2021高三数学北师大版（理）一轮课后限时集训：76 不等式的证明 .doc

不等式的证明建议用时：45分钟1已知a0，b0，ab2.(1)求证：a2b22；(2)求证：1.证明(1)根据重要不等式得：a2b2(ab)22.(2)，等号成立的条件为：，故1.2已知a，b为正实数(1)求证：ab.(2)利用(1)的结论求函数y(0<x<1)的最小值解(1)证明：因为(ab).又因为a>0，b>0，所以0，当且仅当ab时等号成立所以ab.(2)因为0<x<1，所以1x>0，由(1)的结论，y(1x)x1.当且仅当1xx即x时等号成立所以函数y(0<x<1)的最小值为1.3已知a，b，c>0，abc1.求证：(1) ；(2) .证明(1)因为由柯西不等式得()2(111)2(121212)()2()2()23，当且仅当，即abc时，等号成立，所以 .(2)因为由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1) 29(当且仅当abc时，等号成立)，又abc1，所以6 9，所以 .4已知函数f(x)|2x3|2x1|的最小值为M.(1)若m，nM，M，求证：2|mn|4mn|；(2)若a，b(0，)，a2bM，求的最小值解(1)证明：f(x)|2x3|2x1|2x3(2x1)|2，M2.要证明2|mn|4mn|，只需证明4(mn)2(4mn)2，4(mn)2(4mn)24(m22mnn2)(168mnm2n2)(m24)(4n2)，m，n2,2，m2，n20,4，(m24)(4n2)0，4(mn)2(4mn)20，4(mn)2(4mn)2，可得2|mn|4mn|.(2)由(1)得，a2b2，因为a，b(0，)，所以(a2b)4，当且仅当a1，b时，等号成立所以的最小值为4.