2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：考前冲刺 必备二 审题方法秘籍 .docx

必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sin x-x+1-4x2x,则关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.审题指导sin(-x)=-sin x,2-x=12xf (x)<0f(1-x2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x答案(2,3)解析f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,f (x)=cos x-1-ln22x-2xln 2,f (x)<0,函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.(2018苏北四市开学考试,14)已知a,b,c,dR且满足a+3lnab=d-32c=1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为.二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2已知函数f(x)=ex,xR.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一的公共点.审题指导证明两曲线有唯一公共点函数(x)=ex-12x2-x-1有唯一一个零点(x)=ex-x-1结论证明曲线y=ex与曲线y=12x2+x+1公共点的个数等价于函数(x)=ex-12x2-x-1零点的个数.(0)=1-1=0,(x)存在零点x=0.又(x)=ex-x-1,令h(x)=(x)=ex-x-1,则h(x)=ex-1.当x<0时,h(x)<0,(x)在(-,0)上单调递减;当x>0时,h(x)>0,(x)在(0,+)上单调递增.(x)在x=0处有唯一的极小值(0)=0,即(x)在R上的最小值为(0)=0.(x)0(当且仅当x=0时,等号成立),(x)在R上是单调递增的,(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2019泰州期末,19)设A,B为函数y=f(x)图象上相异两点,且点A,B的横坐标互为倒数,过点A,B分别作函数y=f(x)图象的切线,若这两条切线存在交点,则称这个交点为函数f(x)的“优点”.(1)若函数f(x)=lnx,0<x<1,ax2,x>1不存在“优点”,求实数a的值;(2)求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围;(3)求证:函数f(x)=ln x的“优点”一定落在第一象限.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.典型例题例3设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列1an的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<11 000成立的n的最小值.审题指导(1)(2)an=2n1an=12nTn=1-12n解不等式|Tn-1|<11 000n取10解析(1)由已知Sn=2an-a1,得Sn-1=2an-1-a1(n2),所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n,所以Tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.由|Tn-1|<11 000,得1-12n-1<11 000,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n10.所以使|Tn-1|<11 000成立的n的最小值为10.跟踪集训3.(2019江苏七大市三模,19)已知数列an满足(nan-1-2)an=(2an-1)an-1(n2),bn=1an-n(nN*).(1)若a1=3,证明:bn是等比数列;(2)若存在kN*,使得1ak,1ak+1,1ak+2成等差数列.求数列an的通项公式;证明:ln n+12an>ln(n+1)-12an+1.四审审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键.典型例题例4已知函数f(x)=Asin(x+)xR,>0,0<<2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f x-12-f x+12的单调递增区间.审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(x+)的形式,再将x+看作一个整体,利用y=sin x的单调区间,通过解不等式求得结果.解析(1)由题图知,周期T=21112-512=,所以=2T=2,因为点512,0在函数图象上,所以Asin2512+=0,即sin56+=0.又因为0<<2,所以56<56+<43,从而56+=,即=6.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin6=1,解得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+6.(2)g(x)=2sin2x-12+6-2sin2x+12+6=2sin 2x-2sin2x+3=2sin 2x-212sin2x+32cos2x=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3.由2k-22x-32k+2,kZ,得k-12xk+512,kZ.所以函数g(x)的单调递增区间是k-12,k+512,kZ.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(x+)(>0)的图象如图所示,则f(2)=.五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,jN*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2 015,则i+j=.12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24审题指导i是奇数2 015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2 015=21 008-1,所以2 015为第1 008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为311+313022=961,前32个奇数行内奇数的总个数为321+323122=1 024,故2 015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是9612-1=1 921,所以第63行的第一个数为1 923,所以2 015=1 923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列an,an=213n,把数列an的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则A(10,8)=.