必修1第三章函数的应用3-2《函数模型及其应用》.ppt

3.2 函数模型及其应用四川四川 开江开江 中学中学 制作制作 蔡晓江蔡晓江 北京青年报曾报道：潮北京青年报曾报道：潮白河底挖出冰冻古树可白河底挖出冰冻古树可能是山杨，专家经过检能是山杨，专家经过检测可推断树的埋藏时间测可推断树的埋藏时间 v你知道专家是根据你知道专家是根据什么推断树的埋藏什么推断树的埋藏时间的吗？时间的吗？问题问题 201515年年4 4月月1616日，一网友在百度日，一网友在百度“魔兽世界魔兽世界”的贴吧里发布的贴吧里发布了一则题为了一则题为贾君鹏你妈妈喊你回家做作业贾君鹏你妈妈喊你回家做作业贴子。贴子。 通过网站的点击量实例，让学生感性认识到几类不同函数的增长模型，了解增长速度，感性上认识这几类增长情况，从而引入课题；通过对例题的讲解，让学生明白这三类增长型函数模型的不同点，演示它们的函数图象和发展趋势，深入了解增长的幅度；本节课的重点为：函数模型的建立思路和求解过程，难度是如何建立函数模型。 教学过程中渗透数形结合思想和化归思想，让学生深入理解增长函数的模型不同点和相同点，并会在求解实际问题中灵活运用。可以适当的配以例题进行强化与练习，达到学生“不怕函数应用题”的目的。 12345678时间/小时点击量/万2550751001251501752002252509101112275300325350375时时间间点点击击量量/ /小小时时0112.527.1314.6425539641.7744.3847994101881137512750网站流量显示网站流量显示:统计数据：绘制图形统计数据：绘制图形假如你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？函数模型的建立函数模型的建立方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。累计回报表（累计回报表（总总回报回报） 天数方案1234567891011一二三40801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.2 50.8 102204.4 409.2 816.8累计回报表累计回报表 天数方案1234567891011一二三40801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.2 50.8 102204.4 409.2 816.8投资_ 应选择第一种投资方案；投资_应选择第二种投资方案；投资_应选择第三种投资方案。1111天（含天（含1111天）以上，天）以上，8 81010天，天， 1 17 7天，天， 列表法比较三种方案的累计回报思考思考1：大家觉得这样的结论可靠吗？你有什么担忧吗？方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。思考2：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型去刻画？12346578910200406080100120140yx方案一:y=401234567891040404040404040404040 x方案二y=10 x12345678910102030404050506060707080809090100100 xy=0.4*2x-1123456789100.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8图象法比较三种方案日回报量y=40y=40y=10 xy=0.42x-1xx/天方案一方案二方案三y/元增量/元y/元增量/元y/元增量/元1400100.4240200.8340301.64405406407408409403040300214748364.84050607080903.26.412.825.651.2102.4 列表法比较三种方案的日回报量0000000001010101010101010100.40.81.63.26.412.825.651.2107374182.410102.4探究与思考 例2：这个初夏，甲型H1N1流感袭来. 数学家建立模型来预测未来感染者的人数。在这个模型中，最重要的因素之一是流行病的传播能力，也就是一个患者平均可以传染几个人，这个数值叫做再生数再生数( (通俗理解即为增长率通俗理解即为增长率) )。这一次甲型H1N1流感，专家初步估计这个数值大约在0.41.5之间。 若截至今天杭州已确认感染者50个，假如杭州的再生数是0.4，且不进行任何防控措施且不进行任何防控措施，请同学计算一下，第31天感染者总人数？第36天感染者总人数呢？ 