2021高三数学北师大版（理）一轮课后限时集训：55 抛物线 .doc
抛物线建议用时：45分钟一、选择题1点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236yD将yax2化为x2y.当a>0时，准线y，则36，a.当a<0时，准线y，则6，a.抛物线方程为x212y或x236y.2(2019菏泽模拟)过抛物线C：x22y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|()A1B2C3D4Ax22y，y，yx，抛物线C在点B处的切线斜率为1，B，抛物线x22y的焦点F的坐标为，直线l的方程为y，|AF|BF|1.3(2019桂林模拟)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离B相切C相交但不经过圆心D相交且经过圆心B设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切4过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|3，则AOB的面积为()A.B C.D2C设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|x113，所以x12，y12.设AB的方程为x1ty，由消去x得y24ty40.所以y1y24.所以y2，x2，所以SAOB1|y1y2|.5已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为()A3B4 C5D1A由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.二、填空题6(2019北京高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_(x1)2y24如图，抛物线y24x的焦点为F(1,0)所求圆的圆心F，且与准线x1相切，圆的半径为2，则所求圆的方程为(x1)2y24.7已知抛物线y24x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|xA13，所以xA2，yA2，所以直线AB的斜率为k2.则直线AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立整理得2x25x20，xAxB，所以xB，所以|BF|1.8已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x24yFPM为等边三角形，则|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x24y.三、解答题9已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)由题意得直线AB的方程为y2，与y22px联立，消去y有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而该抛物线的方程为y28x.(2)由(1)得4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，所以2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.10(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.1(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6 C7D8D过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8.故选D.2已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x3y2p0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则()A16B4 CDA因为直线4x3y2p0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|CF|，所以.由抛物线的定义得|AF|xA，|DF|xD.由整理得8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xD，故16.故选A.3(2019贵阳模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为60的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则p_.1过点A，B向抛物线的准线x作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E(图略)，A，B两点在抛物线上，|AC|AF|，|BD|BF|.BEAC，|AE|AF|BF|，直线AB的倾斜角为60，在RtABE中，2|AE|AB|AF|BF|，即2(|AF|BF|)|AF|BF|，|AF|3|BF|.|AF|2，|BF|，|AB|AF|BF|.设直线AB的方程为y，代入y22px，得3x25px0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2p，|AB|x1x2p，p1.4(2017全国卷)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)由 y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)>0，即m>1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.1设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A1B2 C3D4C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1x2x33，则|(x1x2x3)3.2.如图所示，抛物线yx2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：若AB的斜率为1，则|AB|4；|AB|min2；yM1；若AB的斜率为1，则xM1；xAxB4.以上结论正确的所有序号是()A B CDD由题意得，焦点F(0,1)，对于，lAB的方程为yx1，与抛物线的方程联立，得消去x，得y26y10，所以yAyB6，则|AB|yAyBp8，则错误；对于，|AB|min2p4，则错误；因为y，则lAM：yyA(xxA)，即yxAx，lBM：yyB(xxB)，即yxBx，联立lAM与lBM的方程得解得M.设lAB的方程为ykx1，与抛物线的方程联立，得消去y，得x24kx40，所以xAxB4k，xAxB4，所以yM1，和均正确；对于，当AB的斜率为1时，xM2，则错误，故选D.
