2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第9章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 .doc

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)三种位置关系：相交、相切、相离(2)两种研究方法：2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|<d<r1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d<|r1r2|(r1r2)无解1当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程2圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1D(，31，)C由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切D相离B两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32<d<32，两圆相交3圆Q：x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为_xy20因为点P(1，)是圆Q：x2y24x0上的一点，故在点P处的切线方程为xy20.4圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_2由得xy20.由于x2y240的圆心为(0,0)，半径r2，且圆心(0,0)到直线xy20的距离d，所以公共弦长为222.考点1直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交，上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题(1)一题多解直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定(2)若直线xmy2m与圆x2y22x2y10相交，则实数m的取值范围为()A(，) B(，0)C(0，)D(，0)(0，)(3)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1B2 C3D4(1)A(2)D(3)C(1)法一：(代数法)由 消去y，整理得(1m2)x22m2xm250，因为16m220>0，所以直线l与圆相交法二：(几何法)圆心(0,1)到直线l的距离d<1<.故直线l与圆相交法三：(点与圆的位置关系法)直线l：mxy1m0过定点(1,1)，点(1,1)在圆C：x2(y1)25的内部，直线l与圆C相交(2)圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心C(1,1)，半径r1.因为直线与圆相交，所以d<r1.解得m>0或m<0.故选D.(3)如图所示，因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个(1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用dr，d>r或d<r建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合，转化为点到直线的距离求解1.已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定B因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d1.所以直线与圆相交2若直线l：xym与曲线C：y有且只有两个公共点，则m的取值范围是_1，)画出图像如图，当直线l经过点A，B时，m1，此时直线l与曲线y有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m，因此当1m<时，直线l：xym与曲线y有且只有两个公共点考点2圆与圆的位置关系几何法判断圆与圆的位置步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1r2，|r1r2|的值(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长解(1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|dr1r2，圆C1和圆C2相交(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x3y230，两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离为3，故公共弦长为22.求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解1.已知圆M：x2y22ay0(a>0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切D相离B由得两交点为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段长度为2，2.又a>0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，|MN|.r1r21，r1r23,1<|MN|<3，两圆相交2若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21B19C9D11C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r11，因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2(m25)从而|C1C2|5.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9，故选C.考点3直线、圆的综合问题切线问题过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证已知点P(1,2)，点M(3,1)，圆C：(x1)2(y2)24.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长解由题意得圆心C(1,2)，半径r2.(1)(11)2(22)24，点P在圆C上又kPC1，切线的斜率k1.过点P的圆C的切线方程是y(2)x(1)，即xy120.(2)(31)2(12)254，点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC|，过点M的圆C的切线长为1.当切线为x3时，切线长为1.(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解由直线yx1上的动点P向圆C：(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为()A1B2C.D3C如图，切线长|PM|，显然当|PC|为C到直线yx1的距离即2时|PM|最小为，故选C.弦长问题弦长的2种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.(1)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90(2)(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.(1)B(2)2(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，联立方程得得或|AB|2，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx3，圆x2y22x2y20，即(x1)2(y1)24，其圆心为C(1,1)，圆的半径r2，圆心C(1,1)到直线ykx3的距离d，d22r2，34，解得k，直线l的方程为yx3，即3x4y120.综上，直线l的方程为3x4y120或x0.故选B.(2)由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d，所以|AB|22.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算提醒：对于已知弦长求直线方程的问题，常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1) (2019太原一模)已知在圆x2y24x2y0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A3B6C4D2D将圆的方程化为标准方程得(x2)2(y1)25，圆心坐标为F(2，1)，半径r，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|，|BD|22，S四边形ABCD|AC|BD|2.直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设圆心C(a,0)，则2a0或a5(舍)所以圆C：x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得，(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x轴平分ANB”等价转化为“直线斜率的关系：kANkBN”，然后借助方程思想求解教师备选例题如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6,7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b>0)且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又BCOA2.由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d2.即2，解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以<1，解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.