12100714 . 1503065080524 . 15035火箭的最大速度火箭的最大速度v v和燃料和燃料质量质量M M、火箭质量、火箭质量m m的函数的函数关系是：关系是：Mv 2 000ln(1)m对数函数模型（一）对数函数模型（一）对数函数模型对数函数模型生物学家研究发现生物学家研究发现: :洄游鱼类的游洄游鱼类的游速速v v和鱼的耗氧量和鱼的耗氧量O之间的函数关之间的函数关系系: :31O2100vlog对数函数模型（二）溶液的酸碱度是通溶液的酸碱度是通过过pHpH值来刻画的值来刻画的,pH,pH值的计算公式值的计算公式为为: :pHlg H对数函数模型（三）对数函数模型（三）例例3.3.溶液酸碱度的测量溶液酸碱度的测量. . 溶液酸碱度是通过溶液酸碱度是通过pHpH刻画的刻画的. pH. pH的计算公式为的计算公式为pHpHlgHlgH ，其中，其中HH 表示溶液中氢离子的浓度，单位表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔是摩尔/ /升升. . (1) (1)根据对数函数性质及上述根据对数函数性质及上述pHpH的计算公式，说明溶液的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； (2)(2)已知纯净水中氢离子的浓度为已知纯净水中氢离子的浓度为HH 10107 7摩尔摩尔/ /升，计算纯净水的升，计算纯净水的pH.pH.lgHlgH+ + 增大，增大，从而从而-lgH-lgH+ + 减小，减小，解：解：（1 1）根据对数函数的性质，在根据对数函数的性质，在(0,+)(0,+)上，随着上，随着HH+ + 的增大的增大, ,所以，所以，溶液中氢离子的浓度越大，溶液中氢离子的浓度越大，pHpH就越小，即就越小，即溶液的酸性越强溶液的酸性越强。（2 2）当）当HH+ + 10107 7时，时，pH=-lg10pH=-lg10-7-7=7,=7,所以，纯净所以，纯净水的水的pHpH是是7.7.于是由于是由pH=-lgHpH=-lgH+ + ：知道知道pHpH随着随着HH+ + 的增大而减小，的增大而减小，0lglgMAA其中，其中，A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A A0 0是是“标准地震标准地震”的振幅的振幅( (使用标准地震振幅是使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）偏差）. .例例4.4.2020世纪世纪3030年代，里克特（年代，里克特（C.F.RichterC.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. .这就是我们常说的里氏震级这就是我们常说的里氏震级M.M.其计算公式为其计算公式为汶川县发生汶川县发生里氏里氏7.8级地级地震震19 （1 1）假设在一次地震中）假设在一次地震中, ,一个距离震一个距离震中中100100千米的测震仪记录的地震最大振幅是千米的测震仪记录的地震最大振幅是2020，此时标准地震的振幅是，此时标准地震的振幅是0.0010.001，计算这，计算这次地震的震级（精确到次地震的震级（精确到0.10.1）；）； （2 2）5 5级地震给人的震感已比较明显级地震给人的震感已比较明显，计算，计算7.67.6级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震的级地震的最大振幅的多少倍（精确到最大振幅的多少倍（精确到1 1）. .解解: :(1)(1)420lg20 lg0.001 lglg20 0000.001lg2 lg104.3M因此，这是一次约为里氏因此，这是一次约为里氏4.34.3级的级的地震地震. .（2 2）由）由0lglgMAA可得可得000lg1010 .MMAAMA AAA 当当M=7.6 M=7.6 时，地震的最大振幅为时，地震的最大振幅为7.61010AA；当当M=5M=5时，地震的最大振幅为时，地震的最大振幅为52010AA所以，两次地震的最大振幅之比是所以，两次地震的最大振幅之比是7.67.6 52.60152010101039810AAAA答：答：7.67.6级地震的最大振幅大约是级地震的最大振幅大约是5 5级地震的最大振幅的级地震的最大振幅的398398倍。倍。可以看到，虽然可以看到，虽然7.6 7.6 级地震和级地震和5 5级地震仅相差级地震仅相差2.62.6级，但级，但7.67.6级地震的最大振幅却是级地震的最大振幅却是5 5级地震最大振级地震最大振幅的幅的398398倍倍. .