2022年高考数学二轮专题复习-立体几何 .pdf

学而不思则惘，思而不学则殆第 2 讲矩阵与变换考情解读本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大又经常与其他知识结合， 在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、 解决问题的能力 分值为 10 分1矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵a11， a12与列矩阵b11b21的乘法规则为 a11， a12b11b21a11b11a12b21，二阶矩阵abcd与列矩阵xy的乘法规则为abcdxyaxbycx dy. 说明：矩阵乘法MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先 TN后 TM)的复合变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量 )(x，y)，若按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点 (向量 )(x， y)，则称 T 为一个变换，简记为T：(x，y)(x， y )或 T：xyxy. 2几种常见的平面变换(1)恒等变换； (2)伸缩变换； (3)反射变换； (4)旋转变换； (5)投影变换； (6)切变变换3矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有 ABBAE，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵若二阶矩阵A 存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A1，A1B. (2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵Aabcd(adbc0)，它的逆矩阵为A1dadbcbadbccadbcaadbc. (3)逆矩阵的简单性质若二阶矩阵A，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1. 已知 A，B， C 为二阶矩阵，且AB AC，若矩阵A 存在逆矩阵，则BC. (4)逆矩阵与二元一次方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆对于二元一次方程组axbym，cxdyn(adbc 0)，若将Xxy看成是原先的向量，而将Bmn看成是经过系数矩阵Aabcd(adbc0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程 AXB，abcdxymn，则 XA1B，其中 A1dadbcbadbc cadbcaadbc. 4二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使得 A ，那么 称为 A的一个特征值，而称为 A 的一个属于特征值 的一个特征向量(2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变( 0)，或者方向相反( 0，b0)(1)若 a 2，b3，求矩阵 M 的逆矩阵M1；(2)若曲线 C：x2y21 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线C：x24 y2 1，求 a，b 的值解(1)设矩阵 M 的逆矩阵M1x1y1x2y2，则 MM11001. 又 M 2003，所以2003x1y1x2y21001. 所以 2x11,2y10,3x20,3y21，即 x112，y10，x20，y213，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆故所求的逆矩阵M1120013. (2)设曲线 C 上任意一点P(x， y)， 它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P (x ， y)，则a00bxyxy，即axx ，byy .又点 P(x ，y)在曲线 C上，所以x24y21. 则a2x24b2y21 为曲线 C 的方程又已知曲线C 的方程为x2y21，故a24，b21.又 a0，b0，所以a2，b1.思维升华对于二阶矩阵，若有ABBAE，则称 B 为 A 的逆矩阵因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解(2013 江苏 )已知矩阵A1002，B1206，求矩阵A1B. 解设矩阵 A 的逆矩阵A1abcd，则1002abcd1001，即ab2c2d1001故 a 1，b0， c0，d12，从而 A 的逆矩阵A110012，所以 A1B1001212061203. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学而不思则惘，思而不学则殆热点三求矩阵的特征值与特征向量例 3已知矩阵A11a1，其中 aR，若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点P(0，3)(1)求实数 a 的值；(2)求矩阵 A 的特征值及特征向量解(1)由题意得11a11103，所以 a1 3，所以 a 4. (2)由 (1)知 A1141，令 f( ) 114 1( 1)240. 解得 A 的特征值为 1 或 3. 当 1 时，由2xy04x2y 0得矩阵 A 的属于特征值1 的一个特征向量为12；当 3 时，由2xy04x2y 0得矩阵 A 的属于特征值3 的一个特征向量为12. 思维升华(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变( 0)，或者方向相反( 0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21. (1)求实数 a，b 的值；(2)求 A2的逆矩阵解(1)设曲线 2x22xyy21 上任意点 P(x， y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是P(x，y)由xya0b1xyaxbxy，得xax，ybxy.又点 P(x ，y)在 x2y21 上，所以x2y21，即 a2x2(bxy)2 1，整理得 (a2b2)x22bxy y21. 依题意得a2b2 2，2b2，解得a1，b1，或a 1，b1.因为 a0，所以a1，b1.(2)由 (1)知， A1011，A2101110111021. 所以 |A2|1，(A2)110 2 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页