2022年北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题 .pdf

习题 4.4 532222221221.:(1)35.1515(1),15(1)15(1)(1)0,1,0,1.yxxxxxyxxxxxxxx求下列函数的单调性区间与极值点4解y=15x2132311(2).0.2110,1.yxxxxyxxxxx (,0) (0,1) 1 (1,+ ) y+ 0 + y 极小值x (, 1) 1 ( 1,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ) y+ 0 0 0 + y 极大值无极值极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页222222222(3),(,).1121220,1.(1)(1)xyxxxxxyxxxx (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1,+) y0 + 0 y 极小值1 极大值 1 22222221(4)ln,0.2(ln)(1/)ln2(ln)lnln2ln0,1,.yx xxxx xxxxxxyxxexxxx (0,1) 1 (1,e2) e2(e2,+ ) y0 + 0 y 极小值极大值2e32222.( )29122 1,3,.( )618126(32)6(1)(2)0,1,2.( 1)21, (1)7,(2)6,(3)11.( 1)21,(3)11f xxxxfxxxxxxxxffffff求函数在区间上的最大值与最小值并指明最大值点与最小值点是最小值是最大值.解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页2222203.22()()2(),/ 2.3222 ()(2)430,3333,(/2)( )0. ().44312.22pxVxpxpxpxppxpxpVp pxpxppxpxp V pV pVpppp将周长为的等腰三角形绕其底边旋转一周, 求使所得旋转体体积最大的等腰三角形的底边长度.设腰长为则是最大值等腰三角形的底边长度解,23x322324.,( )12,( ),0,3.( )32,320, 12.3,0.( )3 .( )333(1)(1)0,1,( )6 ,( 1)6,(1),(lkfxxlxkxxlkf xfxxlxklklkklfxxx fxxxxxfxx fff求出常数与 的值 使函数在处有极值并求出在这样的 与 之下的所有极值点以及在上的最小值和最大值是极小值解 1).(0)0,(1)2,(3)18. (1)2,(3)18.fffff是极大值是最小值是最大值222223202005.,.sinsincos,0.tan21cos2sincos0,tan.2(0)(/2)0, ()tan.2OBOAaOAKJKaaaKJaJJJaha设一电灯可以沿垂直线移动是一条水平线 长度为 . 问灯距离点多高时点有最大的照度是最大值 , 这时灯的高度 解6.,?ab若两条宽分别为及 的河垂直相交 若一船从一河转入另一河 问其最大的长度是多少精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页333000/ 2233cscsec ,0.2sec tancsc cotsec tan0,csc cottan,tan,arctan.lim ( ), lim( ),02,labalabbaaabbblllbabab设船与一岸夹角为则船长为在，有最小值，是最小值点.此时船长 l=a1+1+解,232/32/32/32/32/32/32/32/3222222220.7.()(),0.32 ()3233323()0,.333aabaababaxVaxaxxaVx axaxxaxaaxaxaxaxax在半径为 的球内作一内接圆锥体 , 要使锥体体积最大,问其高及底半径应是多少?设球心到内接圆锥体底的距离为, 则锥体体积=解33222200222223222232(0),( )0, ( ). ( )3332732 24,.33338.,.()()( ).3 ()3(3aaVa V aVaVaaaaxaahaxaaraahhrhhaahaaa hVV hhaaahhV为最大值底半径高 在半径为 的球外作一外切圆锥体 , 要问其高及底半径取多少才能使锥体体积最小?设锥的高为解2232222222222222230222222)2()3()2 ()()3()44 0,4 .3()3()aah haa hhaah hahaahaaahhahah hahahaahaaab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页202222222244,0,4,0, (4 )2 .89.4(18,0)( )1818( ),0().44lim( ), ( )0118180,448zahaVhaVVaraayxyzdf yyzg zzzyg zg zzzz当时当时为最小值 , 此时在曲线上求出到点的距离最短的点在 ，）有最小值g(z)=2解2222264, (0)324, (64)68(0),(64)8,16.44(18,0)(16,8),(16, 8)10.,.,(),0.2 ()232gggygyzxyxHHxHVxRxxRRVx RxxRxxxR为最小值曲线上到点的距离最短的点试求内接于已知圆锥且有最大体积的正圆柱的高度设已知圆锥的高度为底半径为设内接正圆柱的底半径为则其体积为解2222230,0,.322(0)( )0.().33311.1.cos,02 .sin(,0),cos (1 sin ),0.2xxRHHVV RVRhRRRxyxabxattybtbSabtttS为最大值 此时内接正圆柱的高度=试求内接于椭圆且其底平行于轴的最大等腰三角形的面积设内接等腰三角形的顶点在而底边上的一个顶点在第一象限.内接三角形面积解22200 sin (1 sin )cos1sin2sin(sin)1(21)(21)(1)0,sin.2113 3(0),()0, ( )11.2424abtttabtttzabzzabzzztSab SS tabab为最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页222012.8m/min,50m,6m/min.?.( )(8 )(506 ) ,0.lim( ),( )0.( )12812(506 )2006000,3.(0)50,tAOBxxABsf ttttf tf ttftttttff设动点 自平面坐标的原点开始以速度沿y轴正向前进 而点在 轴的正向距离原点处 同时沿 轴向原点作匀速运动速度为问何时与 距离最近最近的距离是多少在取最小值解222(3)24321600,40.340m.dd开始后 分钟达到最近距离AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页