2022年经济数学基础讲义 .pdf

1 / 23 经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生1，矩阵：A =012411210，称为矩阵。认识矩阵第一步：行与列，横为行，竖为列，第一行依次 0,1,2 ，第二行 1,1,4 第一列 0,1,2 这是一个三行三列矩阵，再给出一个三行四列矩阵12614231213252A教材概念的 m行 n 列矩阵。mnmmnnaaaaaaaaa212222111211，这个矩阵记作nmA，表明这个矩阵有 m 行， n 列，注意行 m 写在前面 ,列 n 写在后面，括号里面的称为元素，记为ija ，i是行，j是列，例如：12614231213252是三行四列矩阵，也说成43矩阵，注意行3 在前面，列4在后面，这里211a（就是指的第一行第一列那个数）123a（就是指的第二行第三列那个数）2，矩阵加法矩阵加法，满足行列相同的矩阵才能相加，对应位置的数相加。例如：011101010+012411210=021512220减法是对应位置的数相减。, 3，矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法则：注意字母对应精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页2 / 23 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211bbbbbbbbb333323321331323322321231313321321131332323221321322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111bababababababababababababababababababababababababababa说明：333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211bbbbbbbbb=333231232221131211ccccccccc乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a12a13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b21b31b ，注意是对应元素相乘，再求和。乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a22a23a乘以第二个矩阵的第一列元素11b21b31b 。依次类推， 结果元素ijc 等于第i行乘以第j列，举例：矩阵 A =021201，B =142136，AB =021201142136=1412第一行乘以第一列，)2(4)2(1061第一行乘以第二列，11)2(2031第二行乘以第一列，4401)2(61第二行乘以第二列，1102)2(31可以乘的条件：第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须相同，就是尾首必须相同，vwnmBA可以乘必须是A矩阵脚标的尾 n等于B矩阵脚标的首 w相等，对应元素相乘，再求和注意角标，角标是23，就是第二行乘以第三列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页3 / 23 wn例如:3332BA可乘3432BA不可乘，只要尾首相同就可乘，vwnmBA乘积为vm矩阵例如:3332BA可乘，乘积结果为32C矩阵2334BA可乘，乘积结果为24C矩阵矩阵的数乘 ，一个数乘以一个矩阵，等于这个矩阵的每个元素乘以这个数例：A =021201，3A =063603. 矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法不可交换，一般情况下BAAB4，矩阵的转置矩阵A转置矩阵记为TA, 转置就是把矩阵的行列元素对调，也可以看成沿主对角线翻转！A =012411210，则042111210TA021201A, 则022011TA从这里看出，下面一个矩阵A 是 23 矩阵（2 行 3 列）则 AT是 32 矩阵（ 3行 2 列），2018年 1月考题：设 A 为 34 矩阵， B 为 52 矩阵，且乘积矩阵ACTBT有意义，则C 为（ B ）矩阵。A. 42 B. 24 C. 35 D. 53 分析：根据尾首相同法ACTBT可表示为（ 34）（）（25），中间一个就是 42，注意是 CT，所以 C 就是 24。对称矩阵：对称矩阵的元素依主对角线对称：1设13230201aA，当 a0 时， A是对称矩阵主对角线主对角线主对角线主对角线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页4 / 23 5，求矩阵的逆预备知识 ：（1），在数的学习中，数的单位是1，1313，矩阵的单位是100010001I,除主对角是1 以外，其余全是0，并且，单位矩阵全是方阵（行数与列数相等）任何矩阵乘以单位阵不变AI=A，（可以试一试）例，3阶单位阵， I =100010001，我们以 3 阶阵来说逆，已知 A =012411210与前面1313类似，能不能找到一个矩阵，使得A 乘以这个矩阵等于单位阵？记为IAA1,1A称为A的逆，（2）矩阵的初等变换，将矩阵的任意两行互换，把某一行乘以一个数（指对这一行的每个元素都乘以这个数），把某一行乘以一个数，然后加到另外一行。求逆求逆原理：1AIIA, 举例： 设矩阵 A =012411210，求逆矩阵1A分析：第一步：把 A和单位阵 I 写在一起 , AI =100010001012411210第二步：初等变换100001010012210411，（由于第一行第一个数是0，要化成前面是单精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页5 / 23 位阵，这里就不能是0，于是交换1,2 行，随便两行都可以交换，因为第二行第一个数是 1，简单，所以就 1,2 行互换）120001010830210411第一行乘以 -2 加到第三行，目的是化0，除主对角以外，其他全部化成0 123001010200210411第二行乘以 3 加到第三行，123001011200210201现在开始化上面，第二行乘以-1 加到第一行123124112200010001第三行直接加到第一行；加到第二行把对角线上的都化成1，21123124112100010001第三行乘以21，这一步是把前面化成单位阵，这个就是我们要的1AI，前半部分是 I ，后半部分就是1A所以 A-1=21123124112这是个考题，具体计算可以省略些步骤，给出解题答案为：设矩阵 A =012411210，求逆矩阵1A解因为( AI ) =120001010830210411100010001012411210123124112200010001123001011200210201精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页6 / 23 21123124112100010001所以 A-1=21123124112另一种题型，解矩阵方程，其原理是对BAX两边左乘（ 就是靠在左边）1A，得BAAXA11, 因为IAA1, 所以BAX1，注意任何矩阵乘以单位阵保持不变。