2021高三数学北师大版（理）一轮课后限时集训：60 圆锥曲线中的证明、探索性问题 .doc

圆锥曲线中的证明、探索性问题建议用时：45分钟1(2019长沙模拟)已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)，由题意可得 解得a2，c1，则b2a2c23，故椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在斜率为1的直线l，设为yxm，由(1)知F1，F2的坐标分别为(1,0)，(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2y21，由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d<1，得|m|<.|AB|22，联立得 消去y，得7x28mx4m2120，由题意得(8m)247(4m212)33648m248(7m2)>0，解得m2<7.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|x1x2|AB|，解得m2<7，得m.即存在符合条件的直线l，其方程为yx.2(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.3已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)，B(2,0)，C三点(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：yk(x1)(k0)与椭圆E交于M，N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x4上解(1)设椭圆E的方程为mx2ny21(m>0，n>0)，将A(2,0)，B(2,0)，C代入椭圆E的方程，得解得椭圆E的方程为1.(2)证明：将直线l：yk(x1)代入椭圆方程1并整理，得(34k2)x28k2x4(k23)0.设直线l与椭圆E的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.消去k2，得2x1x25(x1x2)8.直线AM的方程为y(x2)，即y(x2)直线BN的方程为y(x2)，即y(x2)由直线AM与直线BN的方程消去y，得x4.直线AM与直线BN的交点在直线x4上