2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：专题六第3讲 导数的简单应用 .docx
第3讲导数的简单应用一、选择题 1.(2019山西太原模拟)设函数f(x)=13x3-x+m的极大值为1,则函数f(x)的极小值为()A.-13B.-1C.13D.1答案Af (x)=x2-1,由f (x)=0得x1=-1,x2=1,所以f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以f(x)在x=-1处取得极大值,易知f(-1)=1,得m=13,f(x)在x=1处取得极小值, f(1)=1313-1+13=-13.2.(2019山东泰安模拟)已知f(x)=14x2+sin2+x, f (x)为f(x)的导函数,则y=f (x)的图象大致是()答案A易知f(x)=14x2+cos x,所以f (x)=12x-sin x, f (x)为奇函数,排除B,D;当x=6时, f (x)=12-12<0,排除C,故选A.3.(2019安徽模拟)已知f(x)=lnxx,则()A. f(2)>f(e)>f(3)B. f(3)>f(e)>f(2)C. f(3)>f(2)>f(e)D. f(e)>f(3)>f(2)答案D易知f(x)的定义域是(0,+), f (x)=1-lnxx2,当x(0,e)时, f (x)>0;当x(e,+)时, f (x)<0,f(x)max=f(e),又f(2)=ln22=ln86, f(3)=ln33=ln96,f(e)>f(3)>f(2).4.(2019四川成都摸底)已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.3,+)C.(-,1D.(-,3答案Bf (x)=3x2-a,又f(x)在(-1,1)上单调递减,3x2-a0在(-1,1)上恒成立,a3.5.(2019广东广州模拟)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)答案Df (x)=3x2+2ax,曲线f(x)在点P处的切线方程为x+y=0,3x02+2ax0=-1,又x0+x03+ax02=0,x0=1,当x0=1时, f(x0)=-1;当x0=-1时, f(x0)=1.点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).6.(2019广东广州模拟)若函数f(x)=ex(sin x+acos x)在4,2上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,1)C.1,+)D.(1,+)答案Af (x)=exsin x+cos x-a(sin x-cos x),当a=0时, f (x)=ex(sin x+cos x),显然x4,2时, f (x)>0恒成立,排除C、D;当a=1时, f (x)=2excos x,显然x4,2时, f (x)>0恒成立,所以选A.二、填空题7.函数f(x)=1+lnxx的增区间是,曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程是.答案(0,1(或(0,1)y=1解析第一个空:函数f(x)=1+lnxx,x>0, f (x)=-lnxx2,显然当0<x1时,有f (x)0,所以函数f(x)=1+lnxx的增区间是(0,1(或(0,1);第二个空: f (1)=0,所以曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程是y=1.8.(2019湖南长沙调研)已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时, f(x)=ln x-axa>12,当x(-2,0)时, f(x)的最小值为1,则a=.答案1解析由题意知,当x(0,2)时, f(x)的最大值为-1,f (x)=1x-a.令f (x)=0,得x=1a,a>12,0<1a<2.当0<x<1a时, f (x)>0;当1a<x<2时, f (x)<0.f(x)max=f1a=-ln a-1=-1,解得a=1.9.(2019湖北武汉模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是.答案1,32解析f(x)的定义域为(0,+), f (x)=4x-1x,由f (x)=0解得x=12,由k-1<12<k+1,k-10,解得1k<32.10.(2019江西上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为.答案2解析易知y=x2-ln x的定义域为(0,+),当点P是曲线y=x2-ln x的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时,点P到直线y=x-2的距离的值最小,如图所示.令y=2x-1x=1,解得x=1,所以P(1,1),所以点P到直线y=x-2的距离的最小值dmin=|1-1-2|2=2.三、解答题11.(2019江西宜春模拟)已知函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)当a=12时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解析(1)当a=12时, f(x)=ln x-12x,定义域为(0,+),f (x)=1x-12=2-x2x,令f (x)=0,得x=2,当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如表所示.x(0,2)2(2,+)f (x)+0-f(x)ln 2-1所以f(x)的极大值为f(2), f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1x-a=1-axx(x>0).若a0,则f (x)>0, f(x)在(0,+)上单调递增,此时f(x)无极值点;若a>0,则令f (x)=0,得x=1a,当x0,1a时, f (x)>0;当x1a,+时, f (x)<0,所以f(x)在x=1a处有极大值,即有一个极大值点,无极小值点.综上,当a0时, f(x)无极值点;当a>0时, f(x)有一个极大值点x=1a,无极小值点.12.(2019贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=ln x+12x2-ax+a(aR).(1)若函数f(x)在(0,+)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,且x2ex1(e为自然对数的底数),求f(x2)-f(x1)的最大值.解析(1)f (x)=1x+x-a(x>0),且f(x)在(0,+)上单调递增,当x>0时,恒有f (x)0,即1x+x-a0在x(0,+)上恒成立,ax+1xmin,x>0,又x>0时,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时取“=”,a的取值范围是(-,2.(2)f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,x1,x2是方程f (x)=0,即x2-ax+1=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系得x1+x2=a,x1x2=1,f(x2)-f(x1)=ln x2x1+12(x22-x12)-a(x2-x1)=ln x2x1-12(x22-x12)=ln x2x1-12(x22-x12) 1x1x2=ln x2x1-12 x2x1-x1x2,设t=x2x1(te),令h(t)=ln t-12t-1t(te),则h(t)=1t-121+1t2=-(t-1)22t2<0,h(t)在e,+)上是减函数,h(t)h(e)=121-e+ee,f(x2)-f(x1)的最大值为121-e+ee.13.(2019安徽合肥质检节选)已知函数f(x)=excos x-x,求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解析令g(x)=f (x),则g(x)=ex(cos x-sin x)-1,g(x)=-2exsin x0在0,2上恒成立,且仅在x=0处等号成立,g(x)在0,2上单调递减,g(x)g(0)=0,f (x)0,且仅在x=0处等号成立,f(x)在0,2上单调递减,f(x)max=f(0)=1, f(x)min=f2=-2.命题拓展预测1.已知函数f(x)(xR)可导,且xR,f (x)>f(x),nN*,则有()A.enf(-n)<f(0), f(n)>enf(0)B.enf(-n)<f(0), f(n)<enf(0)C.enf(-n)>f(0), f(n)>enf(0)D.enf(-n)>f(0), f(n)<enf(0)答案A设g(x)=f(x)ex,则g(x)=f (x)ex-f(x)exe2x=f (x)-f(x)ex>0,g(x)为R上的增函数,故g(-n)<g(0)<g(n),即 f(-n)e-n< f(0)e0<f(n)en,即enf(-n)<f(0), f(n)>enf(0).故选A.2.已知定义域为R的函数f(x)的导函数f (x)的图象如图所示,且f(-2)=f(3)=2,则函数f(x)的增区间为,若g(x)=(x-1)f(x),则不等式g(x)2x-2的解集为.答案1,+)-2,13,+)解析根据导函数的图象可知,当x1时, f (x)0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的增区间为1,+).不等式g(x)2x-2等价于(x-1)f(x)-20.由于f(-2)=f(3)=2,且函数在(-,1)上递减,在(1,+)上递增,所以当x<-2时,x-1<0, f(x)-2>0,则(x-1)f(x)-2<0;当-2x1时,x-10, f(x)-20,(x-1)f(x)-20;当1<x<3时,x-1>0, f(x)-2<0,(x-1)f(x)-2<0;当x3时,x-1>0, f(x)-20,(x-1)f(x)-20.故不等式g(x)2x-2的解集为-2,13,+).
