2022年高等数学期末复习 .pdf

高数下复习指南不考内容：1.打“ *”号章节；2.函数的幂级数展开式的应用；3.二重积分的物理应用；4.二次曲面；5.一般周期函数的傅立叶级数；傅立叶级数系数的计算；重点内容：1.偏导数的计算；几何上的应用；极值；2.二重积分、三重积分的计算；3.曲线积分、曲面积分的计算；4.格林公式包括积分与路径无关、全微分求积；高斯公式；5.数项级数敛散性的判定，幂级数求和函数、收敛域，函数展开成幂级数利用常见函数的展开式；傅立叶级数的收敛定理；6.向量的运算；平面与直线注： 1.请同学们高度重视购买的练习册、补充与提高。2.本次考试较去年同期试题难度大一些。一 多元函数微分学部分1 0024limxyxyxy2 1( ,)(0,3)lim(1 sin)xyx yxy3 22220( , )lim( ( , )xyttf x y dxdyf x yt连续4 设( ,)f x y是可微函数，且(0,0)(0,0)0 xyff，求22(, )( ,)(0,0)limfx yxyx y5 设( , )zz x y由方程(,)0zzF xyyx所确定，证明zzxyzxyxy6 设arctan()zexyz，求,zzxy7 设2,zzexyzx y8 设( , )zxfx y，其中xye，求dzdx9 设22ln ,32 ,2yzuv uvxyx求,zzxy10 设uxxyxyz，求函数u在点 1，1，1处的梯度及在点1， 1，1处沿此处的梯度方向的方向导数。11 求空间曲线2221,242xyzxyz在点 1，-1, 2处的切线方程与法平面方程。12 证明：曲面(,)0F yaz xbz上任意一点处的切平面与一定直线平行。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页13 求曲面222369436xyz位于第一卦线内的点处的切平面与三个坐标面所围立体体积的最小值，并求出最小值点的坐标。14 在半径为a 的半球内作内接长方体，问长方体的长、 宽、高为多少时， 才能使体积最大？15 求抛物线2yx上的点到直线1xy的最短距离。点 1/2，1/4 ，最小值9/3216 求曲面22216xyz与22222224xyzxyz交线的最高点与最低点的坐标。 0，0，4 ， 8/3， 8/3，-4/3二 多元函数积分学部分1 交换积分次序233000( , )( , )aayaayadyf x y dxdyf x y dx2 求22|2 |:01,01Dxyx dxdyDxy3 化( , )(:0,1Df x y dD xyx y所围为极坐标系下的二次积分4 化22222( , , )(:,14f x y z dvzxyxyz所围为球坐标系下的三重积分5 化22(:,1xdxdzzxyz所围内外表为二重积分6 化2222(1) (:,1xzdvzxyz所围为柱坐标系下的三重积分7 求22222222:,2z dvxyzRxyzRz所围公共部分559450R8 求锥面223()zxy和2yz所围立体外表积(22) 69 求2():axbyczds八面体| 1xyz外表2222 3()8abc10 求22222:1x dydzy dzdxz dxdyzxy之外侧。385()1053211 求22()(),xyzdxdyxz ydzdx是221()/ 4zxy被 z=0 所截得部分的下侧13o12 求2222,:xz dydzzaxy之上侧。5215a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页13 求2222()()2,:(01)xyz dydzyzx dzdxzdxdyzxyz其法向量与z轴正向间的夹角为锐角。214 求3222(),:(01)xyz dydzzdxdyxyaz之外侧。434a15 求2321(sin 331)(cos33),:22Lxyydxxyxdy Lyxx由 0，0至2，0 。 2416 求222(sin2 )(cos),:xxLeymyx dxeymy dy L xya由 0，0沿上半圆至( ,0)a. 2(1)8ma17 求曲线321:xtLyt在 t 从-1 到 1 部分所围区域面积。 1/518 已知 L 是平面上不通过原点的任意一条简单闭曲线正向，为使积分220,Laxdxydyxy与路径无关， a 应取何值？19 假设2222(0,0)(34 )(23 )aydxbxdyxyabxyxy是某二元函数的全微分，则,a b关系如何？(0)ab20 设222222()()aaxyLxxydxxydyy在不与0y相交的区域内与路径无关，求a。并求2( ,)22222(1,1)( , )()()x yaaxyxu x yxydxxydyy。