2022年棋盘中的数学六年级奥数 .pdf

多练出技巧巧思出硕果第十一讲棋盘中的数学（二）棋盘覆盖的问题有这样一道竞赛题：例 1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）34 （B）35 （C）44 （D）45 （E）63 解：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）这类问题，容易更加一般化，即用21 的方格骨牌去覆盖一个m n 的方格棋盘的问题定理 1： mn 棋盘能被 21 骨牌覆盖的充分且必要的条件是m 、n中至少有一个是偶数证明：充分性：即已知m ，n 中至少有一个偶数，求证：m n 棋盘可被 21 骨牌覆盖不失一般性，设m 2k，则 m n2knk棋盘可被 kn 个 21 骨牌覆盖必要性：即已知m n 棋盘可以被 21 骨牌覆盖求证： m ，n 中至少有一个偶数若m n 棋盘可被 21 骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即 mn是个偶数，因此 m 、n 中至少有一个是偶数例 2 下图中的 88 棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用 31 个 21 的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果分析 刚一想， 31 个 21 骨牌恰有 62 个小方格，棋盘去掉两个角后也是 62 个格，好像很有可能盖住但只要简单一试，便发现不可能仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，21 骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格只要发现这个基本事实立即可以找到解答解：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62 个格中有黑格32 个，白格 30 个另外，如果用21 骨牌 31 张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31 个骨牌将盖住 31 个黑格及 31 个白格这与 32 个黑格数， 30 个白格数的事实相矛盾所以，无论如何用这31 张 21 的骨牌盖不住这个残角棋盘例 3 在下图（ 1）、（2）、（ 3）、（ 4）四个图形中：解：图形（1）和（ 2）中各有 11 个方格， 11 不是 3 的倍数，因此不能用这两种图形拼成图形来拼只有图形（ 4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例说明：排除图（ 1）与（ 2）的方法是很重要的因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”但要注意，一个图形小方格数是3 的倍数，也不表明的就是这种情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果是 3n当 3n 时，设 n3k，则 2n23kk（23）2n3x 则 32n，但（ 2，3）1，3n思考方法比如，若3n 且 2m时， mn 棋盘可分成若干个 2n 棋例 5 一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由 4 个面积为 1 的小方格组成现用7 个这样的图形拼成一个 74 的长方形（可以重复使用某些图形）那么，最多可以用上面七种图形中的几种？分析 用七个图形，共4728 个方格，要是能拼成 4 7 的棋盘，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果这时采用了小“方块”中的两种这样试下去，我们会发现，由七种方块中的 6 种可以拼成 47 棋盘格，如下图所示但要将七种“方块”每个都只用一次，要拼成47 棋盘，试几次会发现拼不出来因此我们会想到，是不是不可能呢？下面我们证明这一点证明：用 6 种“方块”构成 47 棋盘已如上图所示下面我们证明不能用七种“方块”各一块构成47 的长方形棋盘将长方形的 28 个小方格如右图黑、白相间进行染色，则黑、白格各为个白格 1 个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、白格各2个因此， 7 种方块图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等于14综上所述，要拼成47 的方格，最多能用上七种“方块”中的6 种图形例 6 由 11、 2 2、33 的小正方形拼成一个2323 的大正方形，在所有可能的拼法中，利用11 的正方形最少个数是多少？试证明你的结论解：用 11 的正方形至少一个第一步：中心放一个11 的正方形，剩下的4 个 1112 的矩形，是可以用 6 个 22 正方形和 12 个 33 正方形拼成的，如下图所示第二步：不用 11 而只用 22 与 33 的正方形是拼不成的将2323的大正方形的 1，4，7，10，13，16，19，22 各行染红色，其余各行染蓝色如下图任意22 或 33 正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是 2315，是个奇数，矛盾所以不用11 的小正方形是拼不成 2323 棋盘的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果综上所述，要拼成2323 棋盘，至少要用一个11 的小正方形解：如右图用黑白二色相间涂染88 棋盘，总计有 32 个黑格及 32个白格当我们把“田”放入棋盘时，一定盖住两个小黑格及两个小白格盖住奇数个（ 3 个，或 1 个）白格骨牌共盖住：奇数 2奇数个白格这与88 棋盘上共有 32 个白格的总数相矛盾关于棋盘的覆盖问题我们简单介绍到这里，并且只是个别的例题，作为入门的先导罢了！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页