2022年高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-5 .pdf
【练习 58（2005 浙江）如图，在三棱锥PABC中，,ABBC ABBCkPA，点 O，D分别为 AC ，PC的中点，OP平面ABC求证： OD/平面 PAB 证明：,O DQ分别为 AC 、PC的中点/,ODPA又PA平面,PAB,/PAPAB ODPABODPAB平面平面平面【易错点 59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。例 59、如图，在正方体1111ABCDA B C D中， M 、N、P分别是11111,C C B C C D的中点，求证：平面 MNP/平面1A BD【易错点分析】本题容易证得MN/1A D,MP/BD ，而直接由此得出面1/MNPA BD面解析：连结111,B DB CP NQ分别是1111,D CB C的中点，11/,PNB D11/,/B DBDPNBD又11,/PNABDPNA BD面平面同理：1/,MNA BDPNMNNI平面又1/DMNA BD平面平面。【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的条件缺一不可。【练 59】正方体1111ABCDA B C D中， （1）M ，N分别是棱1111,A BA D的中点， E、F 分别是棱1111,B C C D的中点，求证：E、F、B、D共面；平面 AMN/平面 EFDB 平面11AB D/ 平面1C BD证明： （1）1111/,/,EFB DB DBDEFBDQ则 E、F、B 、D共面。易证： MN/EF，设1111,ACMNP ACEFQ ACBDOIII/,/PQAO PQAOPAOQQ/AMNEFDB平面平面连结 AC ，1111ABCDA B C DQ为正方体，ACDB11,AAABCDACBDQ平面，同理可证11ACBC于是得111!1,ACC BDACABD平面同理可证平面111/AB DC BD面面【易错点 60】求异面直线所成的角，若所成角为090，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要C B A P D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页方法。例 60、 （2001 全国 9）在三棱柱111ABCA B C中，若12ABBB，则11ABC B与所成角的大小为（）A、060 B 、090 C 、0105 D 、075【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。解析：如图1,DD分别为11,B C BC中点，连结1,AD D C，设11,2BBAB则则 AD为1AB在平面1BC上的射影。又11322,cos,323BCBEBDC BCBC22212cosDEBEBDBE BDC BC1132212323263而2220111,90362BEDEBDBED11ABC B与垂直。【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如090时，可以采用证明垂直的方法来求之。【练 60】 （2005 年浙江 12）设 M ，N是直角梯形ABCD 两腰的中点，DEAD于 E （如图），现将ADE沿 DE折起，使二面角ADEB为045，此时点 A在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M ，N的连线与 AE所成的角的大小等于。解析：易知0045 ,90 ,AEBABEABBE取AE中点Q ，连MQ ，BQ11/,/,22MQDE MQDE DEBC DEBCQ，N为 BC的中点/,/MQBN MQBNBQMN,BQAEMNAEQ，即 M ，N连线与 AE成090角。【易错点 61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。例 61、如图，在棱长为1 的正方体1111ABCDA B C D中， M ，N，P 分别为1111,A BBB CC的中点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页求异面直线1,D PAM CNAM与与所成的角。 易错点分析 异面直线所成角的范围是000 ,90，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。解析：如图，连结1A N，由,N P为11,BB CC中点，则1111/,PNA D PNA D从而11/A ND P故 AM和1D P所成的角为1AMD P和所成的角。易证1Rt AAM11Rt A B N。所以1A NAM，故1D PAM与所成的角为090。又设 AB的中点为 Q ，则11/,.B QAM B QAM又11/,CNB P CNB PQ从而 CN与 AM所成的角就是1PB Q（或其补角）。易求得1156,.22B QB PPQ在1PB Q中，由余弦定理得12cos5PB Q，故CNAM与所成的角为2arccos5。【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：00090；直线与平面所成角的范围：00090；二面角的平面角的取值范围：000180。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹角的联系与区别。【练 61】 （济南统考题）已知平行六面体ABCD-1111A B C D中，底面ABCD是边长为 1 的的正方形，侧棱1AA的长为 2，且侧棱1AA和AB与AD的夹角都等于120， （1）求对角线1AC的长（ 2）求直线1BD与AC的夹角值。答案： （1）2（2）3arccos3（提示采用向量方法，以1AAuu ur、ABuuu r、ADuuu r为一组基底，求得13cos,3BDACuuuu r uu u r故两异面直线所成的角的余弦值为33）【易错点 62】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆。