2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第9章 第5节 第2课时 直线与椭圆 .doc

第2课时直线与椭圆考点1直线与椭圆的位置关系研究直线与椭圆位置关系的方法直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为，0直线与椭圆相交0直线与椭圆相切0直线与椭圆相离1.若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm0C0m5且m1Dm1且m5D直线ykx1恒过定点(0,1)，要使直线ykx1与椭圆1总有公共点，只需1，即m1，又m5，故m的取值范围为m1且m5，故选D.2已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3或m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数； (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点考点2弦长及中点弦问题中点弦问题处理中点弦问题常用的求解方法 (1)过椭圆1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是()A4x3y130B3x4y130C4x3y50D3x4y50(2)一题多解(2019惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为_(1)B(2)1(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意得得0，又P(3,1)是AB的中点x1x26，y1y22，kAB.故直线AB的方程为y1(x3)，即3x4y130，故选B.(2)法一：(直接法)椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，设椭圆方程为1(b>0)，由 消去x，得(10b24)y214(b24)y9b413b21960，设直线y3x7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知1，y1y22，解得b28.所求椭圆方程为1.法二：(点差法)椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，设椭圆的方程为1(b>0)设直线y3x7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得0，即，又弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为2，k3，代入上式得3，解得b28，故所求的椭圆方程为1.“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kABkOM，即kAB比较方便快捷，其中点M的坐标为(x0，y0)教师备选例题已知椭圆y21.(1)若过A(2,1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程解(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则x2x12x，y2y12y，由于点P，Q在椭圆上，则有： 得，所以，化简得x22x2y22y0(包含在椭圆y21内部的部分)(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k，因此所求直线方程是y，化简得2x4y30.1.(2019江西五市联考)已知直线y1x与双曲线ax2by21(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A BCDA由双曲线ax2by21知其渐近线方程为ax2by20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有axby0，axby0，由得a(xx)b(yy)，整理得，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM，又知kAB1，(1)，故选A.2.已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是_设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，所以方程有两个不等实根设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，因为点A和点B关于直线l对称，所以直线l为AB的垂直平分线，其方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，因为k0，所以<xG<0，即点G横坐标的取值范围为.弦长问题求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率)(2019武汉模拟)设离心率为的椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1PF2，PF1F2内切圆的半径为1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C，D在直线yx2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程解(1)RtPF1F2内切圆的半径r(|PF1|PF2|F1F2|)ac，依题意有ac1.又，则a，c1，从而b1.故椭圆E的方程为y21.(2)设直线AB的方程为yxm，代入椭圆E的方程，整理得3x24mx2m220，由>0得<m<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x2x1|.易知|BC|，则由<m<知|BC|，所以由已知可得|AB|BC|，即，整理得41m230m710，解得m1或m(均满足<m<)所以直线AB的方程为yx1或yx.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式教师备选例题已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.当t4时，椭圆E的方程为1，A(2,0)由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.所以SAMN2.(2)由题意知t>3，k>0，A(，0)，设M(x1，y1)，将直线AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()，得x1，故|AM|x1|.由题设知，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t>3等价于<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(，2)1.斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2BCDC设直线l的方程为yxt，代入y21，消去y得x22txt210，由题意知(2t)25(t21)>0即t2<5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|(当且仅当t0时取等号)2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程解(1)由题意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b，c1，所以椭圆方程为1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y(x1)将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.同理，|CD|.所以|AB|CD|，解得k1，所以直线AB的方程为xy10或xy10.考点3直线与圆锥曲线的综合问题解决直线与圆锥曲线的综合问题的一般步骤第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)设P(x0，y0)(y00)，又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x(x0)yy00，lPF2：y0x(x0)yy00.由题意知.由于点P在椭圆上，所以y1.所以.因为<m<，2<x0<2，可得，所以mx0，因此<m<.(3)设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立得整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.由题意0，即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.由(2)知，所以8，因此为定值，这个定值为8.本例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧设而不求，从而简化了运算过程教师备选例题设椭圆1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，O为坐标原点，求OCD的面积解(1)因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以.因为椭圆的离心率为，所以，又a2b2c2，可解得b，c1，a.所以椭圆的方程为1.(2)由(1)可知F(1,0)，则直线CD的方程为yk(x1)联立消去y得(23k2)x26k2x3k260.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.又A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268，解得k.从而x1x2，x1x20.所以|x1x2|，|CD|x1x2|.而原点O到直线CD的距离d，所以SOCD|CD|d.已知P点坐标为(0，2)，点A，B分别为椭圆E：1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围解(1)由ABP是等腰直角三角形，得a2，B(2,0)设Q(x0，y0)，则由，得 代入椭圆方程得b21，所以椭圆E的方程为y21.(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为ykx2.联立 消去y并整理得(14k2)x216kx120.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故(16k)248(14k2)>0，解得k2>.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得 因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以>0，即x1x2y1y2>0，又由x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k4>0，解得k2<4，综上可得<k2<4，则<k<2或2<k<.则满足条件的斜率k的取值范围为.课外素养提升数学运算“设而不求”在解析几何中的妙用“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用活用定义，转化坐标【例1】在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_yx设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|BF|yAyB4yAyBp，由 可得a2y22pb2ya2b20，所以yAyBp，解得ab，故该双曲线的渐近线方程为yx.评析设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF|BF|4|OF|的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a，b的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程【素养提升练习】抛物线y24mx(m0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(m,0)，则的最小值为_设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP，则2(当且仅当xPm时取等号)，所以，所以的最小值为.妙用“点差法”，构造斜率【例2】已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的标准方程为()A.1B1C.1D1D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，得0，所以kAB.又kAB，所以.又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的方程为1.评析该题目属于中点弦问题，可设出A，B两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题【素养提升练习】1.抛物线E：y22x上存在两点关于直线yk(x2)对称，则k的取值范围是_ (，)当k0时，显然成立当k0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y2x1，y2x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线BC的斜率kBC，由对称性知kBC，点M在直线yk(x2)上，所以y0k，y0k(x02)，所以x01.由点M在抛物线内，得y<2x0，即(k)2<2，所以<k<，且k0.综上，k的取值范围为(，)2已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？解假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，由 两式相减得(x1x2)(x1x2)0，又1，1，所以2(x1x2)(y1y2)0，所以kAB2，故直线l的方程为y12(x1)，即y2x1.由 消去y得2x24x30，因为16248<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点巧引参数，整体代入【例3】已知椭圆y21的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由解(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120.解得x12，x2，所以M.(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为yk(x2)，联立方程化简得(14k2)x216k2x16k240.则xAxM，xMxA2.同理，可得xN.由(1)知若存在定点，则此点必为P.证明如下：因为kMP，同理可计算得kPN.所以直线MN过x轴上的一定点P.评析第(2)问先设出AM的方程为yk(x2)，联立方程，利用根与系数的关系求出xM，在此基础上借助kAMkAN1，整体代入求出xN.【素养提升练习】已知F为抛物线C：y22x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|DE|的最小值解法一：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：xty，则直线l1的斜率为，联立方程得 消去x得y22ty10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22t，y1y21.所以|AB|y1y2|2t22，同理得，用替换t可得|DE|2，所以|AB|DE|24448，当且仅当t2，即t1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.法二：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：yk，l2：y.由消去y得k2x2(k22)x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21.由抛物线的定义知，|AB|x1x21112.同理可得，用替换|AB|中k，可得|DE|22k2，所以|AB|DE|222k242k2448，当且仅当2k2，即k1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.