2022年北京四中---高中数学高考综合复习专题二十二抛物线 .pdf

优秀学习资料欢迎下载高中数学高考综合复习专题二十二抛物线一、知识网络二、高考考点1.抛物线定义的应用；2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；3.抛物线的焦点弦引出的问题；4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题；5.抛物线与三角形（或四边形）问题。三、知识要点（一）定义与推论1.定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 这一定义为抛物线上任意一点M 的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础. 2.推论：抛物线的焦点半径公式设为抛物线上任意一点，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载设为抛物线上任意一点，则其它情形从略。（二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点F 到准线 l 的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程：认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置. 其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向） ：系数为正， 焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2 倍 . 2.几何性质对于抛物线（ 1）范围：这条抛物线在y 轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；（ 2）对称性：关于x 轴对称轴为这条抛物线的轴. 认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）（ 3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（ 4）离心率：（抛物线主要共性之二）（三）挖掘与引申1.抛物线方程的统一形式（ 1）顶点在原点，以x 轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；顶点在原点，以y 轴为对称轴的抛物线方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；（ 2）顶点在，对称轴垂直y 轴的抛物线方程为：，其焦点参数；顶点在，对称轴垂直x 轴的抛物线方程为：，其焦点参数；2.抛物线的焦点弦设且 PQ 为抛物线的一条经过焦点的弦. （ 1）弦端点同名坐标的关系（课本 P119）（推导上述命题的副产品：，其中 k 为直线 PQ 的斜率）（ 2）焦点弦长公式（）（课本 P118例 3 引申）。（）设直线PQ 的倾斜角为，则故有：（ 3）的面积公式：；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载（ 4）焦点半径与的关系（定值）（ 5）平行与垂直关系的其它定值结论请读者通过课本习题去认知：P123 6，P133 2。（四）直线与抛物线直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式 的考察：直线与抛物线交于不同两点直线与抛物线交于一点（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交四、抛物线经典例题例 1、（ 1）抛物线的焦点坐标为；（ 2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点 F 的距离为5，则抛物线方程为；（ 3）经过抛物线的对称轴上一点作直线 l 与抛物线交于A、B 两点，若A 点纵坐标为，则 B 点纵坐标为. 分析：（ 1）将抛物线方程化为标准方程切入当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；综上可知，不论a 的正负如何，总有焦点坐标为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载（2）这里.注意到焦点半径在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。注意到点A 在 x 轴下方，因此，（）当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为，则又点 A 在抛物线上，则由，得：或由得： p=9 或 p=1 抛物线方程为：或（）当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，且仿（）解得p=1 或 p=9 抛物线方程为或（）当抛物线焦点在y 轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，p=4 此时抛物线方程为于是综合（）、（）、（）抛物线方程为或或. （ 3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级经过抛物线的对称轴上一定点作抛物线的弦AB ，若设，寻找点 A、B 的同名坐标之间的联系。设弦 AB 所直线方程为由与联立，消去x ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载（）应用上述结论，当a=p，时，由得 B 的纵坐标为 4p 例 2 、 已知抛物线， 点 A(2,3) ， F 为焦点，若抛物线上的动点到A、 F 的距离之和的最小值为，求抛物线方程. 