2022年线性代数知识点总结汇总 .pdf

线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数： 所有的逆序的总数2、行列式定义： 不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数 k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘 k 加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值 等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式： （A 是 m 阶矩阵， B 是 n 阶矩阵） ，则7、n 阶（n2）范德蒙德行列式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页数学归纳法证明8、对角线的元素为a，其余元素为 b 的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A| |B|（3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若 A 的特征值1 、2 、 n，则（7）若 A 与 B 相似，则 |A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（ 1 ） 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不 为0 ， 那 么 方 程 为 唯 一 解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0 解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律； （因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出 A=O或 B=O。2、转置的性质（ 5 条）（1） （A+B）T=AT+BT（2） （kA）T=kAT（3） （AB）T=BTAT（4）|A|T=|A|（5） （AT）T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或 BA=E成立，称 A 可逆， B 是 A 的逆矩阵，记为 B=A-1注：A可逆的充要条件是 |A| 04、逆的性质：（5条）（1） （kA）-1=1/kA-1 (k0)（2） （AB）-1=B-1A-1（3）|A-1|=|A|-1（4） （AT）-1=（A-1）T（5） （A-1）-1=A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页5、逆的求法：（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A 为数字矩阵：（A|E）初等行变换 （E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘 k 加到另一行（列）7、初等矩阵： 单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j 两行互换）；Ei-1（c）=Ei（1/c） （第 i 行（列）乘 c）Eij-1（k）=Eij（-k） （第 i 行乘 k 加到 j）（四）矩阵的秩9、秩的定义： 非零子式的最高阶数注： （1）r（A）=0 意味着所有元素为0，即 A=O（2）r（Ann）=n（满秩） |A| 0 A 可逆；r（A）n|A|=0 A 不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、 n-1）r 阶子式非零且所有r+1 子式均为 0。10、秩的性质：（7 条）（1）A 为 mn 阶矩阵，则 r（A）min（m,n）（2）r（AB）r（A）（ B）（3）r（AB）minr（A） ，r（B）（4）r（kA）=r（A） （k0）（5）r（A）=r（AC ） （C是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）设 A 是 mn 阶矩阵， B是 ns 矩阵， AB=O ，则 r（A）+r（B）n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页11、秩的求法：（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A为数字矩阵： A初等行变换 阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为 0） ，则 r（A）=非零行的行数（五）伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：（8 条）（1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1（2） （kA）*=kn-1A*（3） （AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5） （AT）*=（A*）T（6） （A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7） （A*）*=|A| n-2A（8）r（A*）=n （r（A）=n） ；r（A*）=1 （r（A）=n-1） ；r（A*）=0 （r（A）n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆：3 向量（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（，） =T=T2、长度定义：| |=3、正交定义：（，） =T=T=a1b1+a2b2+anbn=04、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵， AAT=E A-1=AT ATA=E |A|= 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量可由1，2，s线性表示(1) 非齐次线性方程组（1，2，s） （x1，x2， xs）T=有解。(2)r（1，2，s）=r（1，2，s，） （系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件： （了解即可）若1，2，s线性无关，1，2，s，线性相关，则可由1，2，s线性表示。7、线性表示的求法：（大题第二步）设1，2，s线性无关，可由其线性表示。