2022年高考数学压轴题训 .pdf

优秀学习资料欢迎下载高考数学压轴题训练及详解1 （本小题满分14 分）已知椭圆)0( 12222babyax的左、右焦点分别是F1（ c，0） 、F2（c，0） ，Q 是椭圆外的动点，满足.2|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点， 点 T 在线段 F2Q 上， 并且满足.0| , 022TFTFPT（）设x为点 P 的横坐标，证明xacaPF|1；（）求点T 的轨迹 C 的方程；（）试问：在点T 的轨迹 C 上，是否存在点M，使 F1MF2的面积 S=.2b若存在，求 F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分. （）证法一：设点P 的坐标为).,(yx由 P),(yx在椭圆上，得.)()()(|222222221xacaxabbcxycxPF由0,acxacaax知，所以.|1xacaPF3 分证法二：设点P 的坐标为).,(yx记,| ,|2211rPFrPF则.)(,)(222221ycxrycxr由.|,4,211222121xacarPFcxrrarr得证法三：设点P 的坐标为).,(yx椭圆的左准线方程为.0 xaca由椭圆第二定义得accaxPF|21，即. |21xacacaxacPF由0,acxacaax知，所以.|1xacaPF3 分（）解法一：设点T 的坐标为).,(yx当0| PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载当|0|0|2TFPT且时，由0|2TFPT，得2TFPT. 又|2PFPQ，所以 T 为线段 F2Q 的中点 . 在 QF1F2中，aQFOT|21|1，所以有.222ayx综上所述，点T 的轨迹 C 的方程是.222ayx7 分解法二：设点T 的坐标为).,(yx当0| PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上 . 当|0|0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT. 又|2PFPQ，所以 T 为线段 F2Q 的中点 . 设点 Q 的坐标为（yx ,） ，则.2,2yycxx因此.2,2yycxx由aQF2|1得.4)(222aycx将代入，可得.222ayx综上所述，点T 的轨迹 C 的方程是.222ayx7 分（）解法一：C 上存在点 M（00, yx）使 S=2b的充要条件是.|221,2022020bycayx由得ay |0，由得.|20cby所以，当cba2时，存在点M，使 S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M. 11 分当cba2时，),(),(002001yxcMFyxcMF，由2222022021bcaycxMFMF，212121cos|MFFMFMFMFMF，22121sin|21bMFFMFMFS，得. 2tan21MFF解法二： C 上存在点M（00, yx）使 S=2b的充要条件是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载.|221,2022020bycayx由得.|20cby上式代入得.0)(2224220cbacbacbax于是，当cba2时，存在点M，使 S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M. 11 分当cba2时，记cxykkcxykkMFMF00200121,，由,2|21aFF知9021MFF，所以. 2|1|tan212121kkkkMFF 14 分2 （本小题满分12 分）函数)(xfy在区间（ 0， +）内可导，导函数)(xf是减函数，且.0)(xf设mkxyx), 0(0是曲线)(xfy在点（)(,00 xfx）得的切线方程，并设函数.)(mkxxg（）用0 x、)(0 xf、)(0 xf表示 m；（）证明：当)()(,),0(0 xfxgx时；（）若关于x的不等式),0231322在xbaxx上恒成立，其中a、b 为实数，求 b 的取值范围及a 与 b 所满足的关系. 本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系 .考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分 12 分（）解：).()(000 xfxxfm2 分（）证明：令.0)(),()()(),()()(00 xhxfxfxhxfxgxh则因为)(xf递减，所以)(xh递增，因此，当0)(,0 xhxx时；当0)(,0 xhxx时.所以0 x是)(xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)(xh的最小值为0，因此,0)(xh即).()(xfxg6 分（）解法一：10b，0a是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1 (,122baxxbaxx即对任意),0 x成立的充要条件是.)1(221ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载另一方面，由于3223)(xxf满足前述题设中关于函数)(xfy的条件，利用（II）的结果可知，3223xbax的充要条件是：过点（0，b）与曲线3223xy相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为.)2(21bxby于是3223xbax的充要条件是.)2(21ba10 分综上，不等式322231xbaxx对任意),0 x成立的充要条件是.)1(2)2(2121bab显然，存在a、b 使式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121bb有解、解不等式得.422422b因此，式即为b 的取值范围，式即为实数在a 与 b 所满足的关系 . 12 分（）解法二：0, 10ab是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1 (,122baxxbaxx即对任意),0 x成立的充要条件是.)1(221ba8 分令3223)(xbaxx，于是3223xbax对任意),0 x成立的充要条件是.0)(x由.0)(331axxax得当30ax时; 0)(x当3ax时，0)(x，所以，当3ax时，)(x取最小值.因此0)(x成立的充要条件是0)(3a，即.)2(21ba10 分综上，不等式322231xbaxx对任意),0 x成立的充要条件是.)1(2)2(2121bab显然，存在a、b 使式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(bb有解、解不等式得.422422b因此，式即为b 的取值范围，式即为实数在a 与 b 所满足的关系 . 12 分3 （本小题满分12 分）已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN（I）证明数列1na是等比数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载（II） 令212( )nnf xa xa xa x， 求函数( )f x在点1x处的导数(1)f并比较2(1)f与22313nn的大小 . 