例：已知BAX，其中108532,1085753321BA，求X分析：先求逆，在计算。解：利用初等行变换得1055200132100013211001085010753001321121100255010364021121100013210001321121100255010146001即1212551461A由矩阵乘法和转置运算得12823151381085321212551461BAX考题举例：1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页7 / 23 2设矩阵A =021201，B =142136，计算 (AB )-1解因为 AB =021201142136=1412( ABI ) =1210011210140112121021210112101102所以 ( AB )-1=1221213设矩阵A =022011，B =210321，计算 (BA )-1解 因为 BA =210321022011=2435 (BAI )=1024111110240135542011112521023101所以( BA )-1=2522314解矩阵方程214332X解因为10430132104311112310111123103401精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页8 / 23 即233443321所以， X =212334=125设矩阵A =102120，B =123012，计算 (ABT)-1解：231201021201TAB2347所以272321)(1TAB6设矩阵 A1213，且有2453TABA，求矩阵B解：TAAB2453所以32112453245311AAABT52621A, 又11231A所以114281052621123B7. 设矩阵 A =1536，B =11，计算 ( A-I )-1B设矩阵 A=-1-6 ，B=1 解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页9 / 23 8. 已知BAX，其中108532,1085753321BA，求X解：利用初等行变换得1055200132100013211001085010753001321121100255010364021121100013210001321121100255010146001即1212551461A由矩阵乘法和转置运算得12823151381085321212551461BAX9已知AXB，其中122110135A，210B，求.X精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页10 / 23 10设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA解：因为105301211310012113102501即132553211所以， X =153213221=13253221= 110111. 设矩阵843722310A， I 是 3 阶单位矩阵，求1)(AI解：由矩阵减法运算得943732311843722310100010001AI利用初等行变换得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页11 / 23 113100237010349001113100011210010301113100011210001111110233010301001111100132010301001111即()IA113230111112. 设矩阵112,322121011BA，求BA1解：利用初等行变换得102340011110001011100322010121001011146100135010001011146100011110001011146100135010134001即1461351341A由矩阵乘法得7641121461351341BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页12 / 23 13. 设矩阵113421201A，321B，求BAI)2(T. 解 因为T2AI= 1000100012T113421201 =200020002142120311=142100311所以BAI)2(T=142100311321=931014设矩阵521,322121011BA，求BA1解：因为102340011110001011100322010121001011146100135010001011146100011110001011146100135010134001即1461351341A所以9655211461351341BA15设矩阵 A =1121243613，求1A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页13 / 23 解因为 ( AI )=10011201012400136131001122101007014111302710210100701411172010210100141011210100172010031001210100172010031001所以 A-1 =210172031161A）（I,121511311A求解：021501310)1(0)2(01050)1(1103010) 1(1121511311100010001AI100001010021310501100010001021501310IAI112335561011233556101000100011120010101003105011100010105203105011A）（I17设矩阵100101 ,011212AB，求1()TB A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页14 / 23 18设矩阵112104211A，计算1()IA。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页15 / 23 矩阵求秩秩就是通过初等变换后，剩下的不全是0 行数！表示为 r(A)例：矩阵111201134的秩是 2 .111201134000320111320320111,2 行不是 0，秩是 2 考题举例：1设111222333A，则( )r A_1_ 。2设矩阵021201A，200010212B，242216C，计算)(TCBAr解：因为CBAT=200010212022011242216 =042006242216 =200210且CBAT=001002200210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页16 / 23 解方程组：这是每年必考题目！就是把方程组的系数写成对应的矩阵，通过初等变换，求出方程组的解。例如：求下列线性方程组的一般解：126142323252321321321xxxxxxxxx这种非齐次型经常考，要求必须掌握解因为增广矩阵1881809490312112614231213252A00001941019101（还原成解的形式：应该是19131xx，19432xx）所以一般解为1941913231xxxx（其中3x 是自由未知量）增广矩阵就是系数和等号后面的数一起构成的矩阵，126142323252321321321xxxxxxxxx的系数矩阵是6142121252，记为 A，仅仅是系数构成的矩阵。