（1，2，s| ）初等行变换 （行最简形 |系数）行最简形：每行第一个非0 的数为 1，其余元素均为 0（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）线性相关 =0（2）1，2线性相关 1，2成比例9、线性相关的充要条件：向量组1，2，s线性相关（1）有个向量可由其余向量线性表示；（2）齐次方程（1，2，s） （x1，x2， xs）T=0有非零解；（3）r（1，2，s）s 即秩小于个数特别地， n 个 n 维列向量1，2，n线性相关（1） r（1，2，n）n（2）|1，2，n |=0（3）（1，2，n）不可逆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关推论： n+1 个 n 维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组1，2，s线性无关（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）齐次方程（1，2，s） （x1，x2， xs）T=0只有零解（3）r（1，2，s）=s特别地， n 个 n 维向量1，2，n线性无关r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数） ，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。（2）若 n 维列向量1，2，3线性无关， 1，2，3可以由其线性表示，即（1，2，3）=（1，2，3）C，则 r（1，2，3）=r（C） ，从而线性无关。r（1，2，3）=3 r（C）=3 |C| 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩 :非零子式的最高阶数注:向量组1，2，s的秩与矩阵 A=（1，2，s）的秩相等16、极大线性无关组的求法（1）1，2，s为抽象的：定义法（2）1，2，s为数字的：（1，2，s）初等行变换 阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若1，2，n与1，2，n是 n 维向量空间 V 的两组基，则基变换公式为（1，2，n）=（1，2，n）Cnn其中， C是从基1，2，n到1，2，n的过渡矩阵。C=（1，2，n）-1（1，2，n）18、坐标变换公式：向量在基1， 2， ， n与基1， 2， ， n的坐标分别为 x= （x1， x2， ，xn）T，y=（y1，y2，yn）T， ，即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，则坐标变换公式为x=Cy或 y=C-1x。其中，C是从基1，2，n到1，2，n的过渡矩阵。 C=（1，2，n）-1（1，2，n）（六） Schmidt 正交化19、Schmidt 正交化设1，2，3线性无关（1）正交化令1=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页（2）单位化4 线性方程组（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩阵形式： Ax=b；(3)向量形式： A=（1，2，n）2、解的定义：若=（c1，c2， cn）T满足方程组 Ax=b，即 A=b，称是 Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解 r（A）=n（n 为 A的列数或是未知数x 的个数）（2）有非零解 r（A）n4、非齐次方程组：（1）无解 r（A）r（A|b）r（A）=r（A）-1（2）唯一解 r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解 r（A）=r（A|b）n5、解的性质：（1）若1，2是 Ax=0的解，则 k11+k22是 Ax=0的解（2）若是 Ax=0的解，是 Ax=b的解，则 +是 Ax=b的解（3）若1，2是 Ax=b的解，则1-2是 Ax=0的解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页【推广】（1）设1，2，s是 Ax=b的解，则 k11+k22+kss为Ax=b的解（当 ki=1）Ax=0的解（当 ki=0）（2）设1，2，s是 Ax=b的 s个线性无关的解， 则2-1，3-1，s-1为 Ax=0的 s-1个线性无关的解。变式：1-2，3-2，s-22-1，3-2，s-s-1（三）基础解系6、基础解系定义：（1）1，2，s是 Ax=0的解（2）1，2，s线性相关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。任意 n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。7、重要结论：（证明也很重要）设 A 施 mn 阶矩阵， B是 ns 阶矩阵， AB=O（1）B的列向量均为方程 Ax=0的解（2）r（A）+r（B）n（第 2 章，秩）8、总结：基础解系的求法（1）A 为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A 为数字的： A初等行变换 阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设 r（A）=r，1，2，n-r为 Ax=0的基础解系，则 Ax=0的通解为 k11+k22+kn-rn-r （其中 k1，k2， kn-r为任意常数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页10、非齐次线性方程组的通解设 r（A）=r，1，2，n-r为 Ax=0的基础解系，为 Ax=b的特解，则 Ax=b的通解为 + k11+k22+kn-rn-r （其中 k1，k2，kn-r为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：如果既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组 Ax=0与 Bx=0有非零公共解有非零解 13、重要结论（需要掌握证明）（1）设 A 是 mn 阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与 Ax=0同解， r（ATA ）=r（A）（2）设 A 是 mn 阶矩阵， r（A）=n，B是 ns 阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解， r（AB）=r（B）5 特征值与特征向量（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设 A 为 n 阶矩阵，如果存在数及非零列向量，使得A=，称是矩阵A属于特征值的特征向量。2、特征多项式、特征方程的定义：| E-A|称为矩阵 A 的特征多项式（的n 次多项式）。| E-A |=0 称为矩阵 A 的特征方程（的n 次方程） 。