2022年高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结 .pdf

1 平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或 a。2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： |AB 或|a 。3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。若 e是单位向量，则 | | 1e。4. 零向量 ：长度为 0 的向量。记作： 0。 【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。ABBA。8. 三角形法则：ABBCAC ； ABBCCDDEAE； ABACCB （指向被减数）9. 平行四边形法则 ：以,a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab， ab。10. 共线定理 ：/ /abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12. 向量的模： 若( , )ax y ，则22|axy，22|aa，2|()abab13. 数量积与夹角公式：| | |cosa bab；cos| | |a bab14. 平行与垂直：1221/ /ababx yx y ；121200aba bx xy y题型 1. 基本概念判断正误 ：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是ABCD 。（5）若 ABCD ，则 A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若 a与 b共线，b与 c共线，则 a与c共线。（8）若 mamb，则 ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 （9）若 mana ，则 mn 。（10）若 a与 b不共线，则 a与 b都不是零向量。（11）若| | |a bab ，则/ /ab。（12）若 | |abab ，则 ab。题型 2. 向量的加减运算1. 设a表示“向东走 8km ”, b 表示“向北走 6km ”, 则|ab。2. 化简 ()()ABMBBOBCOM。3. 已知| 5OA, | 3OB, 则|AB 的最大值和最小值分别为、。4. 已知 ACABAD为与的和向量，且,ACa BDb，则AB，AD。5. 已知点 C在线段 AB上，且35ACAB, 则 ACBC ，ABBC。题型 3. 向量的数乘运算1. 计算： （1）3()2()abab（2） 2(253 )3( 232 )abcabc2. 已知(1 , 4),( 3,8)ab，则132ab。题型 4. 作图法球向量的和已知向量,a b，如下图，请做出向量132ab和322ab。ab题型 5. 根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB AC，表示AD。2. 在平行四边形ABCD中，已知,ACa BDb ，求 ABAD和。题型 6. 向量的坐标运算1. 已知(4,5)AB，(2,3)A，则点B的坐标是。2. 已知( 3, 5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是。3. 若物体受三个力1(1,2)F,2( 2,3)F,3( 1, 4)F, 则合力的坐标为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 4. 已知( 3,4)a，(5,2)b，求 ab ， ab ，32ab 。5. 已知(1,2),(3,2)AB, 向量(2,32)axxy与AB相等，求, x y的值。6. 已知(2,3)AB，(, )BCm n ，( 1,4)CD，则DA。7. 已知O是坐标原点，(2,1),( 4,8)AB，且30ABBC，求 OC 的坐标。题型 7. 判断两个向量能否作为一组基底1. 已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeee和 B.1221326eeee和4 C.122133eeee和 D.221eee和2. 已知(3,4)a，能与a构成基底的是（）A.3 4(,)5 5 B.4 3(,)5 5 C.34(,)55 D.4( 1,)3题型 8. 结合三角函数求向量坐标1. 已知O是坐标原点，点A在第二象限， |2OA，150 xOA，求 OA的坐标。2. 已知O是原点，点A在第一象限， | 4 3OA，60 xOA，求 OA的坐标。题型 9. 求数量积1. 已知| 3,| 4ab，且a与 b 的夹角为60，求（ 1） a b ， （2）()aab ，（3）1()2abb， （4） (2) (3 )abab 。2. 已知(2, 6),( 8,10)ab， 求 （1）|,|ab ， （2）a b ，（3）(2)aab ， （4）(2) (3 )abab 。题型 10. 求向量的夹角1. 已知| 8,| 3ab，12a b，求a与b 的夹角。2. 已知( 3,1),( 2 3,2)ab，求a与 b 的夹角。3. 已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 题型 11. 求向量的模1. 已知| 3,| 4ab，且a与 b 的夹角为60，求（ 1）|ab ， （2）|23 |ab 。2. 已知(2, 6),( 8,10)ab，求（1）|,|ab ， （5）|ab ， （6）1|2ab。3. 已知| 1 | 2ab，|32 | 3ab，求 |3|ab 。题型 12. 求单位向量【与 a平行的单位向量：|aea】1. 与(12,5)a平行的单位向量是。2. 与1( 1, )2m平行的单位向量是。题型 13. 向量的平行与垂直1. 已知(6,2)a，( 3,)bm ，当 m为何值时，（1）/ /ab？（2） ab ？2. 已知(1,2)a，( 3,2)b， （1）k为何值时，向量 kab 与3ab 垂直？（2）k为何值时，向量 kab 与3ab 平行？