分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。解：注意到抛物线开口大小的不确定性（ 1）当点 A 和焦点 F 在抛物线的异侧时，由三角形性质得，解得 p=2 或 p=6。注意到p=6 时，抛物线方程为，此时若x=2，则，与点A 所在区域不符合；当p=2 时，抛物线方程为，当 x=2 时，符合此时的情形。（ 2）当点 A 和焦点 F 在抛物线的同侧时（如图），作MN 准线 l 于点 N，得，解得易验证抛物线符合此时情形。于是综合（ 1）、（ 2）得所求抛物线方程为或.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载点评：求解此题有两大误区：一是不以点A 所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（ 2）导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在这里不论是A 在什么位置，总得成立，本题进行的检验是必要的. 例 3、 经过抛物线的焦点作弦AB. （ 1）若弦 AB 被焦点 F 分成的线段之比为3：1；求该弦所在直线的方程；（ 2）求证：直线AB 不会是这条抛物线任意一条弦CD 的垂直平分线. 分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标“ 设而不解 ” 的策略 . 解：（ 1）设由题意知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 方程为将代入消去 x 得：由韦达定理得：又由题意得（或）由得：将代入解得：所求直线方程为：或. （ 2）证明：由题意抛物线焦点，准线；假设直线AB 为弦 CD 的垂直平分线. 则注意到 C，D 两点在抛物线上 过 C，D 分别作于 G，于 H 则又有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载由、知，即四边形CDHG 为矩形轴轴这与直线AB 与抛物线有两个交点矛盾。于是可知，直线AB 不是弦 CD 的垂直平分线。点评：（） 本例（1）的求解特色， 一是利用三角形相似转化已知条件；弦 AB 被焦点 F 分成的线段比为3：1（或）；二是以为基础构造并寻觅出和的关系式，从而为利用式创造了条件. （）对于（2）等否定性命题，常常用反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感悟反证法的思路与策略. 例 4、 如图，已知抛物线的焦点为 F，直线 l 过定点 A(4,0) ，且交抛物线于P、Q 两点。（ 1）若以 PQ 为直径的圆经过原点，求p 的值；（ 2）在（ 1）的条件下，若，求动点R 的轨迹方程。分析：注意到直线l 过定点 A(4,0) ， 引入新参数k，故考虑对P、Q 坐标 “ 既设又解 ” 。解：（ 1）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为把代入抛物线方程得由题意：恒成立且由题设得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载、代入得：此时 p=2 当直线 l 垂直于 x 轴时，直线l 的方程为x=4，将 x=4 代入抛物线方程得：. 由得此时亦p=2 于是综合以上讨论得p=2. （ 2）解法一（既设又解）：设动点R 坐标为（ x,y ），由（ 1）知 p=2，F(1,0) 由得：由、得：由、消去参数得：当直线 l 垂直于 x 轴时，有，从而点满足因此，所求动点R 的轨迹方程为. 解法二（设而不解）：由（1）所设. 得：又两式组合得：，即当时得：注意到得 四边形 PRQF 为平行四边形. 线段 PQ 与 FR 互相平分设 FR 中点为 M，由得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载再注意到P、Q、M 、A 四点共线由、得：而当时，适合式于是可知，所求动点R 的轨迹方程为. 点评：对于（2）解法一 “ 既设又解 ” 的思路，过程简略，不需认知条件几何意义，便可导出动点R的条件，的几何意义以及P、Q、M、A 四点共线的特殊性质，解题具有较高的技术含量。例 5、 直线 l 与抛物线交于 A、B 两点， O 为原点，且有. （ 1）求证：直线l 恒过一定点；（ 2）若，求直线l 的斜率的取值范围. （ 3）设抛物线焦点为F，试问：角能否等于？若能，求出相应的直线l 的方程；若不能，试说明理由。分析： 鉴于问题的复杂性，考虑对A、B 坐标 “ 既设又解 ” ，注意到大前提有三个小题，故从大前提的认知与延伸切入. 解：（ 1）设，则有由得注意到这里，由得：，故由得，（）当直线l 与 x 轴不垂直时，设其方程为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载将其与抛物线方程联立，消去x 得：由题意：且由，得：直线 l 的方程为，可见直线l 过定点 (2,0)。（）当轴时可得，直线 l 方程为，亦过定点 (2,0)。综上可得，直线l 恒过定点 (2,0)。（ 2）由（ 1）得：由得：所求 k 的取值范围为（ 3）设，则有又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载而由抛物线定义知：，将，代入解得：，这与且矛盾。并注意到当轴时，综上可知，。点评：若直线与抛物线交于不同两点A、B，且，则弦 AB 具有与焦点弦相似的性质：（）弦端点同名坐标之积为定值：（）直线AB 经过抛物线的轴上一定点. 例 6、 已知抛物线.设 AB 是抛物线上不重合的两个任意点，且，（O为坐标原点）（ 1）若，求点 M 的坐标；（ 2）试求动点M 的轨迹方程。分析：注意到这里解题头绪的繁多，故考虑对A、B 坐标 “ 既设又解 ” 或“ 解而不设 ” ，以 “ 求解 ” 来化解解题的难度。解：设，则且. 