2022年高考文科数学导数专题复习2 .pdf

高考文科数学导数专题复习第 1 讲变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1. 导数的概念(1) 函数yf(x) 在xx0处的导数f(x0)或y|xx0，即f(x0) 0limxf（x0 x）f（x0）x. (2) 函数f(x) 的导函数f(x) 0limxf（xx）f（x）x为f(x) 的导函数 . 2. 导数的几何意义函数yf(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x) 在点P(x0，f(x0) 处的切线的斜率，过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0). 3. 基本初等函数的导数公式4. 导数的运算法则若f(x) ，g(x) 存在，则有：考点一导数的计算【例 1】 求下列函数的导数：(1)y exln x；(2)yx x21x1x3；解(1)y (ex) ln x ex(ln x) exln x ex1x ln x1xex.(2) 因为yx3 11x2，所以y (x3) (1) 1x2 3x22x3. 【训练 1】 (1) 已知函数f(x) 的导函数为f(x)，且满足f(x) 2xf(1) ln x，则f(1) 等于 ( ) A.e B. 1 C.1 D.e 解析由f(x) 2xf(1) ln x，得f(x) 2f(1) 1x，f(1) 2f(1) 1，则f(1) 1. 答案B (2)(2015 天津卷)已知函数f(x) axln x，x(0，) ，其中a为实数，f(x) 为f(x) 的导函数 . 若f(1)3，则a的值为 _. (2)f(x) aln xx1xa(1 ln x). 由于f(1) a(1 ln 1) a， 又f(1) 3， 所以a3. 答案(2)3 考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程【例 2】(2016全国卷) 已知f(x) 为偶函数，当x0 时，f(x) e x1x，则曲线yf(x) 在点 (1 ，2) 处的切线方程是 _. 解析(1) 设x0，则x0 时，f(x) ex1x. 因此，当x0 时，f(x) ex11，f(1) e012. 则曲线yf(x) 在点 (1 ，2) 处的切线的斜率为f(1) 2，所以切线方程为y22(x1)，即 2xy0. 答案2xy 0 【训练 2】 (2017威海质检 ) 已知函数f(x) xln x，若直线l过点 (0 ， 1)，并且与曲线yf(x) 相切，则直线l的方程为 ( )A.xy10 B.xy10 C.xy10 D.xy10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页(2) 点 (0 ， 1) 不 在 曲 线f(x) xln x上 ， 设 切 点 为 (x0，y0). 又 f(x) 1 ln x，y0 x0ln x0，y01（ 1ln x0）x0，解得x01，y00. 切点为 (1 ， 0)，f(1) 1ln 11. 直线l的方程为yx1，即xy10. 答案B 命题角度二求切点坐标【例 3】 (2017西安调研) 设曲线y ex在点 (0 ，1) 处的切线与曲线y1x(x0) 上点P处的切线垂直，则P的坐标为 _. 解析由y ex，知曲线yex在点 (0，1) 处的切线斜率k1 e0 1. 设P(m，n) ，又y1x(x0) 的导数y1x2，曲线y1x(x0) 在点P处的切线斜率k21m2. 依题意k1k2 1，所以m1，从而n1. 则点P的坐标为 (1 ，1). 答案(1 ，1) 【训练 3】若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy1 0，则点P的坐标是 _. 解析(1) 由题意得y ln xx1x1ln x，直线 2xy10 的斜率为2. 设P(m，n) ，则 1ln m2，解得me，所以neln e e，即点P的坐标为 (e ，e). 答案(1)(e ，e) 命题角度三求与切线有关的参数值(或范围 ) 【例 4】 (2015全国卷) 已知曲线yx ln x在点 (1，1) 处的切线与曲线yax2(a 2)x1 相切，则a_. 解析由yxln x，得y 11x，得曲线在点 (1，1)处的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1. 又该切线与yax2(a2)x1 相切，消去y，得ax2ax20，a0 且a28a 0，解得a 8. 答案8 【训练 4】 1. 函数f(x) ln xax的图象存在与直线2xy0 平行的切线，则实数a的取值范围是 _. 