2021高三数学北师大版（理）一轮课后限时集训：57 曲线与方程 .doc
曲线与方程建议用时：45分钟一、选择题1若方程x21(a是常数)，则下列结论正确的是()A任意实数a方程表示椭圆B存在实数a方程表示椭圆C任意实数a方程表示双曲线D存在实数a方程表示抛物线B当a0且a1时，该方程表示椭圆；当a0时，该方程表示双曲线；当a1时，该方程表示圆故选B.2(2019深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24yBy23xCx22yDy24xA设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y.3已知圆M：(x)2y236，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足2，0，则点G的轨迹方程是()A.1B1C.1D1A由2，0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，|GN|GP|，|GM|GN|MP|6>2，点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a6,2c2，b24，点G的轨迹方程为1，故选A.4在ABC中，B(2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC周长为10C1：y225ABC面积为10C2：x2y24(y0)ABC中，A90C3：1(y0)则满足条件，的轨迹方程依次为()AC3，C1，C2BC1，C2，C3CC3，C2，C1DC1，C3，C2AABC的周长为10，即|AB|AC|BC|10，又|BC|4，所以|AB|AC|6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；ABC的面积为10，所以|BC|y|10，即|y|5，与C1对应；因为A90，所以(2x，y)(2x，y)x2y240，与C2对应故选A.5设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|5，则点M的轨迹方程为()A.1B1C.1D1A设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由，得(x，y)(x0,0)(0，y0)，则 解得由|AB|5，得2225，化简得1.二、填空题6已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_(x10)2y236(y0)设A(x，y)，则D.|CD|3，化简得(x10)2y236，由于A，B，C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.7一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且2，则点P的轨迹方程是_4x2y216设P(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2b236.因为2，所以(xa，y)2(x，by)，所以即代入a2b236，得9x2y236，即4x2y216.8已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_1(y0)设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0)三、解答题9已知动点M到定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(1，2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值解(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆由c2，a2，得b2.故动点M的轨迹C的方程为1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y2k(x1)，由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.4k(k2)24(12k2)(2k28k)0，则k0或k.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.从而k1k22k(k4)4.当直线l的斜率不存在时，得A，B，所以k1k24.综上，恒有k1k24.10.如图，P是圆x2y24上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程解(1)设M(x，y)，则D(x,0)，由知，P(x,2y)，点P在圆x2y24上，x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21，且轨迹C为椭圆(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：yk(x3)，代入y21，得(14k2)x224k2x36k240，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k6k.四边形OAEB为平行四边形，(x1x2，y1y2)，又(x，y)，消去k，得x24y26x0，由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)>0，得k2<，0<x<.顶点E的轨迹方程为x24y26x0.1在ABC中，已知A(1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是()A.1B1(x)C.1D1(x2)D|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，|BC|BA|2|CA|4.点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c1，长轴长2a4的椭圆，又B是三角形的顶点，A、B、C三点不能共线，故所求的轨迹方程为1(x2)2已知点F(1,0)，直线l：x1，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线D连接MF，由中垂线性质知|MB|MF|，即M到定点F的距离与它到直线x1距离相等点M的轨迹是抛物线，D正确3设抛物线y24x的焦点为F，过点的动直线交抛物线于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，则点M的轨迹方程为_y22x1设直线PQ的方程为xty，与y24x联立，得y24ty20.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y24t，y1y22，x1x24t21，M.设M(x，y)，则由消去t，得点M的轨迹方程为y22x1.4已知定圆M：(x3)2y216和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q.(1)讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点(2)若定点A(5,0)，试求QMA的面积的最大值解(1)由题意知|QP|QA|，当A在圆M外时，|MA|>4，且|QA|QM|PM|4<|MA|，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，见图(1)当A在圆M内，且与M不重合时，|MA|<4，且|QA|QM|MP|4>|MA|，所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，见图(2)当A在圆M上时，l过定点M，l与PM的交点Q就是点M，所以点Q的轨迹就是一个点，见图(3)当A与M重合时，l与PM的交点Q就是PM的中点，所以点Q的轨迹就是圆，见图(4)综上所述，Q点的轨迹可能是四种(2)因为A(5,0)在圆M内，由(1)知，点Q的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，且|MA|22c，|MP|42a，所以b，由椭圆的几何性质可知，Q为短轴端点时，SMQA最大，所以SMQA的最大值为2cb.1(2019安庆模拟)如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支C可构造如图所示的圆锥母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆故选C.2(2019济南模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离的积等于常数a2(a2>4)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_因为原点O到两个定点F1(2,0)，F2(2,0)的距离的积是4，又a2>4，所以曲线C不过原点，即错误；设动点P在曲线C上，因为F1(2,0)，F2(2,0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面积不大于a2，即正确