由得解法一（既设又解）：由得又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载故得由、得（或）于是再由已知条件得此时点M 坐标为 (4p,0). （ 2）设动点M(x,y) ，则由得又由得：由、得：整理得：所求动点M 的轨迹方程为. 解法二（对A、B 坐标解而不设）：由题意，设直线OA 的方程为，则直线 OB ：. 设 M(x,y) ，得由解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载由解得由得（ 1）由得：，即当时或时，均由得点；（ 2）注意到，由得消去参数k，得即所求动点M 的轨迹方程为. 点评：（ 1）本题已知条件：，四边形 OAMB为矩形 . （ 2）对解法一、解法二进行比较：（）对交点坐标“ 解而不设 ” 思路简捷，过程明朗，通俗易懂。因此，当直线方程或曲线方程比较简单时，要注意适时运用这一策略。（）细细品味，解法一中对A、B 坐标的 “ 既设又解 ” ，与前面解决直线与椭圆（或双曲线）相交问题时，对交点坐标的 “ 只设不解 ” 有着明显不同。其中， 前面解决直线与椭圆（或双曲线或抛物线）相交问题时， 设出交点坐标之后，解“ 直线方程与曲线方程联立的方程组” ，解题中途运用韦达定理；而本题中设出A、B 坐标之后，解的是“ 关于所设交点坐标的等式所成的方程组” ，而且是一解到底，直到解出所设交点坐标，前后的“ 既设又解 ” ，一样说法，两种风情，其中的区别与缘由，需要我们细细品味。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载五、高考真题（一）选择题（ 1）（ 2005 全国卷） 已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 分析：抛物线的准线为对于双曲线有：由，得：由得于是：，应选 D. （ 2）（ 2004 全国卷） 设抛物线的准线与x 轴交于点Q，若过点Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A. B. -2 ，2C. -1 ，1D. -4 ，4 分析：抛物线的准线方程为点 Q 坐标为（ -2，0）由题意，设直线l 的方程为代入得：可知， k=0 符合已知条件；当时，由得由，得应选 C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载（ 3）（ 2005 上海卷） 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A.有且只有一条B.有且只有两条C.有无穷多条D.不存在分析：抛物线的焦点 F（1，0） . 若直线轴，则 A、B 横坐标之和等于2，与题意不合，故AB 不垂直于 x 轴，于是由抛物线关于x 轴的对称性知，这样的直线有两条，故选B. （二）解答题1.（2005 全国卷） 设两点在抛物线上， l 是 AB 的垂直平分线. （ 1）当且仅当取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（ 2）当直线l 的斜率为2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围. 分析：从线段AB 的垂直平分线的性质切入（ 1）直线 l 经过 F 又 l 为弦 AB 的垂线平分线，问题由此可以突破（ 2）以 A、 B 关于直线l 对称的条件突破难点。解：（ 1）抛物线焦点即，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载即当且仅当时，直线l 经过抛物线的焦点F. （ 2）设直线l 在 y 轴上的截距为b，则直线 l 的方程为可设直线AB 的方程为代入得：由题意得：且又设弦 AB 的中点为，解得：，即：注意到， 由得：由得：即直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载点评：利用解出的范围，再利用直线l 经过弦 AB 的中点导出b 与 m 的关系式，则由导出b 的取值范围便呼之欲出了。2.（2005 天津卷） 抛物线 C 的方程为，过抛物线C 上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线C 于两点 （P、 A、 B 三点互不相同） ， 且满足（， 且） . （ 1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（ 2）设直线AB 上一点 M，满足，证明：线段PM 的中点在y 轴上；（ 3）当时，若点 P 坐标为（ 1，-1），求为钝角时，点A 的纵坐标的取值范围 . 分析：（）对于（2），为采用向量的坐标公式，通过直线方程去求解或表示点A、B 坐标。因此，解（2）由写出斜率为的直线方程切入，从求解A、B 坐标突破（对A、B 坐标既设又解）；（）对于（ 3），为钝角，故仍从推导A、B 以及入手. 解：（ 1）抛物线方程这里的焦点参数，焦点坐标为，准线方程为（ 2）由题设知直线的方程为与抛物线方程联立解得当时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载，同理，设点 M 坐标为，则由以及、得又，即线段PM 的中点在y 轴上 . （ 3）当时，由点 P（1，-1）在抛物线上得. 由（ 2）得，注意到为钝角而，当时，从而；当时，从而于是综合、得所求的取值范围为点评：对于本题而言，第（2）小题的处理至关重要，在这里，利用点P 坐标和斜率，首先建立起直线的方程，而后与抛物线方程联立，导出与的关系式，则获知与的关系式，便一蹴而就，于是再利用题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载设条件推导点M 的横坐标与的关系便有八分胜算了。3.