221(, ( , )12)2xau x yy21 求22xyaz与222(0)zaxya所围立体的体积356a三 空间解析几何部分1 设向量1, 1,1,3, 4,5,abxab试证：使模|x最小的向量x垂直于向量b2 已知0,| 3,| 5,| 7,abcabc求( ,).()3a b3 设a、b、c为单位向量，且满足0,abc求a bb cc a4 已知,aij bij求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页(), (),(),(), )rjaab aabapababa5 求与两直线121121:1:1212xxyzLytLzt都平行，且过原点的平面方程(0)xyz6 求过点 3，1，2 且通过直线43521xyz的平面方程(8922590)xyz7 一直线 L 过点 1，2，3与 y 轴相交，且与直线xyz垂直，求直线L 的方程123143xyz8 求过点 1，0，4 ，且平行于平面34100 xyz，又与直线13112xyz相交的直线方程144()161928xy高等数学试卷一一、填空题 210=20 分1、( ,)(0,0)sinlim24x yxyxy。2、已知(2, 3,1),(1, 1,3),aba b。3、函数22ln(1)zxy在1,2xy处的全微分dz。4、设2220( , )yyIdyf x y dx，交换积分次序后，I。5、函数22zxy在点 1，2处沿从点 1，2到点(2,23)的方向导数为。6、曲面221zxy在点 2，1，4处的法线方程为。7、函数2uxy z在点 M 1， 1，2处的梯度|Mgradu= 。8、22()cxyds。其中22:1C xy(0)y。9、级数11(21)(21)nnn的和为。10、( )f x是以2为周期的周期函数，其在,上的表达式为1,0( )1, 0 xf xx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页设( )f x的傅里叶级数的和函数为( ),s x则(0)_,()_2ss。二、计算题 88=64 分1、设2,vzu e uxy vxy，求,zzxy2、在曲线235,3xt ytzt上求点，使得此点上的切线平行于平面24xyz -1/5 ，1/25 ，1/75 ， 1，1，-5/3 3、计算22(),:,3 (0)Dxy dDyx yxa ya ya a所围。 414a4、计算2(sin)(cos),:4xxLeyy dxeyx dy Lyx由点 2，0到 2，0的那段弧。45、判断级数1( 1) (1)nnnn是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？条件收敛6 、 求 过 点 2 ， 0 ， 3 且 与 直 线247035210 xyzxyz垂 直 的 平 面 方 程 。161411650 xyz7、将函数21( )32f xxx展成4x的幂级数。8、计算222()()(),Iyz dydzzx dzdxxy dxdy222:(0)xyzzh外侧。 44h三、选取ab、使2222axyxybdxdyxyxy为某函数( ,)u x y的全微分，并求( ,)u x y。 8分221(1,0, ( , )arctanln()2xabu x yxycy四、在椭球面22244xyz的第一卦限上求一点，使得椭圆面在该店的切平面与三个坐标面所围在第一卦限部分的立体体积最小，并求此最小值。8 分0002 323xyz高等数学试卷二一、填空题 210=20 分1、( ,)(0,0)24limx yxyxy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页2、设( 1,0,3),( 3,5,0),aba b，ab . 3、设220( , )xxIdxf x y dy，交换积分次序后，I= 。4、 曲面222236xyz在点 1， 1， 1 处的切平面方程为。5、函数2( )xf xe关于x的幂级数的展开式为。6、(22 )Lxy ds= ，L 为连接 1， 0及 0，1两点的直线段。7、函数( , )sin(2 )f x yxyxy在点 0，0处的梯度为。8、函数2yzxe在点 1，0处沿此点 1，0到点 2， 1的方向导数为。9、函数xyze的全微分dz。10、( )f x是以2为周期的周期函数，其在,)上的表达式为( )f xx，设( )f x的傅里叶级数的和函数为( ),s x则3( )_,()_2ss。二、计算题 88=64 分1、设2,2,vzuuxyvxy求,zzxy2、求曲线23,2 ,3xt ytzt在1t处的切线及法平面方程。3、计算1,:1,2,DxydDyxyx所围。3(ln 2)44、计算2222()(sin),:Lxydxxyy dy Lyx沿点 1，1到点 1，1的一段弧。16/15 5、判定级数11( 1)3nnnn是否收敛，假设收敛，求其和。 