增广矩阵是12614231213252，记为A，加了后面一列。就是多了等号后面一列方程组有解的条件：线性方程组bAX有解的条件是，他的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩即秩（ A）=秩（A），也可以写成)()(ArAr注意书上的定理，容易拿来考考填空：若线性方程组bAX满足秩（ A）=秩（A）=r ，则当nr时，线性方程组有解且只有惟一解；当nr时，线性方程组有无穷多解。系数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页17 / 23 通俗说法线性方程组bAX有唯一解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知量个数，解的步骤：写出增广矩阵，进行初等变换，要求主对角全是1 或 0，主对角是1 的那一列其余元素全是0，根据矩阵结果写出解组。（注意表明自由未知量）自由未知量可以理解为参数，例如：上题的解是1941913231xxxx（其中3x 是自由未知量）也可以写成，设cx3，解就可以写成cxcxcx321194191，其中 c 是任意常数。（这里说明这个方程组的有很多解，不仅仅是一组数解，写成没有c 的形式更简洁。）再看例子例： 求下列线性方程组的一般解：1241234123422432355xxxxxxxxxxx解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页18 / 23 故方程组的一般解为 : 注意理解最后的矩阵还原。齐次型线性方程组有非 0 解（就是全部都不是0）的条件是秩（ A）n，也就是系数矩阵A的秩小于行数（未知量的个数）15. 设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx，为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其一般解解：因为61011023183352231500110101500110231所以，当5时方程组有非零解一般解为3231xxxx（其中3x 为自由未知量）有解的条件是最下面一行必须全为0，所以05！考题举例1. 求当取何值时，线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页19 / 23 432143214321114724212xxxxxxxxxxxx有解，并求出一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形273503735024121114712412111112500003735024121当5时，方程组有解，且方程组的一般解为432431575353565154xxxxxx其中43,xx为自由未知量2. 求线性方程组262124204831234321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形132113841021421126121321101223058030580313211012230021012000001001516010890015600000此时齐次方程组化为65981615434241xxxxxx得方程组的一般解为此题给出了矩阵还原，把矩阵系数对应，写出方程组。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页20 / 23 43424156891516xxxxxx其中4x 是自由未知量3求解线性方程组的一般解0232022023432143214321xxxxxxxxxxxx解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形010030101031020031101231311031101231232121211231010030108001一般解为03834241xxxxx(4x 是自由未知量 ) 4求当取何值时，线性方程组1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx有解，在有解的情况下求方程组的一般解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形1000010511102121119102220105111021211114796371221211所以，当1时，方程组有解，且有无穷多解，00000105111084901一般解为：43243151110498xxxxxx其中43, xx是自由未知量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页21 / 23 5. 求线性方程组032038204214321321xxxxxxxxxx的一般解000012101301121036300111103238120111A一般解为：43243123xxxxxx，其中3x ，4x 是自由未知量6求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解解：因为系数矩阵111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x ，4x 是自由未知量）7当取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一般解解因为增广矩阵15014121111A26102610111100026101501所以，当=0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页22 / 23 26153231xxxx(x3是自由未知量8：求当取何值时线性方程组1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx有解，在有解的情况下求方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵19102220105111021211114796371221211A10000105111021211由此可知当1时，方程组有解此时000001051110849010000010511102121100000105111021211A得方程组的一般解为10511849432431xxxxxx其中43, xx是自由未知量9求线性方程组123412341234123432238402421262xxxxxxxxxxxxxxxx的一般解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页23 / 23 10求齐次线性方程组12341341234203202530 xxxxxxxxxxx的一般解。解：将系数矩阵化为行简化阶梯阵112111211032103201110111215301110000A所以，方程组的一般解为13423432xxxxxx（其中 x3，x4是自由未知量）注意：此资料过于形而上学，已经偏离数学意义，如以后再学数学，希望立足于概念，定理，分析方法，生成原理，运用于实际。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页