2022年高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳 .pdf

1 平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量 ：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。2. 向量的模 ：向量的大小或长度，记作：|AB或|a。3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。假设e是单位向量，则| 1e。4. 零向量 ：长度为0 的向量。记作：0。 【0方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量共线向量 ：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。ABBA。8. 三角形法则：ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB指向被减数9. 平行四边形法则：以,a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。10. 共线定理 ：/ /abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。11. 基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底。12. 向量的模： 假设( , )ax y，则22|axy，22|aa，2|()abab13. 数量积与夹角公式：| |cosa bab；cos| |a bab14. 平行与垂直：1221/ /ababx yx y；121200aba bx xy y题型 1. 基本概念判断正误：1共线向量就是在同一条直线上的向量。2假设两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。3 与已知向量共线的单位向量是唯一的。4 四边形 ABCD 是平行四边形的条件是ABCD。5假设ABCD，则 A 、 B、C、D四点构成平行四边形。6假设a与b共线，b与c共线，则a与c共线。7假设mamb，则ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 8假设mana，则mn。9假设a与b不共线，则a与b都不是零向量。10假设| |a bab，则/ /ab。11假设| |abab，则ab。题型 2. 向量的加减运算1. 设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km ”, 则|ab。2. 化简()()ABMBBOBCOM。3. 已知| 5OA,| 3OB, 则|AB的最大值和最小值分别为、。4. 已知ACABAD为与的和向量，且,ACa BDb，则AB，AD。5. 已知点 C在线段 AB上，且35ACAB, 则ACBC，ABBC。题型 3. 向量的数乘运算1. 计算：2(253 )3( 232 )abcabc2. 已知(1, 4),( 3,8)ab，则132ab。题型 4 根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB AC，表示AD。2. 在平行四边形ABCD中，已知,ACa BDb，求ABAD和。题型 5. 向量的坐标运算1. 已知(4,5)AB，(2,3)A，则点B的坐标是。2. 已知( 3, 5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是。3. 假设物体受三个力1(1,2)F,2( 2,3)F,3( 1, 4)F,则合力的坐标为。4. 已知( 3,4)a，(5,2)b，求ab，ab，32ab。5. 已知(1,2),(3,2)AB, 向量(2,32)axxy与AB相等，求,x y的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 6. 已知(2,3)AB，(, )BCm n，( 1,4)CD，则DA。7. 已知O是坐标原点，(2,1),( 4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。题型 6. 判断两个向量能否作为一组基底1. 已知12,e e是平面内的一组基底，判断以下每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeee和 B.1221326eeee和4 C.122133eeee和 D.221eee和2. 已知(3,4)a，能与a构成基底的是A.3 4(,)5 5 B.4 3(,)5 5 C.34(,)55 D.4( 1,)3题型 7. 结合三角函数求向量坐标1. 已知O是坐标原点，点A在第二象限，|2OA，150 xOA，求OA的坐标。2. 已知O是原点，点A在第一象限，| 4 3OA，60 xOA，求OA的坐标。题型 8. 求数量积1. 已知| 3,| 4ab，且a与b的夹角为60，求 1a b， 2()aab，31()2abb， 4(2) (3 )abab。2. 已知(2,6),( 8,10)ab，求 1|,|ab， 2a b， 3(2)aab，4(2) (3 )abab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 题型 9. 求向量的夹角1. 已知| 8,| 3ab，12a b，求a与b的夹角。2. 已知(3,1),( 2 3,2)ab，求a与b的夹角。3. 已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。题型 10. 求向量的模1. 已知| 3,| 4ab，且a与b的夹角为60，求 1|ab， 2|23 |ab。2. 已知(2,6),( 8,10)ab，求 1|,|ab， 5|ab， 61|2ab。3. 已知| 1 |2ab，|32 |3ab，求|3|ab。题型 11. 求单位向量【与a平行的单位向量：|aea】1. 与(12,5)a平行的单位向量是 2.与1( 1,)2m平行的单位向量是。题型 12. 向量的平行与垂直1. 已知(1,2)a，( 3,2)b， 1k为何值时，向量kab与3ab垂直？ 2k为何值时向量kab与3ab平行？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 2. 已知a是非零向量，a ba c，且bc，求证：()abc。题型 13. 三点共线问题1. 已知(0,2)A，(2, 2)B，(3,4)C，求证：,A B C三点共线。2. 设2(5 ),28 ,3()2ABabBCab CDab，求证：ABD、 、三点共线。3. 已知2 ,56 ,72ABab BCab CDab，则一定共线的三点是。4. 已知(1, 3)A，(8, 1)B，假设点(21,2)Caa在直线AB上，求a的值。5. 已知四个点的坐标(0,0)O，(3,4)A，( 1,2)B，(1,1)C， 是否存在常数t， 使OAtOBOC成立？题型 14. 判断多边形的形状1. 假设3ABe，5CDe，且| |ADBC, 则四边形的形状是。2. 已知(1,0)A，(4,3)B，(2, 4)C，(0,2)D，证明四边形ABCD是梯形。3. 已知( 2,1)A，(6, 3)B，(0,5)C，求证：ABC是直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 4. 在平面直角坐标系内，( 1,8),( 4,1),(1,3)OAOBOC, 求证：ABC是等腰直角三角形。题型 15. 平面向量的综合应用1. 已知(1,0)a，(2,1)b，当k为何值时，向量kab与3ab平行？2. 已知(3,5)a，且ab，|2b，求b的坐标。3. 已知ab与同向，(1,2)b，则10a b，求a的坐标。4. 已知(1,2)a，(3,1)b，(5,4)c，则cab。5. 已知(,3)am，(2,1)b， 1假设a与b的夹角为钝角，求m的范围；2假设a与b的夹角为锐角，求m的范围。6. 已知(6,2)a，( 3,)bm，当m为何值时，1a与b的夹角为钝角？2a与b的夹角为锐角？7. 已知梯形ABCD的顶点坐标分别为( 1,2)A，(3,4)B，(2,1)D， 且/ /ABDC，2ABCD，求点C的坐标。8. 已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A，(0,0)B，( ,0)C c，1假设0AB AC，求c的值；2假设5c，求sin A的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页