9/16 6、一直线L 过点 1，2， 3与 y 轴相交，且与直线xyz垂直，求直线L 的方程。123143xyz7、将函数21( )2f xxx展成1x的幂级数 , 并求收敛域。8、计算433,Iz dxdyx dydzy dzdx其中222:1xyz的内侧。23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页三、确定常数，使得在右半平面0 x上，2222yxdxdyxyxy为某函数( ,)u x y的全微分，并求( , )u x y。 8 分 1, ( ,)arctanyu x yx四、要造一个容积为32 立方米的长方体无盖水池，问如何选择水池的尺寸，方可使它的外表积最小。 8 分 4,2)xyz高等数学试卷三一、填空题 210=20 分1、( ,)(0,0)lim1 1x yxyxy。2、设( 2,0,4),( 3,6, 2),aba b，ab . 3、设100( , )yIdyf x y dx，交换积分次序后，I= 。4 、 曲 线sin ,1cos ,4sin2txtt yt z在 点(1,1,22)2处 的 切 线 方 程为。5、函数23uxyzxyz在点 1，1，2的梯度为。6、Lyds= ，L 为连接 1，0及 0，1两点的直线段。7、幂级数1(1)nnnx的收敛区间为。8、函数2xzye在点 1，0处沿此点 1，0到点 2， 1的方向导数为。9、级数1nna收敛，级数1nnb发散，则级数1()nnnab必是。10、( )f x是以2为周期的周期函数，其在,)上的表达式为,0( )0,0 xxf xx，设( )f x的傅里叶级数的和函数为( ),s x则()_, ()_2ss。二、计算题 88=64 分1、设2ln,32 ,xzuv uvxyy求,zzxy2、求曲线3zezxy在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页3、计算,:1,3,DxydDyxyx所围。4、计算222()(sin),:2Lxy dxxy dy Lyxx上由点 0，0到点 1，1的一段弧。 71sin 2645、判定级数111( 1)sin1nnnn是发否收敛，假设收敛，是绝对收敛还是条件收敛？绝对收敛6 、 求 与 直 线112111212xxyzytzt及都 平 行 且 过 点 3， -2 ， 1 的 平 面60 xyz 。7、将函数21( )4f xx展成x的幂级数 , 并求收敛域。8、计算222,Ix dydzy dzdxz dxdy其中22:1zxy外侧。 (2) 三 、 验 证222(22)(23)xyxdxx yydy为 某 函 数( , )u x y的 全 微 分 ， 求 出 一 个( ,)u x y，并计算(0,0)222(1,1)(22)(23)xyxdxx yydy8 分 -166四、求内接于球面2222(0)xyzaa，且有最大体积的长方体33xyza8 分高等数学试卷四一、填空题 210=20 分1、( , )(0,0)39limx yxyxy。2、已知(1 ,0, 3),(1, 8,3),aba b。3、函数yxze在1,2xy处的全微分dz。4、设220( , )xxIdxf x y dy，交换积分次序后，I。5、函数2yzxe在点 1，0处沿从点 1，0到点(2,1)的方向导数为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页6、曲面22zxy在点 1，1，2处的切平面方程为。7、函数222ln()uxyz在点 M 1，2， -2 处的梯度|Mgradu= 。8、()cxy ds。其中C位连接 1，0及 0，1的直线段。9、级数11(1)nn n的和为。10、( )f x是以2为周期的周期函数，其在,上的表达式为2,0( )2, 0 xf xx，设( )f x的傅里叶级数的和函数为( ),s x则(0)_,()_2ss。二、计算题 88=64 分1、设lnxyzz，求,zzxy2、求曲线21,1ttxyzttt在对应 t=1 的点处的切线及法平面。3、计算22,:,2,1DydD yx xxyx所围。7/4 4、计算22(sin)(cos),: (4)9xxLeyydxeyx dy Lxy右半圆周逆时针的封闭曲线 -95、求级数1nnxn的收敛域及和函数。 ln(1), 1,1x x6、求过点3， 1， 2 且通过直线43521xyz的平面方程。8922590 xyz7、将函数21( )2f xxx展成x的幂级数。8、计算222,Ix dydzy dzdxz dxdy222:(0)xyzza的外侧。42a三、确定常数，使得在右半平面0 x上，422422()()Lxy xydxxxydy与积分路径无关，并求(2,2)42242(1,1)2()()Ixy xyxxydy211, ( , )arctan,arctan42yu x yIx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页四、求外表积为2a而体积最大的长方体的体积。