函数f(x) ln xax的图象存在与直线2xy0 平行的切线，即f(x) 2 在(0 ， ) 上有解，而f(x) 1xa，即1xa在 (0 ， ) 上有解，a21x，因为a0，所以 21x2，所以a的取值范围是( ， 2). 答案(2)( ， 2) 2. 点P是曲线x2yln x 0上的任意一点，则点P到直线yx2 的最小距离为( ) A.1 B.32C.52 D.2 解析点P是曲线yx2ln x上任意一点，当过点P的切线和直线yx2 平行时，点P到直线yx2 的距离最小，直线yx2 的斜率为 1，令yx2ln x，得y 2x1x1，解得x1 或x12( 舍去 ) ，故曲线yx2ln x上和直线yx 2 平行的切线经过的切点坐标为(1， 1) ，点 (1 ，1)到直线yx 2 的距离等于2，点P到直线yx2 的最小距离为2. 答案D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页第 2 讲导数在研究函数中的应用知 识 梳 理函数的单调性与导数的关系函数yf(x) 在某个区间内可导，则：(1) 若f(x)0，则f(x) 在这个区间内单调递增； (2) 若f(x)1时，g(x)0. (1) 解由题意得f(x) 2ax1x2ax21x(x0). 当a0 时，f(x)0时，由f(x) 0 有x12a，当x0，12a时，f(x)0，f(x) 单调递增 .(2) 证明令s(x) ex1x，则s(x) ex11. 当x1 时，s(x)0，所以 ex1x，从而g(x) 1x1ex10. 考点二求函数的单调区间【例 2】 (2015重庆卷改编)已知函数f(x) ax3x2(aR) 在x43处取得极值 . (1) 确定a的值； (2) 若g(x) f(x)ex，求函数g(x) 的单调减区间. 解(1) 对f(x) 求导得f(x) 3ax22x，因为f(x) 在x43处取得极值，所以f 430，即3a1692 4316a3830，解得a12. (2) 由(1) 得g(x) 12x3x2ex故g(x) 32x22xex12x3x2ex12x352x22xex12x(x 1)(x4)ex. 令g(x)0 ，得x(x1)(x 4)0. 解之得 1x0或x0). 则f(x) x24x 54x2. 令f(x) 0，解得x1 或x5. 但 1?(0， ) ，舍去 . 当x(0， 5)时，f(x)0. f(x) 的增区间为(5 ， ) ，减区间为(0 ，5). 考点三已知函数的单调性求参数【例 3】 (2017西安模拟) 已知函数f(x) ln x，g(x) 12ax2 2x(a0).(1) 若函数h(x) f(x) g(x) 存在单调递减区间，求a的取值范围；(2) 若函数h(x) f(x) g(x) 在1 ，4 上单调递减，求a的取值范围 . 解(1)h(x) ln x12ax22x，x0.h(x) 1xax2. 若函数h(x) 在(0 ，) 上存在单调减区间，则当x0时，1xax21x22x有解 . 设G(x) 1x22x， 所以只要aG(x)min.(*)又G(x) 1x121， 所以G(x)min 1. 所以a1. 即实数a的取值范围是( 1， ).(2) 由h(x) 在1 ，4 上单调递减， 当x1 ，4 时，h(x) 1xax20 恒成立， (*)则a1x22x恒成立， 所以aG(x)max. 又G(x) 1x121，x1 ， 4 因为x1 ， 4 ，所以1x14，1 ，所以G(x)max716( 此时x4) ， 所以a716. 当a716时，h(x) 1x716x2167x232x16x（7x4）（x4）16x， x1 ， 4 ， h(x)（7x4）（x4）16x0，当且仅当x4 时等号成立 .(*) h(x) 在1 ，4 上为减函数 . 故实数a的取值范围是716，. 【训练 3】 已知函数f(x) x3ax1. (1) 若f(x) 在 R上为增函数，求实数a的取值范围； (2) 若函数f(x) 的单调减区间为( 1，1) ，求a的值 . 解(1) 因为f(x) 在 R上是增函数，所以f(x) 3x2a0在 R上恒成立，即a3x2对xR恒成立 . 因为 3x20，所以只需a0. 又因为a0 时，f(x) 3x20，当且仅当x0 时取等号 . f(x) x31 在 R上是增函数 . 所以实数a的取值范围是( ， 0.(2)f(x) 3x2a. 当a0 时，f(x) 0，f(x) 在( ， ) 上为增函数，所以a0不合题意 .当a0 时，令 3x2a0，得3a3x3a3，f(x) 的单调递减区间为3a3，3a3，依题意，3a31，即a3. 第 3 讲导数与函数的极值、最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页知 识 梳 理1. 