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a106.下表给出一个“三角形数阵”.1412143438316已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN*).(1)求a83;(2)试写出aij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为An,求数列An的前m项和Bm的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.审题指导(1)f(x)=ln x+a(1-x)f (x)=1x-a结论(2)由(1)中结论f(x)的最大值ln a+a-1<0g(a)=ln a+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1x-a.若a0,则f (x)>0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a>0,则当x0,1a时, f (x)>0;当x1a,+时, f (x)<0,所以f(x)在0,1a上单调递增,在1a,+上单调递减.(2)由(1)知,当a0时, f(x)在(0,+)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f 1a=ln 1a+a1-1a=-ln a+a-1.因此f 1a>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,a>0,g(a)=1a+1>0,则g(a)在(0,+)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.(2019苏锡常镇四市教学情况调查(二),19)已知函数f(x)=x2+(2-a)x-aln x,其中aR.(1)如果曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值;(2)若函数f(x)的极小值不超过a2,求实数a的最小值;(3)对任意x11,2,总存在x24,8,使得f(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围.七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.典型例题例7已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.审题指导(1)(2)四边形OPTQ是平行四边形SOPTQ=2SOPQSOPQ=12|OF|y1-y2|y1与y2的关系联立直线PQ的方程与椭圆的方程解析(1)由已知可得ca=63,c=2,所以a=6.由a2=b2+c2,得b=2,所以椭圆C的标准方程是x26+y22=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=1m,则直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也满足方程x=my-2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得x=my-2,x26+y22=1,消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,=16m2+8(m2+3)>0,y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,则x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m,解得m=1.所以S四边形OPTQ=2SOPQ=212|OF|y1-y2|=24mm2+32-4-2m2+3=23.跟踪集训8.(2019南京、盐城二模,18)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且椭圆C短轴的一个端点到一个焦点的距离等于2.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点P(2,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,点Q(m,0).若对任意直线l总存在点Q,使得QA=QB,求实数m的取值范围;设点F为椭圆C的左焦点,若点Q是FAB的外心,求实数m的值.答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案95(2-ln 3)2解析由a+3lnab=1可知点(a,b)在曲线y=x+3ln x上,由d-32c=1可知点(c,d)在直线y=2x+3上,作曲线y=x+3ln x与直线y=2x+3平行的切线,设切点为P(x0,x0+3ln x0),y=1+3x,则y|x=x0=1+3x0=2,所以x0=3,故切点为P(3,3+3ln 3).(a-c)2+(b-d)2的最小值为P到直线y=2x+3的距离,即|6-3-3ln3+3|5=3(2-ln3)5,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为9(2-ln3)25.二审审结论会转换跟踪集训2.解析(1)由题意可知, f (x)=f 1x对任意x(0,1)(1,+)恒成立,不妨取x(0,1),则f (x)=1x=2ax=f 1x恒成立,即a=12.经验证,a=12符合题意.(2)设A(t,t2),B1t,1t2(t0且t1),因为f (x)=2x,所以A,B两点处的切线方程分别为y=2tx-t2,y=2tx-1t2,令2tx-t2=2tx-1t2,解得x=12t+1t,x(-,-1)(1,+),所以“优点”的横坐标的取值范围为(-,-1)(1,+).(3)证明:设A(t,ln t),B1t,-lnt,t(0,1),因为f (x)=1x,所以A,B两点处的切线方程分别为y=1tx+ln t-1,y=tx-ln t-1,令1tx+ln t-1=tx-ln t-1,解得x=2lntt-1t,则x>0,所以y=1t2lntt-1t+ln t-1=t2+1t2-1lnt-t2-1t2+1,设h(m)=ln m-m2-1m2+1,m(0,1),则h(m)=(m2-1)2m(m2+1)2,则h(m)>0,所以h(m)在(0,1)上单调递增,所以h(m)<h(1)=0,即ln t-t2-1t2+1<0.因为t2+1t2-1<0,所以y=1t2lntt-1t+ln t-1>0,所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数,即“优点”在第一象限.