，z2x2 ，x2y2=（y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1）立体几何中的向量方法- 距离问题一、求点到平面的距离1 （一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度；2还可以用等积法求距离；3向量法求点到平面的距离. 在PAORt中，又|sinnAPnAPOPOPnAdOPnAdlsin|sinAPdAPd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页|nnAPd（其中AP为斜向量，n为法向量）二、直线到平面的距离转化为点到线的距离：|nnAPd（其中AP为斜向量，n为法向量）三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：|nnAPd（其中AP为斜向量，n为法向量）四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：|nnAPd（其中AP为两条异面直线上各取一点组成的向量，n是与ba,都垂直的向量）例 1如图，在正方体1111DCBAABCD中，棱长为1，E为11DC的中点，求下列问题：（ 1） 求1B到面BEA1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyzD，则),1,1 ,0(),0 ,21, 1(11BAEA，设),(zyxn为面BEA1的法向量则00210011zyyxBAnEAn取1x，得2, 2 zy，)2, 2, 1(n选点1B到面BEA1的斜向量为)0, 1 ,0(11BA得点1B到面BEA1的距离为32|11nnBAd（2）求CD1到面BEA1的距离；)2 , 2, 1() 1(:1nBEA的法向量知平面由解)0 ,0, 1 (11AD斜向量OPnAdAaPbndABCD1A1B1C1DEyzxABCD1A1B1C1DEyzx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页31|1111nnADdBEAD的距离为到面点(3) 求面DBA1与面11CBD的距离；) 1 , 1 , 1(:11ACnBDA的法向量为由图知平面解)0 ,0, 1 (11AD又斜向量31|1111nnADdBDAD的距离为到面点33111的距离为与即面CBDBDA(4) 求异面直线BD1与EA1的距离 . xyzD系如图建立空间直角坐标解 :) 1, 1 , 1(),0 ,21, 1(11BDEABDEAzyxn11,),(是与设都垂直的向量，则xzxyBDnEAn320011，取1x，得一个法向量为)3, 2, 1(n选11BDEA与的两点向量)0, 0, 1(11AD得11BDEA与的距离为1414|11nnADd练习 1：1 如图在直三棱柱111CBAABC中，1BCAC, 90ACB，21AA， 求点1B到面BCA1的距离 . ABCD1A1B1C1DEyzxABCD1A1B1C1DEyzx111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE则B1A1BC1AC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页2已知棱长为1 的正方体1111DCBAABCD，求平面11CDA和平面CAB1间的距离3已知棱长为1 的正方体1111DCBAABCD，求直线1DA和AC间的距离。4已知棱长为1 的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是11CB和11DC的中点，求点1A到平面DBEF的距离。5 如 图 在 直 三 棱 柱111CBAABC中 ，1CABCAC，21AA，求点1B到面BCA1的距离 . ADCB1A1C1B1DADCB1A1C1B1D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页6在直三棱柱111ABCABC中，90A，1,O O G分别为111,BC BCAA的中点，且12A BA CA A（） 求1O到面11ACB的距离； （22）（） 求BC到面11GBC的距离 （2 63）立体几何中的向量方法-空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角（）求异面直线所成的角设a、b分别为异面直线 a、b 的方向向量 ,则两异面直线所成的角=arccos|a bab（）求线面角设l是斜线 l 的方向向量，n是平面的法向量，则斜线 l 与平面所成的角=arcsin| |l nln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页（）求二面角法一、在内al，在内bl，其方向如图，则二面角l的平面角=arccos| |a bab法二、设12,n n是二面角l的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l的平面角=1212arccos|n nnn例如图，在棱长为的正方体1111ABCDABC D中，E、F 分别是棱1111,AD AB的中点（）求异面直线1DEFC与所成的角；（II）求1BC和面 EFBD 所成的角；（III ）求1B到面 EFBD 的距离解： （）记异面直线1DEFC与所成的角为，则等于向量1DEFC与的夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系Dxyz，11| |111111cos|()()| |222|,arccos5555DEFCDEFCDDDEFBB CDEFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页则(1,0,2)DE，(2,2,0)DB设面EFBD的法向量为( , ,1)nx y由00DEnDB n得( 2,2,1)n又1( 2,0,2)BC记1BC和面 EFBD 所成的角为则1112sin|cos,| |2|BCnBC nBCn1BC和面 EFBD 所成的角为4（III ）点1B到面 EFBD 的距离等于向量1BB在面 EFBD 的法向量上的投影的绝对值，1|BB ndn13例 2如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱ABCDPD底面，DCPD，点E是PC的中点，作PBEF交PB于点F. （1）求证：EDBPA平面/；（2）求证：EFDPB平面（3）求二面角DPBC的大小 . 练习：在正四面体SABC中，棱长为 a，E,分别为 SA 和 BC 的中点，求异面直线 BE 和 SF所成的角（2arccos3）AEDCBPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页在边长为的菱形ABCD 中，60ABC，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后 BD，求二面角BACD的余弦值（13）典型例题： 1已知正方体ABCD A1B1C1D1中， E 为 C1D1的中点，则异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值为。 2在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形， ACB=90，平面， EF，. = . （）若是线段的中点，求证：平面; （）若= ,求二面角 - -的大小 3.如图，在五棱锥P ABCDE 中，PA平面 ABCDE ，AB/CD ，AC/ED ，AE/BC ，42,22,45AEBCABABC，三角形PAB 是等腰三角形。（）求证：平面PCD 平面 PAC；（）求直线PB 与平面 PCD 所成角的大小；（）求四棱锥PACDE 的体积。必修五 ：一、解三角形： （1）三角形的面积公式：AbcBacCabSsin21sin21sin21：（2）正弦定理：CRcBRbARaRCcBbAasin2sin2,sin2,2sinsinsin，边用角表示：（3） 、余弦定理：)1 (2)(cos2cos2cos22222222222cocCabbaCabbacBaccabAbccba（4）求 角：abcbaCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos222222222二. 数列1、数列的前n 项和：nnaaaaS321； 数列前 n 项和与通项的关系：111(1)(2)nnnaS naSSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页2()2abab2、等差数列： （1） 、定义 ：等差数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数)(1daann；（2） 、通项公式 ：dnaan)1(1（其中首项是1a，公差是d； ）（3） 、前 n 项和：nSdnnnaaandnan2)1(2)()0(111（d0）（4） 、等差中项：A是a与b的等差中项：或baA2，三个数成等差常设：a-d，a，a+d3、等比数列： （1） 、定义 ：等比数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数)(1qaann（0q） 。（2） 、通项公式：11nnqaa（其中：首项是1a，公比是q）（3） 、前 n 项和：（4） 、等比中项：G是a与b的等比中项： ，即abG2（或abG，等比中项有两个）三：不等式1、重要不等式： （1）,a bR222abab或 (当且仅当ab 时取“ =”号 ) 2、均值不等式： （2）, a bR2abab或( 当且仅当ab 时取“ =”号 ) 一正、二定、三相等注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；2abA111,(1)(1), (1)11nnnnaqSaa qaqqqqGbaG222abab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页