函数的极值与导数的关系(1) 函数的极小值与极小值点: 若函数f(x) 在点xa处的函数值f(a) 比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a) 0，而且在点xa附近的左侧f(x)0 ，则点a叫做函数的极小值点，f(a) 叫做函数的极小值.(2) 函数的极大值与极大值点: 若函数f(x) 在点xb处的函数值f(b) 比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b) 0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b) 叫做函数的极大值. 2. 函数的最值与导数的关系(1) 函数f(x) 在 a，b 上有最值的条件: 如果在区间 a，b 上函数yf(x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x) 在a，b 上的最大 ( 小) 值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值【例 1】 设函数f(x) 在 R上可导，其导函数为f(x) ，且函数y(1 x)f(x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x) 有极大值f(2) 和极小值f(1)B. 函数f(x) 有极大值f( 2) 和极小值f(1) C.函数f(x) 有极大值f(2) 和极小值f( 2)D. 函数f(x) 有极大值f( 2) 和极小值f(2) 解析由题图可知，当x3，此时f(x)0；当 2x1 时， 01x3，此时f(x)0；当 1x2时， 11x0，此时f(x)2 时， 1x0，由此可以得到函数f(x) 在x 2 处取得极大值，在x2 处取得极小值.答案D 命题角度二求函数的极值【例 2】 求函数f(x) xaln x(aR) 的极值 . 解由f(x) 1axxax，x0 知：(1) 当a0 时，f(x)0，函数f(x) 为(0， ) 上的增函数，函数f(x)无极值； (2) 当a0 时，令f(x) 0，解得xa. 又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x) 在xa处取得极小值，且极小值为f(a) aaln a，无极大值 . 综上，当a0 时，函数f(x) 无极值；当a0 时，函数f(x) 在xa处取得极小值aaln a，无极大值 . 命题角度三已知极值求参数【例 3】 已知关于x的函数f(x) 13x3bx2cxbc在x1 处有极值43，试求b，c的值 . 解f(x) x22bxc，由f(x) 在x1 处有极值43，可得f（ 1） 12bc0，f（1）13bcbc43.解得b1，c 1或b 1，c 3.若b1，c 1，则f(x) x2 2x1 (x1)20，f(x) 没有极值 . 若b 1，c3，则f(x) x22x3 (x3)(x1). 当x变化时，f(x) 与f(x) 的变化情况如下表：x ( ， 3)3( 3， 1)1(1 ，)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页f(x)001 f(x)极小值 12极大值43当x1 时，f(x) 有极大值43，满足题意 . 故b 1，c3 为所求 . 【训练 1】 设函数f(x) ax32x2xc(a0). (1) 当a1，且函数图象过(0，1) 时，求函数的极小值；(2) 若f(x) 在 R上无极值点，求a的取值范围 . 解由题意得f(x) 3ax24x1.(1) 函数图象过 (0 ，1) 时，有f(0) c1. 当a1 时，f(x) 3x24x1.令f(x)0，解得x1； 令f(x)0，解得13x1. 所以函数在，13和(1，) 上单调递增； 在13，1上单调递减 . 故函数f(x) 的极小值是f(1) 13212111. (2) 若f(x) 在 R上无极值点， 则f(x)在 R上是单调函数， 故f(x) 0 或f(x) 0恒成立 .当a0 时，f(x) 4x1， 显然不满足条件； 当a0时，f(x) 0或f(1) 0 恒成立的充要条件是 ( 4)243a10，即 1612a0，解得a43. 综上，a的取值范围是43，. 考点二利用导数求函数的最值【例 4】 (2017郑州模拟) 已知函数f(x) (xk)ex. (1) 求f(x) 的单调区间； (2) 求f(x) 在区间 0 ，1 上的最小值 . 解(1) 由f(x) (xk)ex，得f(x) (xk1)ex，令f(x) 0，得xk1. 当x变化时，f(x)与f(x) 的变化情况如下表：x ( ，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x) 的单调递减区间是( ，k1) ；单调递增区间是(k1， ).