解：由已知*15()nnSSnnN可得12,24nnnSSn两式相减得1121nnnnSSSS即121nnaa从 而1121nnaa当1n时21215SS所 以21126aaa又15a所以211a从而21121aa故总有112(1)nnaa，*nN又115,10aa从而1121nnaa即数列1na是等比数列；（II）由（ I）知321nna因为212( )nnfxa xa xa x所以112( )2nnfxaa xna x从而12(1)2nfaana=23 212 3 21(321)nn=23 22 22nn-12n=1(1)31262nn nn由上22(1)2313121 2nfnnn-212 21nn= 1212121 (21)nnnn=12(1) 2(21)nnn当1n时，式 =0 所以22(1)2313fnn；当2n时，式 =-120所以22(1)2313fnn当3n时，10n又01121 1nnnnnnnnCCCC2221nn所以12210nnn即0从而2(1)f22313nn4(本小题满分14 分 ) 已知动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p. （I）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II）设 A、B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标. 解： （I）如图，设M为动圆圆心，,02p为记为F，过点M作直线2px的垂线，垂足为N，由题yAxoB,02pFMN2px精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载意知：MFMN即动点M到定点F与定直线2px的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中,02pF为焦点，2px为准线，所以轨迹方程为22(0)ypx P；（II）如图，设1122,A x yB xy，由题意得12xx（否则）且12,0 x x所以直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb，显然221212,22yyxxpp，将ykxb与22(0)ypx P联立消去x，得2220kypypb由韦达定理知121222,ppbyyyykk（1）当2时，即2时，tantan1所以121212121,0yyx xy yxx，221212204y yy yp所以2124y yp由 知 ：224pbpk所 以2.bpk因 此 直 线AB的 方 程 可 表 示 为2ykxPk， 即(2)0k xPy所以直线AB恒过定点2 ,0p（2）当2时，由，得tantan()=tantan1tantan= 122122 ()4p yyy yp将式代入上式整理化简可得：2tan2pbpk，所以22tanpbpk，此时，直线AB的方程可表示为ykx22tanppk即2(2 )0tanpk xpy所以直线AB恒过定点22 ,tanpp所以由（1）（2） 知， 当2时， 直线AB恒过定点2 ,0p， 当2时直线AB恒过定点22 ,tanpp. 5 （本小题满分12 分）已知椭圆C1的方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点 . （）求双曲线C2的方程；（）若直线2:kxyl与椭圆 C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l 与 C2的两个交点A和 B 满足6OBOA（其中 O 为原点），求 k 的取值范围 . 解： （）设双曲线C2的方程为12222byax，则. 1, 31422222bcbaa得再由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载故 C2的方程为.1322yx（II）将.0428)41(1422222kxxkyxkxy得代入由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41 (16)28(22221kkk即.412k0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将. 由直线 l 与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B 得.131.0)1(36)31(36)26(, 0312222222kkkkkk且即)2)(2(,66319,3126),(),(22BABABABABABABABABBAAkxkxxxyyxxyyxxOBOAkxxkkxxyxByxA而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222kkkkkkkxxkxxkBABA.0131315,613732222kkkk即于是解此不等式得.31151322kk或由、得.11513314122kk或故 k 的取值范围为)1 ,1513()33,21()21,33()1513, 1(6 （本小题满分12 分）数列 an满足)1(21)11(1211nannaannn且. （）用数学归纳法证明：)2(2 nan；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载（）已知不等式) 1(:,0)1ln(2neaxxxn证明成立对，其中无理数e=2.71828 . （）证明： （1）当 n=2 时，222a，不等式成立. （2）假设当)2(kkn时不等式成立，即),2(2 kak那么221)1(11(1kkkakka. 这就是说，当1kn时不等式成立. 根据（ 1） 、 （2）可知：22nak对所有成立 . （）证法一：由递推公式及（）的结论有) 1.()2111 (21)11 (221nannannannnnn两边取对数并利用已知不等式得nnnannaln)2111ln(ln21.211ln2nnnna故nnnnnaa21)1(1lnln1).1(n上式从 1 到1n求和可得121212121)1(1321211lnlnnnnnaa.22111121121121111)3121(211nnnnn即).1(,2ln2neaann故（）证法二：由数学归纳法易证2)1(2nnnn对成立，故).2()1(1)1(11 (21)11 (21nnnannannannnn令).2()1(11(),2(11nbnnbnabnnnn则取对数并利用已知不等式得nnbnnbln) 1(11ln(ln1).2() 1(1lnnnnbn上式从 2 到 n 求和得) 1(1321211lnln21nnbbn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载.11113121211nn因).2(3,3ln1ln.313ln11122neebbabnn故故1,2,132222121neaeaeaneeann对一切故又显然成立 . 7 （本小题满分12 分）已知数列:,且满足的各项都是正数na.),4( ,21, 110Nnaaaannn（1）证明;,21Nnaann（2）求数列na的通项公式an. 解： （1）方法一用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa210aa，命题正确 . 2假设 n=k 时有.21kkaa则)4(21)4(21,1111kkkkkkaaaaaakn时).4)(21)(21)(211111kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而.0, 04.0111kkkkkkaaaaaa又.2)2(421)4(2121kkkkaaaa1kn时命题正确 . 由 1、 2知，对一切nN 时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa2010aa；2假设 n=k 时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在0，2上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（ 2）下面来求数列的通项：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载21)2()2(2nnaannnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121,2 则令, 又 bn=1，所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即Ljc1994528 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页