3. 已知a是非零向量， a ba c ，且 bc ，求证：()abc 。题型 14. 三点共线问题1. 已知(0,2)A，(2, 2)B，(3,4)C，求证：,A B C三点共线。2. 设2(5 ),28 ,3()2ABabBCab CDab，求证：ABD、 、三点共线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 3. 已知2 ,56 ,72ABab BCab CDab，则一定共线的三点是。4. 已知(1, 3)A，(8, 1)B，若点(21,2)Caa在直线AB上，求 a 的值。5. 已知四个点的坐标(0,0)O，(3,4)A，( 1,2)B，(1,1)C，是否存在常数 t，使 O A tOBO C成立？题型 15. 判断多边形的形状1. 若3ABe，5CDe，且 | |ADBC , 则四边形的形状是。2. 已知(1,0)A，(4,3)B，(2,4)C，(0,2)D，证明四边形ABCD是梯形。3. 已知( 2,1)A，(6,3)B，(0,5)C，求证：ABC是直角三角形。4. 在平面直角坐标系内，( 1,8),( 4,1),(1,3)OAOBOC, 求证：ABC是等腰直角三角形。题型 16. 平面向量的综合应用1. 已知(1,0)a，(2,1)b，当k为何值时，向量 kab 与3ab 平行？2. 已知( 3, 5)a，且 ab ， | 2b，求 b 的坐标。3. 已知 ab与 同向，(1,2)b，则10a b，求 a的坐标。3. 已知(1,2)a，(3,1)b，(5,4)c，则cab 。4. 已知(5,10)a，( 3, 4)b，(5,0)c，请将用向量,a b 表示向量c。5. 已知(,3)am，(2, 1)b， （1）若a与 b 的夹角为钝角，求 m 的范围；（2）若a与 b 的夹角为锐角，求 m的范围。6. 已知(6,2)a，( 3,)bm ，当 m为何值时， （1）a与 b 的夹角为钝角？（ 2）a与b 的夹角为锐角？7. 已知梯形ABCD的顶点坐标分别为( 1,2)A，(3,4)B，(2,1)D，且/ /ABDC，2ABCD，求点C的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 8. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为(2,1)A，( 1,3)B，(3,4)C， 求第四个顶点D的坐标。9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度。10. 已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A，(0,0)B，( ,0)C c，（1）若0AB AC，求 c的值； （2）若5c，求sin A的值。【备用】1. 已知| 3,| 4,| 5abab，求 |ab 和向量,a b的夹角。2. 已知 xab，2yab，且 | | 1ab， ab，求,x y的夹角的余弦。1. 已知(1 ,3),( 2, 1)ab，则 (32 ) (25 )abab。4. 已知两向量(3,4),(2, 1)ab，求当 axbab与垂直时的 x 的值。5. 已知两向量(1,3),(2,)ab， ab与 的夹角为锐角，求的范围。变式： 若( ,2),( 3,5)ab，ab与 的夹角为钝角，求的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1. 代入验证法例：已知向量(1 ,1),(1, 1),( 1, 2)abc，则 c（）A.1322ab B.1322ab C.3122ab D.3122ab变式： 已知(1,2),( 1,3),( 1,2)abc，请用,a b表示 c。2. 排除法例：已知 M是ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（）A. AMMBBC B.3AMAC C.ABBCAC D.AMBMCM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 广东省近八年高考试题-平面向量（理科）1.(2007年高考广东卷第 10小题) 若向量 a、b满足|a|=|b|=1， a与b的夹角为120，则a aa b2.(2008年高考广东卷第3 小题) 3.已知平面向量a=（1，2） ，b=（2，m） ，且ab，则 2a+ 3b=（）A. （5，10）B. （4，8）C. （3，6）D. （2，4）4.(2009年高考广东卷第3 小题) 已知平面向量 a=,1x（），b=2, x x（） ， 则向量ab=（）A 平行于 x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于 y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线5. (2010 年高考广东卷第5 小题)若向量a= （1,1） ，b= （2,5） ，c=(3,x)满足条件(8ab) c=30，则 x= ( )A6 B5 C4 D3 6.(2011年高考广东卷第3 小题)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)abc若为实数 ,() / / ,abc则() A14B.12C.1 D. 2 7.(2012年高考广东卷第3 小题) 8若向量(2,3)BA，(4,7)CA，则BC（）A( 2, 4)B(3,4)C(6,10)D( 6,10)9.(2012 年高考广东卷第8 小题)对任意两个非零的平面向量,，定义若平面向量,a b满足0ab，a与b 的夹角0,4，且和都在集合|2nnZ中，则a bA12B1C32D52精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 10. （2014广东省高考数学理科12）已知向量1,0, 1 ,a则下列向量中与 a成60 夹角的是A （-1,1,0 ） B.（1,-1,0 ） C.（0,-1,1 ） D.（-1,0,1 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页