(2) 当k10，即k1 时，函数f(x) 在0 ，1 上单调递增，所以f(x) 在区间 0 ，1 上的最小值为f(0) k，当 0k 11，即 1k2 时，由 (1) 知f(x)在0 ，k1) 上单调递减，在(k1，1 上单调递增，所以f(x)在区间0 ，1 上的最小值为f(k 1) ek1. 当k11，即k2时，函数f(x) 在0 ， 1 上单调递减，所以f(x) 在区间0 ， 1 上的最小值为f(1) (1 k)e. 综上可知，当k1 时，f(x)mink；当 1k0) ，若函数f(x) 在x1 处与直线y12相切， (1) 求实数a，b的值；(2) 求函数f(x) 在1e，e 上的最大值 . 解(1) 由f(x) aln xbx2， 得f(x) ax 2bx(x0). 函 数f(x) 在x 1 处 与 直 线y 12相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页切. f（ 1）a2b0，f（1）b12，解得a1，b12.(2) 由(1) 知f(x) ln x12x2，则f(x) 1xx1x2x，当1exe时，令f(x)0，得1ex1，令f(x)0 ，得 1x0)的导函数yf(x) 的两个零点为3 和 0. (1) 求f(x) 的单调区间； (2) 若f(x) 的极小值为 e3，求f(x) 在区间 5， ) 上的最大值. 解(1)f(x) （2axb）ex（ax2bxc）ex（ex）2ax2（ 2ab）xbcex. 令g(x) ax2(2ab)xbc，由于 ex0. 令f(x) 0，则g(x) ax2(2ab)xbc0， 3 和 0 是yg(x) 的零点，且f(x) 与g(x) 的符号相同 . 又因为a0， 所以 3x0， 即f(x)0 ， 当x0 时，g(x)0 ， 即f(x)5f(0) ，所数f(x) 在区间 5， ) 上的最大值是5e5. 【训练 3】 (2017衡水中学月考) 已知函数f(x) ax1ln x(a R). (1) 讨论函数f(x) 在定义域内的极值点的个数；(2) 若函数f(x) 在x1 处取得极值，?x(0 ， ) ，f(x) bx2 恒成立，求实数b的最大值 . 解(1)f(x) 的定义域为 (0 ， ) ，f(x) a1xax1x. 当a0时，f(x) 0 在(0 ， ) 上恒成立，函数f(x) 在 (0， ) 上单调递减 . f(x)在(0 ， ) 上没有极值点. 当a0时，由f(x)0， 得 0 x0 ，得x1a，f(x) 在 0，1a上递减， 在1a，上递增， 即f(x) 在x1a处有极小值 . 综上， 当a0 时，f(x) 在 (0，) 上没有极值点；当a0时，f(x) 在(0 ， ) 上有一个极值点. (2) 函数f(x) 在x1 处取得极值，f(1) a10，则a1，从而f(x) x 1ln x. 因此f(x) bx2? 11xln xxb，令g(x) 11xln xx，则g(x) ln x2x2，令g(x) 0，得xe2，则g(x) 在(0 ，e2) 上递减，在 (e2， ) 上递增，g(x)ming(e2) 11e2，即b11e2. 故实数b的最大值是11e2. 第 4 讲导数与函数的综合应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页考点一利用导数研究函数的性质【例 1】 (2015全国卷) 已知函数f(x) ln xa(1 x). (1) 讨论f(x) 的单调性； (2) 当f(x) 有最大值，且最大值大于2a2 时，求a的取值范围 . 解(1)f(x) 的定义域为 (0 ，) ，f(x) 1xa. 若a0，则f(x)0，所以f(x) 在(0 ，) 上单调递增 . 若a0，则当x 0，1a时，f(x)0 ；当x1a，时，f(x)0 时，f(x) 在x1a取得最大值，最大值为f 1aln1aa11a ln aa 1. 因此f 1a2a2 等价于 ln aa10. 令g(a) ln aa 1，则g(a)在(0 ， ) 上单调递增，g(1) 0. 于是，当0a1 时，g(a)1 时，g(a)0. 因此，a的取值范围是 (0 ，1). 【训练 1】 设f(x) 13x312x22ax.(1) 若f(x) 在23，上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2) 当 0a2 时，f(x) 在1 ， 4 上的最小值为163，求f(x) 在该区间上的最大值. 解(1) 由f(x) x2x2ax122142a，当x23，时，f(x) 的最大值为f23292a；令292a0，得a19. 