注:特征方程可以写为 |A- E|=03、重要结论：（1）若为齐次方程 Ax=0的非零解，则 A=0，即为矩阵 A特征值 =0的特征向量（2）A 的各行元素和为 k，则(1，1， 1)T为特征值为 k 的特征向量。（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页 4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A 为抽象的：由定义或性质凑（2）A 为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程 | E-A|=0，得矩阵 A 的 n 个特征值1，2，n注：n 次方程必须有 n 个根(可有多重根，写作1=2=s=实数，不能省略 )（2）解齐次方程 （iE-A ）=0，得属于特征值i的线性无关的特征向量， 即其基础解系（共 n-r（iE-A ）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多 k 个线性无关的特征向量1n-r（iE-A ）ki（3）设 A 的特征值为1，2，n，则|A|= i，i=aii（4）当 r（A）=1，即 A=T，其中，均为n 维非零列向量，则A 的特征值为1=aii=T=T，2=n=0（5）设是矩阵 A 属于特征值的特征向量，则Af（A）ATA-1A*P-1AP （相似）f（ ）-1|A| -1/P-1（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设 A、B 均为 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得 B=P-1AP，称 A 与 B 相似，记作 AB8、相似矩阵的性质（1）若 A 与 B相似，则 f（A）与 f（B）相似（2）若 A 与 B相似， B与 C相似，则 A 与 C相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若 A 与 B相似，则 AB与 BA相似， AT与 BT相似， A-1与 B-1相似， A*与 B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果 A 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得 P-1AP= =，称 A 可相似对角化。注：Ai=ii（i0，由于 P可逆） ，故 P的每一列均为矩阵A 的特征值i的特征向量10、相似对角化的充要条件（1）A 有 n 个线性无关的特征向量（2）A 的 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量11、相似对角化的充分条件：（1）A 有 n 个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）（2）A 为实对称矩阵12、重要结论：（1）若 A 可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数， n-r（A）为零特征值的个数（2）若 A 不可相似对角化， r（A）不一定为非零特征值的个数（四）实对称矩阵13、性质（1）特征值全为实数（2）不同特征值的特征向量正交（3）A 可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得 P-1AP= （4）A 可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得 Q-1AQ=QTAQ= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页6 二次型（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2， xn）=d1x12+d2x22+dnxn2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy （C可逆） ，将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。（2）正交变换法：通过正交变换 x=Qy，将二次型化为标准形1y12+2y22+nyn2其中，1，2，n是 A 的 n 个特征值， Q 为 A 的正交矩阵注:正交矩阵 Q不唯一，i与i对应即可。（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形： f=z12+zp2-zp+12-zp+q2称为二次型的规范形。5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。注： （1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。（2）p=正特征值的个数， q=负特征值的个数， p+q=非零特征值的个数 =r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为 n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 B=CTAC ，称 A 与 B合同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页 7、总结： n 阶实对称矩阵 A、B的关系（1）A、B相似（ B=P-1AP）相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）相同的正负惯性指数 相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（ B=PAQ ）r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型 xTAx，如果任意 x0，恒有 xTAx0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。9、n 元二次型 xTAx 正定充要条件：（1）A 的正惯性指数为 n（2）A 与 E合同，即存在可逆矩阵C ，使得 A=CTC或 CTAC=E（3）A 的特征值均大于 0（4）A 的顺序主子式均大于0（k 阶顺序主子式为前k行前 k 列的行列式）10、n 元二次型 xTAx正定必要条件：（1）aii0（2）|A| 011、总结：二次型 xTAx 正定判定（大题）（1）A 为数字：顺序主子式均大于0（2）A 为抽象：证 A 为实对称矩阵： AT=A；再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若 A 是正定矩阵，则kA（k0） ，Ak，AT，A-1，A*正定（2）若 A、B均为正定矩阵，则A+B正定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页