2020届高考数学（文）课标版二轮复习训练习题：专题六第3讲 导数的简单应用 .docx
第3讲导数的简单应用一、选择题1.(2019山西太原模拟)设函数f(x)=13x3-x+m的极大值为1,则函数f(x)的极小值为()A.-13B.-1C.13D.1答案Af (x)=x2-1,由f (x)=0得x1=-1,x2=1,所以f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以f(x)在x=-1处取得极大值,易知f(-1)=1,得m=13,f(x)在x=1处取得极小值, f(1)=1313-1+13=-13.2.(2019山东泰安模拟)已知f(x)=14x2+sin2+x, f (x)为f(x)的导函数,则y=f (x)的图象大致是()答案A易知f(x)=14x2+cos x,所以f (x)=12x-sin x, f (x)为奇函数,排除B,D;当x=6时, f (x)=12-12<0,排除C,故选A.3.(2019安徽模拟)已知f(x)=lnxx,则()A. f(2)>f(e)>f(3)B. f(3)>f(e)>f(2)C. f(3)>f(2)>f(e)D. f(e)>f(3)>f(2)答案D易知f(x)的定义域是(0,+), f (x)=1-lnxx2,当x(0,e)时, f (x)>0;当x(e,+)时, f (x)<0,所以f(x)max=f(e),又f(2)=ln22=ln86, f(3)=ln33=ln96,所以f(e)>f(3)>f(2).4.(2019四川成都摸底)已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.3,+)C.(-,1D.(-,3答案Bf (x)=3x2-a,又f(x)在(-1,1)上单调递减,3x2-a<0在(-1,1)上恒成立,a3.5.(2019广东广州模拟)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)答案Df (x)=3x2+2ax,曲线f(x)在点P处的切线方程为x+y=0,3x02+2ax0=-1,又x0+x03+ax02=0,x0=1,当x0=1时, f(x0)=-1;当x0=-1时, f(x0)=1.点P坐标为(1,-1)或(-1,1).6.(2019广东广州模拟)若函数f(x)=ex(sin x+acos x)在4,2上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,1)C.1,+)D.(1,+)答案Af (x)=exsin x+cos x-a(sin x-cos x),当a=0时, f (x)=ex(sin x+cos x),显然x4,2时, f (x)>0恒成立,排除C、D;当a=1时, f (x)=2excos x,x4,2时, f (x)>0,所以选A.二、填空题7.(2019湖南长沙调研)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时, f(x)=ln x-axa>12,当x(-2,0)时, f(x)的最小值为1,则a=.答案1解析由题知,当x(0,2)时, f(x)的最大值为-1,f (x)=1x-a.令f (x)=0,得x=1a,当0<x<1a时, f (x)>0;当x>1a时, f (x)<0.f(x)max=f1a=-ln a-1=-1,解得a=1.8.(2019湖北武汉模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是.答案1,32解析f(x)的定义域为(0,+), f (x)=4x-1x,由f (x)=0解得x=12,由k-1<12<k+1,k-10,解得1k<32.9.(2019宁夏银川诊断)若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是.答案(-3,0)(0,+)解析f (x)=3ax2+6x-1,由f(x)恰好有三个单调区间,得f (x)有两个不相等的零点.所以a0,且=36+12a>0,解得a>-3,所以a的取值范围是(-3,0)(0,+).10.(2019江西上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为.答案2解析易知y=x2-ln x的定义域为(0,+),当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时,点P到直线y=x-2的距离的值最小,如图所示.令y=2x-1x=1,解得x=1,所以P(1,1),所以点P到直线y=x-2的距离的最小值dmin=|1-1-2|2=2.三、解答题11.(2019福建六校联考节选)已知函数f(x)=(x-1)ex-12ax2.讨论f(x)的单调性.解析f(x)的定义域为(-,+),f (x)=ex+(x-1)ex-ax=x(ex-a).(i)若a0,则当x(-,0)时, f (x)<0;当x(0,+)时, f (x)>0,所以f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(ii)若a>0,由f (x)=0得x=0或x=ln a.若a=1,则f (x)=x(ex-1)0,所以f(x)在(-,+)上单调递增.若0<a<1,则ln a<0,所以当x(-,ln a)或x(0,+)时, f (x)>0;当x(ln a,0)时, f (x)<0,所以f(x)在(-,ln a),(0,+)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减.若a>1,则ln a>0,所以当x(-,0)或x(ln a,+)时,f (x)>0;当x(0,ln a)时, f (x)<0,所以f(x)在(-,0),(ln a,+)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减.综上,当a0时, f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增;当0<a<1时, f(x)在(-,ln a),(0,+)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减;当a=1时, f(x)在(-,+)上单调递增;当a>1时, f(x)在(-,0),(ln a,+)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减.12.(2019江西宜春模拟)已知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)当a=12时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解析(1)当a=12时,f(x)=ln x-12x,定义域为(0,+),f (x)=1x- 12=2-x2x,令f (x)=0,得x=2,当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如表所示.x(0,2)2(2,+)f (x)+0-f(x)ln 2-1所以f(x)的极大值为f(2), f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1x-a=1-axx(x>0).若a0,则f (x)>0, f(x)在(0,+)上单调递增,此时f(x)无极值点;若a>0,则令f (x)=0得x=1a,当x0,1a时, f (x)>0,当x1a,+时, f (x)<0,所以f(x)在x=1a处有极大值,即有一个极大值点,无极小值点.综上,当a0时, f(x)无极值点,当a>0时, f(x)有一个极大值点x=1a,无极小值点.13.(2019安徽合肥质检节选)已知函数f(x)=excos x-x.求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解析令g(x)=f (x),则g(x)=ex(cos x-sin x)-1,g(x)=-2exsin x0在0,2上恒成立,且仅在x=0处等号成立,g(x)在0,2上单调递减,g(x)g(0)=0,f (x)0,且仅在x=0处等号成立,f(x)在0,2上单调递减,f(x)max=f(0)=1, f(x)min=f2=-2.
