2022年高考数学基础知识总结：第四章三角函数 .pdf
03. 三角函数知识要点1. 与（0 360 ）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|终边在 x轴上的角的集合：Zkk,180|终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在 y=x轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360 k2. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式：1rad180 57.30=571811800.01745（rad）3、弧长公式 ：rl|. 扇形面积公式：211|22slrr扇形4、三角函数的定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y ）P与原点的距离为r ，则rysin；rxcos；xytan。5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxyxy6、三角函数线正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx|)(xfcosxRxx|roxya的终边P （ x,y )TMAOPxy(3) 若 ox2,则sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 几个重要结论:OOxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页)(xftanxZkkxRxx,21|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossin1cossin229、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”公式组一公式组二公式组四三公式组四公式组五xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组六10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式公式组一公式组二sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cos（升幂公式）sincoscossin)sin(2tan1tan22tan22cos1cossincoscossin)sin(2c o s12si n22cos1sin（降幂公式）tantan1tantan)tan(2c o s12c o stantan1tantan)tan(公式组三2tan12tan2sin22tan12tan1cos222t an12t an2t an242675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan. 11三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.基本的技巧有：(1)已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ( ) ( ) ， 2 ( )( ), 2 ( )( )， 2 2， 2( 2)(2 )等. (2)三角函数名互化(切化弦 ). (3)公式变形使用如 tan tan tan( )(1?tan tan ). (4)三角函数次数的降升(降幂公式： cos2 1cos 22，sin2 1cos 22. 升幂公式： 1cos 2 2cos2 ，1cos 2 2sin2 ).（5）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。12 辅助角公式 ：xbaxbxasincossin22(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由sincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(cos)21sin(sin)21cos(cos)21sin(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页abtan确定 )在求最值、化简时起着重要作用. 13 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域R R R 值域 1, 1 1, 1R AA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性2k 2，2k 2上为增函数；2k 2，2k 32上为减函数（Zk）2k ，2k 2 ；上为增函数2k ，2k 上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）用整体代换的思想求解对 称 中心(k ，0)(kZ) (k 2，0)(kZ) (k2，0)0,k(kZ)对称轴xk 2(kZ) xk( kZ) 无2kx(kZ)注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增） . xysin与xycos的周期是. 2tanxy的周期为 2（2TT，翻折无效） . )sin( xy或)cos( xy（0）的周期2T. 当tan, 1tan)(2Zkk；tan, 1tan)(2Zkk. 函数xytan在R上为增函数 .（ ）只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）奇偶性的单调性：奇同偶反. 奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T） ；ysin2x，y|sin x|的周期都是xycos是周期函数；xycos为周期函数（T） ；212cos xy的周期为。y|sin x|cos x|的周期为2，而y|2sin(3x6)12|，y|tan x|的周期不ZkkxRxx,21|且xytanxycosxysin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页变. 14三角函数图象的作法：） 、几何法：） 、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. （x，y）作图象。） 、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x ）的振幅 |A| ，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位） （当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当0|A| 1）到原来的 |A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y）由 ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长 （0| | 1）或缩短 （| | 1）到原来的1|倍，得到 ysin x 的图象，叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用x 替换 x) 由 ysinx的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位， 得到 ysin （x ）的图象，叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x替换 x) 由 ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动 b个单位，得到ysinxb 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+(-b)替换 y）由 ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x ） （A0，0） （xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。15三角形中的有关公式(1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题不可忘记任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形 ? 三内角都是锐角? 三内角的余弦值为正值? 任两角和都是钝角? 任意两边的平方和大于第三边的平方 . (2)正弦定理：asin Absin Bcsin C2R(R 为三角形外接圆的半径). 注意：正弦定理的一些变式：()abcsin Asin Bsin C；()sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；()a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍 . (3)余弦定理： a2b2c22bccos A，cos Ab2c2a22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. (4)面积公式： S12aha12absin C12r(abc)(其中 r 为三角形内切圆半径).（）五点作图：令依次为，求出与，依点202322xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
