2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：中档提升练 第八练 .docx
第八练一、选择题 1.某冷饮店只出售一种饮品,设x(单位:杯)为每天饮品的销量,y(单元:元)为该店每天的利润,y=5x,x19,76+x,x>19,该店统计了近10天的饮品销量,如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为() A.110B.15C.25D.14答案A由y=5x,x19,76+x,x>19可知日销量不少于20杯时,日利润不少于96元,日销量为21杯时,日利润为97元,从条形图可以看出,日销量为20杯的有3天,记为a,b,c,日销量为21杯的有2天,记为A,B,从这5天中任取2天,包括(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),共10种情况,其中选出的2天日销量都为21杯的情况只有1种,故所求概率为110.2.设向量a=(1,-2),b=(0,1),向量a+b与向量a+3b垂直,则实数=()A.12B.1C.-1D.-12答案B解法一:因为a=(1,-2),b=(0,1),所以a+b=(,-2+1),a+3b=(1,1),由已知得(,-2+1)(1,1)=0,所以-2+1=0,解得=1,故选B.解法二:因为向量a+b与向量a+3b垂直,所以(a+b)(a+3b)=0,所以|a|2+(3+1)ab+3|b|2=0,因为a=(1,-2),b=(0,1),所以|a|2=5,|b|2=1,ab=-2,所以5-2(3+1)+31=0,解得=1,故选B.3.将函数f(x)=2sin x的图象向左平移6个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,下面四个结论正确的是()A.函数g(x)在区间0,23上为增函数B.将函数g(x)的图象向右平移6个单位长度后得到的图象关于原点对称C.点3,0是函数g(x)图象的一个对称中心D.函数g(x)在,2上的最大值为1答案A将函数f(x)=2sin x的图象向左平移6个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到的图象对应的函数是g(x)=2sinx2+6.由-2x2+62,得-43x23,所以g(x)在0,23上为增函数,选项A正确;将函数g(x)=2sinx2+6的图象向右平移6个单位长度得到的图象对应的函数是y=2sin12x-6+6=2sin12x+12,其图象不关于原点对称,选项B不正确;因为g3=2sin6+6=2sin3=30,所以点3,0不是函数g(x)图象的一个对称中心,选项C不正确;当x2时,23x2+676,函数g(x)在,2上的最大值是2sin23=3,选项D不正确.故选A.4.已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足xf (x)-1<0,且f(2)=ln 2,则f(ex)-x>0的解集是()A.(-,ln 2)B.(ln 2,+)C.(0,e2)D.(e2,+)答案A因为xf (x)-1<0,且x>0,所以f (x)<1x,令g(x)=f(x)-ln x(x>0),则g(x)=f (x)-1x<0,所以g(x)在(0,+)上单调递减,又f(2)=ln 2,所以g(2)=0,不等式f(ex)-x>0转化为g(ex)>g(2),由于g(x)在(0,+)上单调递减,所以ex<2,得x<ln 2.二、填空题5.已知a,b,c为实数,则“110a<110b”是“ac2>bc2”的条件.答案必要不充分解析因为y=110x是单调递减函数,所以“110a<110b”的充要条件是“a>b”,而“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,所以“110a<110b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.6.已知A是抛物线y2=-4x上的动点,点A在y轴上的射影是点C,点B是圆D:(x-3)2+(y-2)2=1上的动点,则|AB|+|AC|的最小值是.答案25-2解析圆D:(x-3)2+(y-2)2=1的圆心为D(3,2),半径r=1.抛物线y2=-4x的焦点为F(-1,0),准线方程为x=1.作出点A在抛物线的准线上的射影,设为点H,连接AF,则|AB|+|AC|=|AB|+|AH|-1.由抛物线的定义可知,|AH|=|AF|,|AB|+|AC|=|AB|+|AF|-1.连接DF,易知当D,B,A,F四点共线时,|AB|+|AF|取得最小值,(|AB|+|AF|)min=|DF|-r=(3+1)2+22-1=25-1,(|AB|+|AC|)min=25-2.三、解答题7.已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a1=2,an+2n=2an-1+4(n=2,3,),数列bn的通项bn=Snn.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求1b12-1+1b22-1+1bn2-1.解析(1)证明:设等差数列an的公差为d.a1=2,an+2n=2an-1+4(n=2,3,),a2+22=22+4,得a2=4.d=a2-a1=4-2=2,an=2+2(n-1)=2n,Sn=12n(2+2n)=n(n+1),bn=Snn=n+1,bn+1-bn=n+2-(n+1)=1,数列bn是等差数列.(2)1bn2-1=1(n+1)2-1=1n(n+2)=121n-1n+2,1b12-1+1b22-1+1bn2-1=121-13+1212-14+121n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=1232-1n+1-1n+2.8.斜率为k的直线l与抛物线x2=2y交于A,B两点,且AB的中点恰好在直线x=1上.(1)求k的值;(2)直线l与圆x2+y2=12交于C,D两点,若|AB|=|CD|,求直线l的方程.解析(1)设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,x2=2y得,x2-2kx-2m=0,=4k2+8m>0,x1+x2=2k,x1x2=-2m.因为AB的中点在直线x=1上,所以x1+x2=2,即2k=2,所以k=1.(2)原点O到直线l的距离d=|m|2,|CD|=212-m22,|AB|=1+k2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=221+2m,因为|AB|=|CD|,所以2 21+2m=212-m22,化简得m2+8m-20=0,所以m=-10或m=2.由>0,d<23得-12<m<2 6,所以m=2,所以直线l的方程为y=x+2.