所以所以,7.6 ,7.6 级地震的破坏性远远大于级地震的破坏性远远大于5 5级地震的破坏性级地震的破坏性. .例例5.5.生物机体内碳生物机体内碳1414的的“半衰期半衰期”为为5 7305 730年年. . 湖南长沙马王堆汉墓女尸出湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳土时碳1414的残余量约占原始含量的残余量约占原始含量的的76.776.7，试推算马王堆古墓的，试推算马王堆古墓的年代年代. .死亡年数死亡年数t t 碳碳1414含量含量P P1 1x x2 2x x2 23 3x x3 3t tx xt t解：解：设生物死亡时，每克组织中的碳设生物死亡时，每克组织中的碳1414的的含量为含量为1 1，1 1年后的残留量为年后的残留量为x x，所以生物体，所以生物体的死亡年数的死亡年数t t与其体内每克组织的碳与其体内每克组织的碳1414含量含量P P有如下关系：有如下关系：因此，因此，生物死亡生物死亡t t年后体内碳年后体内碳1414的含量的含量5 73012 又又由由题题意意有有x tPx 5 7301142 这这样样生生物物死死亡亡年年后后体体内内碳碳 的的含含量量（ ）ttP 5 73012log 即即对对数数形形式式为为tP 0767.而而P 由计算器可得由计算器可得t2 193.t2 193.所以，马王堆古墓是所以，马王堆古墓是近近2 2002 200年前年前的遗址的遗址. .5 73012log0.767 t15 7305 7301122 于于是是（ ）x 例6、某公司2009年为了实现1000万元总利润的目标，他准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？思考思考: :本题中符合公司要求的 模型有什么条件?销售利润X的取值范围:奖金y满足的条件:1000,10 x5y25%yx不同增长的函数模型的实际应用不同增长的函数模型的实际应用典例精讲典例精讲不同增长的函数模型的实际应用不同增长的函数模型的实际应用三种奖金模型的函数模型xy=0.25xy=log7x+1y=1.002x10020030040050060070080090010000.270.270.330.330.40.40.50.50.60.60.730.730.90.91.091.091.331.33增量增量y y增量增量y y增量增量y y2550751004.374.444.54.550.350.210.150.113.373.723.934.081.221.491.822.221251501752002252502525252525252525254.194.290.10.080.070.060.052.723.324.054.956.047.37典例精讲典例精讲不同增长的函数模型的实际应用不同增长的函数模型的实际应用典例精讲典例精讲不同增长的函数模型的实际应用不同增长的函数模型的实际应用1 1.请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指数函数、一次函数、指数函数、对数函数对数函数）差异的认识。2 2. 几类增长函数建模的步骤列列解解析析式式具具体体问问题题画出图像（画出图像（形形）列出表格（列出表格（数数）不不同同增增长长确确定定模模型型预报和决策预报和决策控制和优化控制和优化 规律总结常数函数一次函数指数函数对数函数增长量为零增长量相同增长量迅速增加增长量减少没有增长直线增长指数爆炸对数增长跟踪训练跟踪训练跟踪训练跟踪训练变式训练变式训练跟踪训练跟踪训练x051015202530y151305051130200531304505y2594.4781785.2337336.371051.21072.28108y35305580105130155y452.31071.42951.14071.04611.01511.005 课后训练1.1.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x成指数型变化的变量是_关于x成直线型变化的变量是_y3y22.观察下表，某人身高用一次函数、指数型函数、对数型函数哪个刻画比较好，为什么？某人年龄和身高(cm)年龄21232527身高160162163163.5课堂练习课堂练习2.分析函数模型的方法：解析法列表法图象法1.不同函数模型的增长特点： 直线上升 指数爆炸 对数增长 3.数学思想:匀速递增急剧增长缓慢增长一次函数一次函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数数形结合, 函数思想(不等式的问题转化为函数问题)课后练习课后练习课后习题课后习题