2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：冲刺提分作业第7讲 不等式的恒成立与存在性问题 .docx
第7讲不等式的恒成立与存在性问题1.(2019扬州期末,11)已知正实数x,y满足x+4y-xy=0,若x+ym恒成立,则实数m的取值范围为.2.若对任意x(0,+),y(0,+),(m-1)x+my22xy恒成立,则实数m的最小值为.3.(2018江苏海安高级中学高三上学期阶段测试)已知不等式(ax+3)(x2-b)0对任意x(0,+)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值集合为.4.(2018徐州铜山高三第三次模拟)当a>0时,若xR,使得a3x-42x2-x成立,则实数a的取值范围是.5.设0<m<12,若1m+21-2mk恒成立,则实数k的最大值为.6.已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(aR).若对于任意的xN*, f(x)3恒成立,则a的取值范围是.7.已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若xR, f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若x-1,1, f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若x-1,1, f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.8.对于定义在区间D上的函数f(x),若存在正整数k,使不等式1k<f(x)<k恒成立,则称f(x)为D(k)型函数.(1)设函数f(x)=a|x|,定义域D=-3,-11,3.若 f(x)是D(3)型函数,求实数a的取值范围;(2)设函数g(x)=ex-x2-x,定义域D=(0,2),判断g(x)是不是D(2)型函数,并给出证明.(参考数据:7<e2<8)答案精解精析1.答案m9解析mx+y恒成立等价于m(x+y)min,由x+4y-xy=0,得y=xx-4,因为x,y是正实数,所以x>4,y>1.则x+y=x+xx-4=x+x-4+4x-4=x+4x-4+1=(x-4)+4x-4+59,当且仅当x=6,y=3时取等号.所以m9.2.答案2解析(m-1)x+my22xy,m(x+y)x+22xy.又x(0,+),y(0,+),mx+22xyx+y.x+22xyx+yx+x+2yx+y=2,当且仅当x=2y(x>0,y>0)时等号成立,m2,故m的最小值为2.3.答案-2,8解析当b0时,由(ax+3)(x2-b)0得到ax+30在x(0,+)上恒成立,则a不存在;当b>0时,由(ax+3)(x2-b)0,可设f(x)=ax+3,g(x)=x2-b,又函数f(x)、g(x)的大致图象如图所示,由题意可知:a<0,-3a=b,再由a,b是整数得到a=-1,b=9或a=-3,b=1.因此a+b=8或-2.故a+b的取值集合为-2,8.4.答案0<a219或a2解析由a3x-42x2-x,a>0可得log2a3x-4x2-x,即x2-(3log2a+1)x+4log2a0在R上有解,则=(3log2a+1)2-16log2a0,解得log2a19或log2a1,则0<a219或a2.5.答案8解析由题意可知0<1-2m<1,且k的最大值即为1m+21-2m的最小值.因为1m+21-2m=22m+21-2m2m+(1-2m)=2+21-2m2m+2m1-2m+28,当且仅当2m=1-2m,即m=14时取等号,故kmax=8.6.答案-83,+解析f(x)=x2+ax+11x+13(xN*),则(3-a)xx2+8,即3-ax+8x.x+8x28=42,当且仅当x=22时取等号,因为xN*,当x=2时,x+8x=6;当x=3时,x+8x=3+83<6,因此x+8x的最小值为3+83,于是3-a3+83,即a-83.7.解析(1)=4a2-4(-a+2)0,a2+a-20,解得-2a1,故实数a的取值范围是-2,1.(2)x-1,1, f(x)0恒成立,则f(x)min0,x-1,1.当a>1时, f(x)在x-1,1上单调递增,则f(x)min=f(-1)=3-3a0,a1,舍去;当-1a1时, f(x)min=f(-a)=-a2-a+20,-2a1,则-1a1;当a<-1时, f(x)在x-1,1上单调递减,则f(x)min=f(1)=a+30,a-3,则-3a<-1.综上可得实数a的取值范围是-3,1.(3)x-1,1, f(x)0恒成立,则f(x)max0,x-1,1.当a0时, f(x)max=f(1)=a+30,a-3,则a0;当a<0时, f(x)max=f(-1)=3-3a0,a1,则a<0.综上可得实数a的取值范围是R.8.解析(1)因为f(x)=a|x|是D(3)型函数,所以13<a|x|<3在-3,-11,3上恒成立,即13|x|<a<3|x|在-3,-11,3上恒成立.又|x|的取值范围为1,3,所以a<(3|x|)min=1,a>(13|x|)max=13,所以a的取值范围为13,1.(2)g(x)是D(2)型函数.证明如下:先证明g(x)<2.记h(x)=x2+x+2ex,0<x<2,所以h(x)=-(x2-x+1)ex=-x-122+34ex<0,所以h(x)在(0,2)上为减函数.所以h(x)>h(2)=8e2>1,所以x2+x+2ex>1,即ex-x2-x<2,所以g(x)<2成立.再证明g(x)>12.记r(x)=x2+x+12ex,0<x<2,所以r(x)=-x2-x-12ex.令r(x)=0,得x=1+32(0,2),记x0=1+32,则x0+12=x02.当0<x<x0时,r(x)>0,当x0<x<2时,r(x)<0,所以r(x)在(0,x0)上为增函数,在(x0,2)上为减函数,所以r(x)max=r(x0)=x02+x0+12ex0=2x02ex0.要证g(x)>12,只要证r(x)<1,只要证r(x)max<1,即证2x02ex0<1,即证(2x0)2<ex0,即证2ln 2+2ln x0<x0(*).为证明(*)式,我们先证x>1时,有ln x<x2-12x.记p(x)=ln x-x2-12x,x>1,所以p(x)=1x-12-12x2=-(x-1)22x2<0,所以p(x)在(1,+)上为减函数,所以p(x)<p(1)=0,即ln x<x2-12x得证.所以2ln 2<22-122=12,2ln x0<2x02-12x0=x0-1x0,故要证明(*)式,只需证明12+x0-1x0<x0,即证x0<2,而x0=1+32<2,从而g(x)>12.由得12<g(x)<2,结论获证.