所以，当a19时，f(x) 在23，上存在单调递增区间. (2) 已知 0a2，f(x) 在1 ，4 上取到最小值163，而f(x) x2x2a的图象开口向下，且对称轴x12，f(1) 112a2a0，f(4) 1642a 2a120，则必有一点x01 ，4 ，使得f(x0) 0，此时函数f(x) 在1 ，x0 上单调递增， 在x0，4 上单调递减，f(1) 13122a162a 0，f(4) 13641216 8a4038a163?a1. 此时， 由f(x0) x20 x020?x02 或 1(舍去 ) ，所以函数f(x)maxf(2) 103. 考点二利用导数研究函数的零点或方程的根【例 2】 (2015北京卷 ) 设函数f(x) x22kln x，k0. (1) 求f(x) 的单调区间和极值；(2) 证明：若f(x) 存在零点，则f(x) 在区间 (1 ，e 上仅有一个零点. (1) 解由f(x) x22kln x(k0) ，得x0且f(x) xkxx2kx. 由f(x) 0，解得xk( 负值舍去 ).f(x)与f(x) 在区间 (0 ， ) 上的情况如下：x (0 ，k)k (k，)f(x)0f(x)k（1ln k）2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页所以f(x) 的单调递减区间是(0 ，k) ，单调递增区间是(k， ).f(x) 在xk处取得极小值f(k) k（1 ln k）2. (2) 证明由(1) 知，f(x) 在区间 (0 ， ) 上的最小值为f(k) k（1ln k）2. 因为f(x) 存在零点，所以k（1 ln k）20，从而ke. 当k e 时，f(x) 在区间 (1 ，e) 上单调递减，且f(e) 0，所以xe是f(x)在区间 (1 ，e 上的唯一零点 . 当ke 时，f(x) 在区间 (0，e) 上单调递减，且f(1) 120，f(e)ek20 且c32270，存在x1( 4， 2) ，x2 2，23，x3 23，0 ，使得f(x1) f(x2) f(x3) 0.由f(x) 的单调性知，当且仅当c 0，3227时，函数f(x) x3 4x24xc有三个不同零点. 考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题【例 3】 (2017合肥模拟) 已知f(x) xln x，g(x) x3ax2x2. (1) 如果函数g(x) 的单调递减区间为13， 1 ，求函数g(x) 的解析式；(2) 对任意x(0， ) ， 2f(x) g(x) 2 恒成立，求实数a的取值范围 . 解(1)g(x) 3x22ax1，由题意 3x22ax10 的解集是13，1 ，即 3x2 2ax10 的两根分别是13，1. 将x1 或13代入方程3x22ax 10，得a 1. 所以g(x) x3x2x2. (2) 由题意 2xln x3x22ax1 2 在x(0， ) 上恒成立，可得aln x32x12x，设h(x) ln x32x12x，则h(x) 1x3212x2（x1）（ 3x1）2x2，令h(x) 0， 得x 1 或13( 舍) ， 当 0 x0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页当x1 时，h(x)x，求a的取值范围 . 解(1) 当a1 时，f(x) x2ln xx，f(x) （2x1）（x1）x.当x(0， 1)时，f(x)0. 所以f(x) 的最小值为f(1) 0. (2) 由f(x)x，得f(x) xx2 ln x(a 1)x0. 由于x0，所以f(x)x等价于xln xxa1. 令g(x) xln xx，则g(x) x21ln xx2. 当x(0，1)时，g(x)0. 故g(x) 有最小值g(1)1. 故a11，a1 时，f(x)0 得x0，x2x10.解得 0 x152. 故f(x) 的单调递增区间是0，152.(2) 证明令F(x) f(x) (x 1) ，x(0， ). 则有F(x) 1x2x. 当x(1，) 时，F(x)1 时，F(x)1 时，f(x)1 时，f(x)x1. 【训练 4】 (2017泰安模拟) 已知函数f(x) ln x. (1) 求函数F(x) f（x）x12的最大值； (2) 证明：f（x）x120 时，0 xe；当F(x)e，故F(x)在(0 ， e) 上是增函数，在(e， ) 上是减函数，故F(x)maxF(e) 1e12. (2) 证明令h(x) xf(x) xln x，则h(x) 11xx1x， 当h(x)0 时，0 x0 时，x1，故h(x) 在(0，1) 上是减函数，在(1 ) 上是增函数，故h(x)minh(1) 1. 又F(x)max1e121，故F(x)h(x) ，即f（x）x12xf(x). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页