2022年反比例函数知识点总结典型例题大全 .pdf

1 反比例函数（一）反比例函数的概念1（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2（）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为 0，且 x 应对称取点（关于原点对称） （三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式：（）2自变量的取值范围：3图象：（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上图象关于直线对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4k 的几何意义如图 1，设点 P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA x 轴于 A 点， PBy 轴于 B 点，则矩形PBOA的面积是（三角形 PAO 和三角形PBO 的面积都是） 如图 2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QCPA 的延长线于C，则有三角形 PQC 的面积为图1 图2 5说明：（ 1 ） 双 曲 线 的 两 个 分 支 是 断 开 的 ， 研 究 反 比 例 函 数 的 增 减 性 时 ， 要 将 两 个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（3）反比例函数与一次函数的联系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 （四）实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法； （2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（五）充分利用数形结合的思想解决问题三、例题分析考点 1反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（） Ay=3x BC 3xy=1 D（2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（） ABCD考点 2图象和性质（1）已知函数是反比例函数， 若它的图象在第二、四象限内，那么k=_ 若 y 随 x 的增大而减小，那么k=_（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第_ 象限（3）若反比例函数经过点（，2） ，则一次函数的图象一定不经过第_ 象限（4）已知 a b0，点 P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（5）若 P（2，2）和 Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（） A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限（6）已知函数和（k 0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（） ABCD考点 3函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（） A正数B负数C非正数D非负数（2）在函数（a 为常数）的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（） ABCD（3）下列四个函数中：； ； y 随 x 的增大而减小的函数有（） A0个B1个C2个D3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值y 随 x 的增大而（填 “ 增大 ” 或 “ 减小 ” ） 注意， （3）中只有 是符合题意的，而 是在 “ 每一个象限内 ” y 随 x 的增大而减小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 考点 4解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y 是 z 的（） A正比例函数B反比例函数C一次函数D不能确定（2）若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（2，m） ，则 m=_ ，k=_ ，它们的另一个交点为_ （3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值（4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3） 求 x 0的值； 求一次函数和反比例函数的解析式（5）为了预防 “ 非典 ” ，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示） ，现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克请根据题中所提供的信息解答下列问题： 药物燃烧时y 关于 x 的函数关系式为_，自变量 x 的取值范围是 _；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_ 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_ 分钟后，学生才能回到教室；研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？考点 5面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、，则（） ABCD第（ 1）题图第（ 2）题图（2）如图， A、B 是函数的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC/y 轴， BC/x 轴， ABC 的面积S，则（） AS=1 B1S2CS=2 DS2 （3）如图， Rt AOB 的顶点 A 在双曲线上，且 SAOB=3 ，求 m 的值第（ 3）题图第（ 4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x ，y=2x 在第一象限内分别相交于P1和 P2两点，过 P1分别作 x轴、 y 轴的垂线P1Q1 ，P1R1 ，垂足分别为Q1，R1 ，过 P2分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P2 Q 2 ，P2 R 2 ，垂足分别为 Q 2，R 2 ，求矩形O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长，并比较它们的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 （5）如图，正比例函数y=kx（ k0）和反比例函数的图象相交于A、C 两点，过A 作 x 轴垂线交x轴于 B，连接 BC ，若 ABC 面积为 S，则 S=_第（ 5）题图考点 6.一次函数与反比例函数综合1. 如图，一次函数yxb与反比例函数kyx在第一象限的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作y轴的垂线，C为垂足，若32BCOS，求一次函数和反比例函数的解析式. 2. 如图，一次函数2ykx的图象与反比例函数myx的图象交于点P，点 P 在第一象限 PA x 轴于点 A，PBy 轴于点 B一次函数的图象分别交x轴、y轴于点 C、 D，且 SPBD=4，12OCOA（1）求点 D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0 x时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 . 3. 已知正比例函数2yx的图象与反比例函数kyx的图象有一个交点的纵坐标是2. （1）求反比例函数的解析式；（2）当31x时，求反比例函数y的取值范围 . 4. 已知：12yyy，1y与2x成正比例，2y与x成反比例， 且1x时，3y；1x时，1y求12x时，y的值5. 如图，1P是反比例函数(0)kykx在第一象限图像上的一点，点1A的坐标为（ 2，0） （1）当点1P的横坐标逐渐增大时，11POA的面积将如何变化？（2）若11POA与212P A A均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及2A点的坐标6. 如图，一次函数yxb与反比例函数kyx在第一象限的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作y轴的垂线，C为垂足，若32BCOS，求一次函数和反比例函数的解析式. y x P B D A O C y x O P1 P2 A2 A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 7. 如图，一次函数2ykx的图象与反比例函数myx的图象交于点P，点 P 在第一象限 PA x 轴于点 A，PBy 轴于点 B一次函数的图象分别交x轴、y轴于点 C、 D，且 SPBD=4，12OCOA（1）求点 D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0 x时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 . 8. 已知正比例函数2yx的图象与反比例函数kyx的图象有一个交点的纵坐标是2. （1）求反比例函数的解析式；（2）当31x时，求反比例函数y的取值范围 . 9. 已知：12yyy，1y与2x成正比例，2y与x成反比例， 且1x时，3y；1x时，1y求12x时，y的值10. 如图，1P是反比例函数(0)kykx在第一象限图像上的一点，点1A的坐标为（ 2，0） （1）当点1P的横坐标逐渐增大时，11POA的面积将如何变化？（2）若11POA与212P A A均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及2A点的坐标y x P B D A O C y x O P1 P2 A2 A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页