2022年计算第一型曲线积分 .pdf
1.计算第一型曲线积分: (1)Ldsyx)(,其中L是以) 1 ,0(),0 , 1(),0,0(BAO为顶点的三角形分析： 先将 L 分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。L=OA+AB+BO，又OA：010 xxxyAB：011xxxyxBO：001xyyy解：Ldsyx)(=OAdsyx)(+ABdsyx)(+BOdsyx)(=.212101010dyydxdxx(2)Ldsyx2122)(,其中L是以原点为中心,R为半径的右半圆周; 分析： 是以原点为中心,R为半径的右半圆周的参数方程为：)22.(sin,cosRyRx解：Ldsyx2122)(=.2222RdR.(3)Lxyds, 其中L为椭圆12222byax在第一象限中的部分; 分析： 先将椭圆12222byax在第一象限中的部分表示为: 22,0byaxxaa解： 因为,2222xabxyxaaby从而Lxyds=dxyxaxaba2220)(1=dxxaaxbxaxaba)(122222220=adxxabxaab02222222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页=adxxbaaab0222242)(2=)(3)(22bababaab. 此题也可将椭圆12222byax在第一象限中的部分表示为参数方程：cos0sin2xayb(4) Ldsy,其中L为单位圆周122yx; 解： 由于单位圆的参数方程为:cos ,sin(02 )xy,从而Ldsy=4sinsin20dd. (5) Ldszyx)(222,其中 L 为螺旋线)20(,sin,costbtztaytax的一段 ; 解：Ldszyx)(222=222222222202)43(32)(babadtbatba. (6) Lxyzds,其中 L 是曲线) 10(21,232,23ttztytx的一段 ; 解：Lxyzds=dtttttt223102121232=.143216)1(32102/9dttt(7)dszyL222,其中 L 是2222azyx与yx相交的圆 . 分析：2222azyx与yx相交的圆2222azyyx的其参数方程为)20(,cos,sin2ttaztayx解：dszyL222=.2cossin2202222adttataa注意：计算第一型曲线积分的关键是将L 的表达式正确的给出来。2.求曲线)0, 10(21,2atatzatyax的质量 ,设其线密度为az2. 分析：根据 第一型曲线积分的物理意义LMds精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页解：曲线质量为 : LdsazM2=dttaat10222=).122(3)1(122102atdta3.求摆线)0()cos1(),sin(ttayttax的重心 ,设其质量分布是均匀的. 分析：设 摆线的密度为0，先求出摆线的质量，再求出它的重心解：因为.2sin2sin)cos1(2222dttadttatads所以质量.42sin2000adttaM故重心坐标为001(sin )2 sin2tya ttadtM=dtttadttta2sinsin22sin200=.34)2cos23(cos42cos|2cos000adtttadttatat001(cos )2 sin2txa ttadtM=.34)2sin23(sin42sin200adtttadtta4.若曲线以极坐标)(21表示 ,试给出计算Ldsyxf),(的公式 ,并用此公式计算下列曲线积分: (1)dseLyx22,其中 L 为曲线)40(a的一段 ; (2) dsxL,其中 L 为对数螺线)0(kaek在圆ar内的部分 . 分析： 先将 L 的极坐标)(21表示为直角坐标：L：12( )cos( )sinxy解 ：因 L 的参数方程为)(sin)(,cos)(21yx,从而.)()()()(2 222ddddyddxds故Ldsyxf),(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页=df)()()sin)(,cos)(2221. (1) dseLyx22=.40240aaeadae(2) dsxL=dekadexaeaaekkkkcos1cos0222222220. 记deIkcos02,则IkkdkeIk20242sin2sin于是1422kkI,故2224114La kkxdsk. 5.证 明 :若 函 数),(yxf在 光 滑 曲 线,),(),(:ttyytxxL上 连 续 ,则 存 在 点Lyx),(00,使得,),(),(00LyxfdsyxfL其中L为 L 的弧长 . 分析： 先将第一型曲线积分转化为定积分即：Ldsyxf),(=dttytxtytxf)()()(),(22.再利用推广的定积分第一中值定理证：由于 f 在光滑曲线L 上连续 ,从而曲线积分Ldsyxf),(存在 ,且Ldsyxf),(=dttytxtytxf)()()(),(22. 又因 f 在 L 上连续 ,L 为光滑曲线 ,所以)(),(tytxf与)()(22tytx在,上连续且)()(22tytx非负（不变号） ，由推广的定积分第一中值定理:,0t使22 ( ),( )( )( )f x ty txtyt dt=Ltytxfdttytxtytxf)(),()()()(),(002200. 令),(),(0000tyytxx显然Lyx00,且LyxfdsyxfL),(),(00. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