8 分 266xyza高等数学试卷五一、填空题 310=30 分1、( ,)(0,0)24limx yxyxy。2、已知(2, 3,5),(3,1, 2),aba b。3、函数22x yze，则(1,1)|dz。4、函数zxy在点 A(5,1) 处沿从点A(5,1) 到点 B(9,4) 的方向导数为。5、函数zxxyxyz在点 M 1，2，-1 处的梯度gradu|m= 。6、 曲面222236xyz在点 1， 1， 1 处的切平面方程为。7、设200( , )xIdxf x y dy，交换积分次序后，I= 。8、22()Lxyds。其中L为上半圆周：222,(0)xyRR9、级数111()23nnn的和为。10、( )f x是以2为周期的周期函数，其在,上的表达式为1,0( )1, 0 xf xx，设( )f x的傅里叶级数的和函数为( ),s x则5(0)_,()_2ss。二、计算题 78=56 分1、设2222390 xyzxyz，在点 1，-2 ，1处求,zzxy0； 5 2、求曲线sin ,1cos ,4sin2txtt yt z在2t相应处的点处的切线及法平面方程。3、计算2sin,:,DydDyxyxy所围。-sin1 4、计算22(sin()(cos),:2xxLIeyb xydxeyax dy Lxyax上由O(0,0) 到点 A(2 ,0)a,a b为正的常数2()2 2abb a5、讨论级数111( 1)21nnn是绝对收敛，还是条件收敛，或发散？条件收敛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页6、求过点1，2，1 且垂直两平面0,50 xyxz的平面方程。540 xyz7、将函数1( )(3)f xx x展成1x的幂级数。8、计算2(2 ),Ix dydzy dzdxzz dxdy其中22: zxy被 z=0,z=1 所截部分的外侧。32三、 7 分求( , , )lnln3lnf x y zxyz在条件22225,0,0,0 xyzrxyz下的最大值,3 ; 2ln3ln3xyz zrrr四、 7 分设函数( )f x在(,)内具有一阶连续导数，L 是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为( , )a b，终点为 c,d , 记22211()()1LxIy f xy dxy f xydyyy1 证明曲线积分I 与路径无关，2 当abcd时，求 I 的值bcadbd高等数学试卷六一、填空题 310=30 分1、22lnzxy的定义域为。2、已知4 ,23 ,aij bijk a b。3、函数ln()yxzx y，则dz。4、极限( ,)(0,0)tan()limx yxyx。5、函数zxyz在点 M 1， 2，1处的梯度gradu|m= 。6、曲面222zxy在点 1，1，1处的法线方程为。7、设2110 xydyedx。8、过点 1，0，-1且与平面25310 xyz平行的平面是。9、级数1nnxn的和函数为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页10、( )f x是以2为周期的周期函数，其在(,上的表达式为1,0( ), 0 xf xxx，设( )f x的傅里叶级数的和函数为( ),s x则(0)_, (3 )_ss。二、计算题 78=56 分1、设22lnxyzz，求,zzxy2、求通过点(1,4,2)p且与两平面32,23xyyz平行的直线方程。3、计算222222,:1,4xyDedDxyxy所围。22 e4、计算2222(2cos )(sin),:2xxLIyey dxxey dy L xyx上由点A(2,0) 到点 O0，0的上半圆周 . 4(1)e5、计算222(),:,1zxyedvzxyz所围。(1)2e6、已知曲面2222221xyzabc，在第一挂限的曲面上求一点，使该点处的切平面与三个坐标面所围成的体积最小。3(,)2333abcxyzvabc7、将函数21( )23f xxx展成1x的幂级数。8 、 计算3(2),Ixzdydzxyz dzdxyz dxdy其中为上半球面2221xyz外表内侧。94三、讨论级数1ln( 1)nnnn是绝对收敛，还是条件收敛，或发散？条件收敛四、 7 分确定常数，使得在右半平面0 x上的向量422422()()Axy xyixxyj为某二元函数( , )u x y的梯度，并求( , )u x y2(1, ( , )arctan)yu x ycx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页