例 62、如图，在北纬045的纬线圈上有B两点，它们分别在东经070与东经D C B A A1 D1 B1 C1 N M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页0160的经度上，设地球的半径为R，求 B两点的球面距离。【易错点分析】求A、B 两点的距离，主要是求B两点的球心角的大小，正确描述纬线角和经度角是关键。解析：设北纬045圈的圆心为O，地球中心为O ，则00011607090 ,AO B0145 ,OBOOBR112,2O BO AR ABR连结,AO AB，则0,60AOBOABRAOB11263ABRR。故 A、B两点间的球面距离为13R。【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（00经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图：图（ 1） ：经度 P点的经度，也是ABAOB或的度数。图（ 2） ：纬度 P点的纬度，也是POAPA 或的度数。【练 62】 （2005 高考山东卷）设地球的半径为R，若甲地位于北纬45东经120，乙地位于南纬75东经120，则甲、乙两地的球面距离为（）（A）3R（B ）6R（C）56R（D）23R答案： D如图所示东经120o与北纬45o线交于 A点东经120o与南纬75o线交于 C点, 设球心为 B点从而45ABCo,75DBCo即120ABDo以 B 点为圆心过 A、C、D的大圆上ACD即为所求 .ACD12022.3603RRoo【易错点 63】向量知识在立体几何方面的应用例 63、 如图 , 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中， ABAD2， DC23，AA13，ADDC，ACBD, 垂足未 E， （I）求证： BDA1C； （II）求二面角 A 1BDC 1的大小；（III ）求异面直线AD 与 BC 1所成角的大小【易错点分析】本题主要考查学生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.学生在解题中一方面不能根据条件建立恰当的空间坐标系，另一方面建系后学生不能正确找到点的坐标.或者没有运用向量知识解决问题的意识。东经 120o南纬 75o北纬 45oBACDEB1C1CAA1D1DF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页解析：解法一： （I）在直四棱柱1111ABCDA B C D中, 1A AQ底面ABCD, AC是1AC在平面ABCD上的射影 . ,BDACQ1.BDAC（II ）连结1111,.A E C E AC与（ I）同理可证11,BDA E BDC E11A EC为二面角11ABDC的平面角 . ,ADDCQ11190 ,oA D CADC又111112,2 3,3,ADADDCDCAA且,ACBD11114,1,3,2,2 3,ACAEECAEC E在11A EC中, 222111111,90 ,oACA EC EA EC即二面角11ABDC的大小为90o.（III ）过 B 作ADBF交AC于F,连结1,FC则1C BF就是AD与1BC所成的角 . 2,1,2,1,2,ABADBDAC AEBFEFFCBCDCQ117,15.FCBC在1BFC中,1115471515cos,arccos,552.2. 15C BFC BF即异面直线AD与1BC所成角的大小为15arccos.5解法二：（I）同解法一 . （II ）如图 ,以 D 为坐标原点 ,1,DA DC DD所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 , 连结1111,.A E C E AC与（ I）同理可证 ,11,BDA E BDC E11A EC为二面角11ABDC的平面角 . 1133(2,0,3),(0,2 3,3),(,0),22ACE由得1113333(,3),(,3).2222EAEC11111139.30.,.44EA ECEAECEAEC即二面角11ABDC的大小为90o. （II ）如图 ,由1111111(0, 0, 0),(2, 0, 0),(0,23,3),(3,3, 0),(2, 0, 0),(3,3,3).6,|2,|15,.615cos,.5215|DACBADBCADBCADBCADBCADBCADBC得XYZEB1C1CBAA1D1D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页异面直线AD与1BC所成角的大小为15arccos.5解法三：（I）同解法一 . （II ）如图 ,建立空间直角坐标,坐标原点为E. 连结1111,A E C E AC与（ I）同理可证 ,11,BDA E BDC E11A EC为二面角11ABDC的平面角 . 由11(0,0,0),(0,1,3),(0,3,3).EAC得1(0,1, 3),(0,3,3).EAEC111111.330,EA.EA ECEAECECQ即二面角11ABDC的大小为90 .o（III ）如图 ,由1(0, 1,0),(3,0,0),( 3,0,0),(0,3,3).ADBC得1(3,1, 0),(3,3,3).ADBC11111.615.336,|2,|15,cos,.52 15|AD BCAD BCADBCAD BCADBCQ异面直线AD与1BC所成角的大小为15arccos.5【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想 .向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、 射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？YZXEB1C1CBAA1D1D精选学习资料 - 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