2022年高二数学-选修1-1-第三章《导数及其应用》师用教案1 .pdf

第 1 页 共 12 页选修 1-1 第三章导数及其应用3 .1 变化率与导数【知识要点】导数的定义：0000000limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx导数的几何意义：函数yfx在点0 x处的导数，就是曲线yfx在点00,P xfx处的切线的斜率求导数的三个步骤： 1求函数的增量00yfxxfx； 2求平均变化率00fxxfxyxx； 3取极限，得导数00limxyfxx【例题精讲】【例 1】利用导数的定义求函数2yx的导数，并求该函数在x=3 处的导数值【例 2】已知曲线1+yxx，及该曲线上的一点52,2A，1用导数的定义求点A 处的切线的斜率；2求点 A 处的切线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页第 2 页 共 12 页【例 3】质点 M 按规律22+3st作直线运动位移单位：cm，时间单位： s，求质点M 在 t=2秒时的瞬时速度【例 4】已知fx在 x=a 处可导，且fab，求以下极限：103lim2hfahfahh；220limhfahfah【基础达标】1在导数的定义中，自变量x 的增量xA大于 0 B小于 0 C等于 0 D不等于 0 2在曲线2+1yx的图象上取一点1，2及邻近一点1+x，2+y，则yx为A12xxB12xxC2xD12+ xx3一直线运动的物体，从时间t 到tt时，物体的位移为s，那么0limtst为A从时间 t 到tt时，物体的平均速度B时间 t 时该物体的瞬时速度C当时间为t时该物体的速度D从时间t 到tt时位移的平均变化率4已知一物体的运动方程是21stt其中位移单位：m，时间单位： s，那么该物体在3s 时的瞬时速度是A5m/sB6m/sC7m/sD8m/s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页第 3 页 共 12 页5设函数fx在0 x处可导，则000limxfxxfxx等于A0fxB0fxC0fxD0fx6假设0002lim13xfxxfxx，则0fx等于7抛物线214yx在点 P2，1处的切线方程是15 DCBAB6、327、xy 1=0 【能力提高】8用导数的定义求函数1yx的导数9 1一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h单位： m与时间t单位： s之间的函数关系为2ht，求 t = 4s 时，此球在垂直方向的瞬时速度2质点 P 在半径为 10cm，圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s，设该圆与x轴正半轴的交点A 为起始点，求时刻t 时，点 P 在 y 轴上射影点M 的速度10观察1nnxnx，sincosxx，cossinxx，是否可判断，可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数3 .2 导数的计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页第 4 页 共 12 页【知识要点】几种常用函数的导数：c =0c 是常数；1nnxnx；sincosxx；cossinxx；xxee；lnxxaaa；1ln xx；1loglnaxxa导数的四则运算法则：uvuv；uvu vuv；20uu vuvvvv；特别地，假设 c 为常数，则cucu【例题精讲】【例 1】求以下函数的导数：123132yxxx；2cossinxyexx【例 2】已知函数21382fxxx，且0=4fx，求 x0【例 3】1求曲线221xyx在点 1，1处的切线方程；2运动物体在曲线2212tStt上运动，求物体在t=3s 时的速度位移单位：m，时间单位： s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页第 5 页 共 12 页【例4】设函数11fxx，点000,01P xyx在曲线yfx上，求曲线上在点P处的切线与x 轴、 y 轴的正半轴所围成的三角形面积的表达式用0 x表示【基础达标】1函数 y=3x(x1)2的导数是A5+2xB54xC52xD5+4x2已知 f (x) =ax3+3x2+2，假设1 =4f，则 a 的值等于A193B103C133D1633假设2=siny xx，则=yA2x sin xBx2 cos xC 2x cos x+x2 cos xD2x sin x+x2 cos x4抛物线y=x2上点1 1,2 4M的切线的倾斜角是A30B45C 60D905函数 y=ax21 的图象与直线y=x 相切，则a=A18B14C12D16已知曲线314=+33yx，则过点 P(2，4)的切线方程是7垂直于直线2x6y+1=0，且与曲线32=+35y xx相切的直线的方程是15 CBDBB6、4xy4=0 7、3x+y+6=0【能力提高】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页第 6 页 共 12 页8求曲线y=sin x， 1在点,12A处的切线方程；2在点3,32B处的切线方程9已知两曲线y=x3+ax 和 y=x2+bx+c 都经过点P1，2，且在点P 处有公切线，试求a，b， c 的值10 有一个长度为5m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m 时，梯子上端下滑的速度3 .3.1 函数的单调性与导数【知识要点】导数与函数单调性关系：如果函数y=f (x)在某个区间内可导， 那么假设0fx， 则函数 y=f (x)在该区间内是增函数；假设0fx，则函数 y=f (x)在该区间内是减函数；假设=0fx，函数 y=f (x)在该区间内是常数函数求解函数y=f (x)单调区间的步骤：1确定 y=f (x)的定义域；2求导数yfx； 3解不等式0fx，解集在定义域内的部分为增区间；4解不等式0fx，解集在定义域内的部分为减区间【例题精讲】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页第 7 页 共 12 页【例 1】求以下函数的单调区间1f (x) =2x36x2+7， 2f (x)=ln x+2x2【例 2】已知232=43fxxaxxxR在区间 1，1上是增函数，求实数a的取值范围【例 3】已知函数yxfx的图象如右图所示其中fx是函数 f (x)的导函数，下面四个图象中 y=f (x)的图象大致是【C】ABCD【例 4】设0a，=xxeafxae是 R 上的偶函数，1求 a 的值； 2证明 f (x)在0 +，上是增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页第 8 页 共 12 页yO1 2x【基础达标】1设函数f (x)在 ， 内可导，且恒有0fx，则以下结论正确的选项是Af (x)在 R 上单调递减Bf (x)在 R 上是常数Cf (x)在 R 上不单调Df (x)在 R 上单调递增2假设函数f (x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数fx的图象是ABCD3函数 f (x)=x ln x 的单调递减区间为A1,eB10,eC, eD1,e4关于函数f (x)=2x36x2+7，以下说法不正确的选项是A在区间，0内， f (x)为增函数B在区间 0，2内， f (x)为减函数C在区间 2，内， f (x)为增函数D在区间,02，内， f (x)为增函数5 设fx是函数 f (x)的导函数，yfx的图象如下左图， 则 y=f(x)的图象最有可能的是ABCD6函数 y=3xx3在( 1，1)内的单调性是7已知函数f (x)=ax3+3x2x+1 在 R上是减函数，则a 的范围为15 DABDC6、增函数7、3a【能力提高】8已知函数2472xfxx，0,1x，求fx的单调区间和值域yO 12x2 1 y x O 2 O x 1 y yoxyoxy oxyo xx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页第 9 页 共 12 页9证明函数y=2x3+3x212x+1 在区间 2， 1内是减函数10已知函数f (x)=x3+bx2+ax+d 的图象过点P0，2，且在点M 1，f 1处的切线方程为 6xy+7=0 1求函数y=f (x)的解析式；2求函数y=f (x)的单调区间3 .3.2 函数的极值与导数【知识要点】极值定义求可导函数f (x)的极值的步骤： 1求导fx； 2解方程0=0fx； 3检查fx在方程=0fx的根左右两边的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页第 10 页 共 12 页【例题精讲】【例 1】求函数31443yxx的极值【例 2】求 y=(x21)3+1 的极值【例 3】已知 f (x) =ax3+bx2+cxa0在 x= 1 时取得极值，且f (1)=11试求常数a、b、c 的值； 2试判断x= 1 是函数的极小值还是极大值，并说明理由【基础达标】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页第 11 页 共 12 页1以下说法正确的选项是A当0=0fx时，则 f (x0)为 f (x)的极大值B当0=0fx时，则 f (x0)为 f (x)的极小值C当0=0fx时，则 f (x0)为 f (x)的极值D当 f (x0)为函数 f (x)的极值时， 则有0=0fx2函数 y=1+3xx3有A极小值 1，极大值1 B极小值 2，极大值3 C极小值 2，极大值2 D极小值 1，极大值3 3函数 f (x)=x3+ax2+3x9 ，已知 f (x)在 x=3 时取得极值，则a =A5 B4 C3 D2 4函数 f (x)的定义域为0 +，且 f (x)0，0fx，那么函数f (x)A存在极大值B存在极小值C是增函数D是减函数5函数 y=ax3+x+1 有极值的充要条件是Aa0 Ba0 Ca0 Da0 6函数 y=x22x+3 的极大值为7已知函数f (x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 处有极值为10，则 f (2)等于15 DDACB6、4；7、 18 或 11【能力提高】8求函数y=x327x 的极值9已知函数f(x)=x3ax2bxc 在 x=23与 x=1 时都取得极值，求a、b 的值与函数f(x)的单调区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页第 12 页 共 12 页10已知函数f (x)=ax3+cx+d (a0)是 R 上的奇函数，当x=1 时 f (x)取得极值 2 1求 f(x)的单调区间和极大值；2证明对任意x1，x21,1，不等式124fxfx恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页