三审审结构定方案跟踪集训3.解析(1)证明:由(nan-1-2)an=(2an-1)an-1,得1an=2an-1+2-n,得1an-n=21an-1-(n-1),即bn=2bn-1,因为a1=3,所以b1=1a1-1=-230,因为bnbn-1=2(n2),所以bn是以b1=-23为首项,2为公比的等比数列.(2)设b1=1a1-1=,由(1)知,bn=2bn-1(n2),所以bn=2bn-1=22bn-2=2n-1b1,即1an-n=2n-1,所以1ak=2k-1+k.因为1ak,1ak+1,1ak+2成等差数列,所以(2k-1+k)+(2k+1+k+2)=2(2k+k+1),所以2k-1=0,所以=0,所以1an=n,即an=1n.证明:要证ln n+12an>ln(n+1)-12an+1,即证12(an+an+1)>lnn+1n,即证1n+1n+1>2lnn+1n.设t=n+1n,则1n+1n+1=t-1+t-1t=t-1t,且1<t2,从而只需证,当t>1时,t-1t>2ln t.设f(x)=x-1x-2ln x(1<x2),则f (x)=1+1x2-2x=1x-12,则f (x)>0,所以f(x)在(1,2上单调递增,所以f(x)>f(1)=0,即x-1x>2ln x,即t-1t>2ln t,所以原不等式得证.四审审图形抓特点跟踪集训4.答案-22解析由三角函数的图象可得34T=3-1=2,所以最小正周期T=83=2,解得=34.又f(1)=sin34+=1,解得=-4+2k,kZ,所以f(x)=sin34x-4+2k,kZ,则f(2)=sin32-4=sin 54=-22.五审审图表找规律跟踪集训5.答案21353解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,可以猜测第n行共n项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9=9(1+9)2=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53=21353,故答案为21353.6.解析(1)由题知,ai1成等差数列,因为a11=14,a21=12,所以公差d=14,a81=14+(8-1)14=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=34,a32=38,所以,每行的公比q=12,故a83=2122=12.(2)由(1)知ai1=14+(i-1)14=i4,所以aij=ai112j-1=i412j-1=i12j+1.(3)An=an11+12+122+12n-1=n42-12n-1=n2-n12n+1.Bm=12(1+2+m)-1212+24+38+m2m.设Tm=12+24+38+m2m,则12Tm=14+28+316+m2m+1,由-,得12Tm=12+14+18+12m-m2m+1=1-12m-m2m+1=1-m+22m+1,所以Bm=12m(1+m)2-1-m+22m+1=m(1+m)4+m+22m+1-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析因为f(x)=x2+(2-a)x-aln x,所以f (x)=(x+1)(2x-a)x,x(0,+).(1)因为曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1,所以f (1)=2(2-a)=1,解得a=32.(2)当a0时, f (x)>0在(0,+)上恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增,故函数f(x)不存在极值.当a>0时,令f (x)=0,得x=a2.列表:x0,a2a2a2,+f (x)-0+f(x)极小值则f(x)min=fa2=a-a24-alna2a2,因为a>0,所以12-a4-lna20.令g(a)=12-a4-lna2=12+ln 2-a4-ln a,则g(a)=-14-1a,当a>0时,g(a)<0,则g(a)在(0,+)上单调递减,又g(2)=0,所以需满足g(a)g(2)=0,则a2,则实数a的最小值为2.(3)记f(x)在1,2上的值域为A,在4,8上的值域为B.“对任意x11,2,总存在x24,8,使得f(x1)=f(x2)成立”等价于“AB”.当a21或a28,即a2或a16时,由(2)知f(x)在1,8上为单调函数,不合题意;当1<a22,即2<a4时,由(2)知 f(x)在0,a2上单调递减,在a2,+上单调递增,故fa2A,但fa2B,不合题意;当2<a24,即4<a8时,A=f(2), f(1),B=f(4), f(8),由AB得f(2)f(4),f(1)f(8),即8-2a-aln224-4a-2aln2,3-a80-8a-3aln2,解得a162+ln2,a777+3ln2,因为0<ln 2<1,所以2<2+ln 2<3,所以4<163<162+ln2<8.又因为e>2.7,计算得e3>24,则e72>e3>24,即72>ln 24=4ln 2,即7>8ln 2,亦即21>24ln 2,则777+3ln2-8=21-24ln27+3ln2>0,即777+3ln2>8.此时162+ln2a8.当4<a2<8,即8<a<16时,由AB,得f(8)f(1),得a777+3ln2<777=11<16,则8<a777+3ln2.综上,162+ln2a777+3ln2.七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析(1)由题意得ca=22,a=2,解得c=1,a=2,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设直线l的方程为y=k(x-2),代入椭圆C的方程,消去y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,由=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0得-22<k<22.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2.设AB的中点为M(x0,y0),则x0=x1+x22=4k21+2k2,y0=k(x0-2)=-2k1+2k2.当k0时,因为QA=QB,所以QMl,即kQMk=-2k1+2k2-04k21+2k2-mk=-1.解得m=2k21+2k2.当k=0时,可得m=0,符合m=2k21+2k2.由0k2=m2(1-m)<12,得0m<12.因为点Q为FAB的外心,且F(-1,0),所以QA=QB=QF.由(m+1)2=(x-m)2+y2,x22+y2=1,消去y,得x2-4mx-4m=0,易知x1,x2也是此方程的两个根,所以x1+x2=4m,x1x2=-4m.又因为x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2,所以8k21+2k2=-8k2-21+2k2,解得k2=18.所以m=2k21+2k2=15.