2022年线性代数期末考试试题B及解答 .pdf
线性代数期末考试试题B 及解答一、填空：（每空 2 分，共 34分）1、n阶行列式ijaD按照定义的完全展开式为； 该行列式的展开式中共项。2、设向量组123,12,11321aa线性相关，则 a，向量组的一个极大线性无关组为。3、A为三阶矩阵，且31A，*A为A的伴随矩阵，则32A，1*6AA。4、 n阶矩阵A不可逆，且A的伴随矩阵*A0，则线性方程组bAX的一个基础解系中含有个解向量。5、设矩阵4321A，矩阵B43322121322，且52A，则1B= ，BA。6、A为三阶矩阵，将A的第二列与第三列交换得到矩阵B，再把矩阵B的第一列加到第二列得到矩阵C，则满足CAQ的可逆矩阵Q。7、设向量,)211(,) 101 (TT则矩阵A_T，100A。8、若矩阵A3222与对角形矩阵B相似，则B，且IA3。9、设矩阵A的秩为 2，且IA2，AI均不可逆，则A的特征值为，实对称矩阵B与A相似，则二次型BXXxxxfT321,的规范形是，此二次型（填是或不是）正定二次型。二、计算题（要求写出计算过程）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页1、计算行列式1331133113311331aaaaD2、求齐次线性方程组079311813321115114321xxxx的一个标准正交的基础解系。3、设矩阵100021012A，矩阵X满足方程IXAAXA*2，其中*A为A的伴随矩阵，求矩阵X。4、设矩阵51341321aA有一个二重特征值4，求参数 a的值，并判断矩阵A能否与对角形矩阵相似，说明理由。三、设线性方程组axxxxxxxxxxxx43214321432133215341，问a取何值时，方程组有解；有解时求出方程组的通解。四、 （14分）已知二次型),(321xxxf323121232221844141417xxxxxxxxx1、写出二次型的矩阵A2、 用正交变换法将二次型化为标准形，并写出所做正交变换TYX及二次型标准形。五、证明题：1、设矩阵A满足0522IAA，证明：A可逆，并求1A。2、设1与2是非齐次线性方程组bAX的两个不同解， 其中A为nm矩阵，是对应的齐次线性方程组0AX的一个非零解，证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页（1）向量组211,线性无关；（2）若矩阵的秩1)(nAr，则向量组21,线性相关。一、填空（每空2 分，共 34 分）1、)(1)(111)1(nnnjjnjjjjaa；! n2、21；21,3、278；3 4、1 5、2；0 6、0101000117、211000211；A8、21；149、1,21,0；2221zz；不是二、计算题1、解：1332133213321332aaaaaaaD-2 分1331133113311331)2(aaaa0001001001001)2(aaaa-4 分)2(3aa-7 分2、解：000010001112111212241112A-2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页所以方程组的一个基础解系为0110,002121-4 分标准正交化得一标准正交的基础解系为：0512301,00215121qq-7 分3、解：因为3A，由IXAAXA*2可得AXAX63，所以AIAX1)2(3-4 分1000010102IA，100001010)2(1IA-6 分300036063X-8 分4、解：由32064113013234aaaAI-4 分因为0003103011321301323)4(AI，2)4(AIr，只有一个线性无关的特征向量 ，所以矩阵不能与对角形矩阵相似。-8 分三、解：aA33121153411111100003511011111251103511011111aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页所以1a时，方程组有解 -2分方程组为3514324321xxxxxxx，则一般解为43434353422xxxxxxX-4 分方程组特解为：T00320，导出组的一个基础解系为T01121，T10542-10 分所以方程组的通解为：22110kkX，21, kk为任意常数 -12 分四、1、144241422217A-2 分2、)9()18(2AI，所以9,18321-5 分对于,1821可得两个线性无关的特征向量TT102,01221，施 密 特 正 交 化 可 得 两 个 标 准 正 交 的 特 征 向 量Tq012511，Tq5425312-9 分对于93，可得T2213，标准化得Tq221313-11 分令321qqqT，则在TYX下，二次型化为23222191818yyyf-14 分五、证明题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页1、证明：因为IIAIA)5)(-3 分所以A可逆，且IAIA5)(1。-5 分2、证明： （1）设0)(21211kk，则0)(21211AkAk-1 分即0)(21bbkbk，所以01k，从而0)(212k，由21推出02k所以1和21线性无关 -3 分（2）因为1)(Arn，所以和21线性相关，即存在不全为零的21, kk使得0)(2121kk，01k，否则必有02k与21, kk不全为零矛盾。所以212112kkkk，即21,线性相关。 -5 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