（ 2005 广东卷） 在平面直线坐标系中，抛物线上异于坐标原点O 的不同两点 A、B 满足（如图）（ 1）求的重心 G 的轨迹方程；（ 2）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 分析：注意到抛物线方程的简单以及重心公式的结构，容易首先对A、B 坐标 “ 设而不解 ” ；其次是“ 解而不设 ”.其实，若注意到的表达式，则“ 解而不设 ” 会更胜一筹。解：（ 1）设直线OA 的方程为，将其与抛物线方程联立，解得又由，设直线OB 的方程为，同理解得设的重心为，则由三角形重心坐标公式（推导从略）得注意到，由，消去参数得即所求的重心 G 的轨迹方程为（ 2）设的面积为S，由得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载当且仅当时取等号 . （当且仅当时取得）的面积存在最小值，且最小值为1. 点评：对有关直线与曲线的交点“ 解而不设 ” ，使解题的脉胳清晰，前途明朗，解题的技术含量较低。因此，对于方程简单的抛物线与直线相交问题，应注意适时的运用这一策略。4. （ 2005 江 西 卷 ） 如图 ，设 抛物 线的焦点为 F ， 动点P 在直 线上运动，过点P 作抛物线C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于 A、B 两点 . （ 1）求的重心 G 的轨迹方程；（ 2）证明：分析：注意到这里的PA、PB 为切线，并且抛物线方程简单，故考虑对A、B 坐标 “ 设而不解 ” ；对于（ 2），由于（ 1）中已经设出并表示出A、B、P 的坐标，故首选以证明两角的余弦值相等突破。解：（ 1）设切点由得：切线PA 的方程为切线 PB 的方程为由，联立解得点P 坐标。设的重心坐标为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载解得：即注意到点P 在直线 l 上，代入得：，即：所求的重心 G 的轨迹方程为. （ 2）由（ 1）知，又，且，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载点评：在此证明习题的过程中，将有关点的坐标或向量的坐标分别代入目标式两边，乃是为了在变形之后暴露出左右两边的相同之处。因此，当目标式两边中有同一量时，可考虑暂时保持这一量不变，而率先变化其余部分；“ 保留相同部分，变形不同部分” ，这是用计算的方法证明等式成立的基本技巧。请同学们在上述解答中品悟这一技巧的应用。5.（2005 山东卷） 已知动圆过定点且与直线相切，其中p0. （ 1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（ 2）设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和 OB 的倾斜角分别为和 ，当 、变化且+为定值时，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。分析：（ 1）定点，直线，得由直线与圆相切的充要条件知，动圆圆心M 到定直线l 的距离等于圆的半径，据此，可运用“ 直接法 ” ，也可运用 “ 定义法 ” 求动圆圆心轨迹方程。（ 2）注意到这里最终须写出直线AB 的方程，又直线OA 、OB 的方程易求，从而A、B 坐标易解，故可优先选择对点 A、 B 的坐标“ 解而不设 ” 。解：（ 1）设动圆圆心，定点，由动点M 到定点 F 和定直线l 距离相等，且定点不在定直线上由抛物线定义知，动点M 的轨迹 C 是以定点为焦点，直线为准线的抛物线动点 M 的轨迹 C 的方程是：（ 2）设直线OA 的方程为，直线 OB 的方程为，则，. 由解得：，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载由解得：（）直线AB 的斜率： 直线 AB 的方程为：即注意，由解直线AB 的方程为：即又注意到这里为定值，由知直线AB 恒过定点（）讨论：当时，从而，由直线AB 的方程为，此时直线AB 恒过定点（ 2p，0）当，即时，这里不合，于是综合以上讨论可知，当时，直线AB 恒过定点（ -2p，0）；当时，直线AB 恒过定点点评：运用这一策略解题，其难度在于由到的凑项；当时，为将直线AB 过定点和建立联系，首先在直线AB 的方程的常数项部分凑出，则前一部分自然随之变为，于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载是方程摇身一变成为方程，直线AB 经过的定点便暴露在我们的视野之中了。6.（2004 全国卷） 给定抛物线，F 是 C 的焦点，过点F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点 . （ 1）设 l 的斜率为1，求与夹角的大小；（ 2）设，若，求 l 在 y 轴上截距的变化范围. 分析：当与的夹角为，以求的值切入。注意到（ 1）的目标与（2）的条件，故考虑对交点A、B 的坐标 “ 既设又解 ” ，以取 “ 设” 与“ 解” 的两者之中，简化求解过程。解：（ 1）抛物线C 的焦点 F（1，0），直线l 的方程为设，与的夹角为，将代入抛物线方程得：由题设知，为这一方程的不等实根，显然成立由违达定理得 由、解与夹角的大小为（ 2）设直线l 的方程为，。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载由得显然成立且由题设得即又由、解得于是将代入得：解得：当解在4，9上为增函数即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页优秀学习资料欢迎下载 由得或或因此，直线l 在 y 轴上的截距的取值范围为点评：对于（2），利用向量的坐标由导出，是沟通与 A、B 坐标的联系，进而通过式导出k 与关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页