2022年解析几何知识归纳与题型 .pdf

名师总结精品知识点必修 2部分-直线与圆一、知识点整理1. 直线的倾斜角与斜率的概念2求斜率的两种方法定义 :tanka=， (0000180,9090,0) ；斜率公式 : 直线经过两点() ()1122,x yxy，1212yykxx-=-3直线方程的几种形式: 点斜式 _ , 斜截式 _，适用范围 _，两点式 _; 截距式 _，适用范围 _一般式 : ，适用所有的直线几种特殊的直线方程与x轴垂直的直线_; 与y轴垂直的直线_；过原点 (不包括 坐 标 轴 ) 的 直 线 _ ； 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 ：xyaykx或；在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程：（xyaykx或4两条直线的位置关系(一)：已知直线111:lyk xb=+, 222:lyk xb=+（斜率k存在）1l与2l相交_； 1l与2l平行_；1l与2l重合_； 21ll_ . 5两条直线的位置关系(二)已知直线11110lA xB yC+=：,22220lA xB yC+=：则1/l2l_； 21ll_6点()00 xy，到直线0lAxByC+=：的距离d_ 平行直线110lAxByC：+=和220lAxByC：+=间的距离为 d=_ 7. 直线系： 已知直线0lAxByC：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页名师总结精品知识点（1）过定点的直线系方程：00(,)P xy为定值，k为参数00()yyk xx（2）平行与垂直直线系： 与l平 行 的 直 线 系 ：0AxBym； 与l垂 直 的 直 线 系 ：0BxAym（3）过12,ll交点的直线系：111222()0A xB yCA xB yC（不含2l）8.对称（1）点关于点对称：11(,)P xy关于00(,)M xy）的对称点0101(2,2)Pxxyy（2）点关于线的对称：设( , )P a b对称轴对称点P对称轴对称点px轴( ,)P abyx(,)Pbay轴(, )Pa b(0)xm m(2, )Pma byx( , )P b a(0)xn n( ,2)P anbyxm(,)P bm amyxm(,)P mbam9判断直线与圆的位置关系的方法.(1)代数法 :由直线方程与圆的方程联立消元得一元二次方程利用求解 ; (2)几何法 :由圆心到直线距离d与半径r比较大小来判断. 10圆()()222xaybr-+-=的切线问题(1) 切 点 已 知 ：与 圆222ryx相 切 于 点()00P xy，的 切 线 方 程 是200 x xy yr； 与圆222)()(rbyax相切于点()00P xy，的切线方程为：200()()()()xa xaybybr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页名师总结精品知识点(2) 切点未知 ：()00P xy，为圆外的一点，求过P的切线方程（两条切线）：设点斜式，由圆心到直线距离d等于半径求出k值（ 注意 ：应考虑斜率不存在的情况）11圆的弦长公式：弦长222 ()ABrd12 两圆的位置关系 ：圆1C:()()222111xaybr-+-=；圆2C:()()222222xaybr-+-=相 离12C C12rr+外 切12CC12rr=+相 交12rr12CC12rr+内切12C C=12rr内含120CC12rr13. 过两圆221111:0CxyD xE yF和222222:0CxyD xE yF的交点的圆系方程为2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF（不含 C2） ，其中1为参数）若 C1 与 C2 相交，则两方程相减（即1）所得一次方程就是公共弦所在直线方程。二、基本题型训练题型 1 直线的倾斜角与斜率的运算1.直线l斜率的绝对值3，则l的倾斜角是 _ 2. 过点(3 10)PQm， ）， （ ，的直线的倾斜角的范围为0060,30，则m的取值范围是. 3.若三点 A（-2，3） ，B（3，-2）,C（21，m）共线，求m 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页名师总结精品知识点4.已知ABC三顶点的坐标为A（2，1） ，B（-1，1） ，C(1,3)，试求ABC三条高所在直线的斜率。5.已知直线l过点P（ -1，2） ，且与以A（-2，-3） 、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围。题型 2 求直线方程1. 过点(1, 2)A作直线l，使它在两坐标轴上截距的绝对值相等，则l的方程为. 2. 与 直 线2350 xy平 行 ， 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 之 和 为56的 直 线 方 程为. 3. 过 点( 3 , 1 )P， 且 与 两 点(2,3),(4, 5)AB距 离 相 等 的 直 线 方 程为. 4.直线 y=mx-3m+2 (mR)必过定点 _ 5.求经过点（ 0，-1） ，倾斜角为600的直线方程，并化为一般式。6.求倾斜角是直线13xy的倾斜角的一半，且过点（-4，1）的直线方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页名师总结精品知识点7.已知三角形的三个顶点为A（-3，0） 、B（2，-2） 、C（0，1）求这个三角形三边所在的直线方程。题型 3 两直线的位置关系1. 已 知 直 线12:60,:(2)320lxmylmxym平 行 ， 则 实 数m的 值为. 2. 已知直线1:320lkxyk与直线2:440lxy的交点在第一象限，则k. 3.求经过点 A(2,1), 且与直线2x+y-10=0 垂直的直线l的方程。4.已知直线l:5ax-5y-a+3=0 (1)求证：不论a 为何值，直线l总过第一象限。(2)为使直线l不过第二象限，求a 的取值范围。题型 4 距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页名师总结精品知识点1.原点到直线052yx的距离为（）A1 B3C2 D52. 圆22:2440Cxyxy的 圆 心 到 直 线3440 xy的 距 离d_。3.已知直线:40lxy与圆22:112Cxy， 则C上各点到l的距离的最小值为 _。4.平行于直线03yx，且与其距离为3 的直线为l，求直线l的方程。题型 5 对称及其应用1. 直 线1: 230lxy关 于 直 线:10lxy的 对 称 直 线 方 程为. 2. 已知点( 3,4),(1,5),ABP是直线:240lxy上的动点， 则PAPB的最小值为. 题型 6 求圆的方程1.圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是2.已知圆 C 过点（ 1,0） ，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l：1yx被该圆所截得的弦长为2 2，则圆 C 的标准方程为. 3. 已知圆 C 的圆心是直线x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为。4. 写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为5；（2）经过点 P（5，1） ，圆心在点 C（6，-2 ） ；（3）以 A（2，5） ，B（0，-1 ）为直径的两端点。（4）过三点 A（2，-2） ，B（5，-3） ，C（3，-1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页名师总结精品知识点5. 说出下列方程表示什么图形。222221) 3()2(8)1)(2(0) 1(xyyxyx题型 7 直线与圆的位置关系1.直线0234yx与圆36)5()3(22yx的位置关系是 _ 2.直线02yx被圆015622yxyx截得的弦长等于_ 3.直线)0(aay与圆9)1()1(22yx相切时，则a=_ 4 直线: (21)(1)740()lmxmymmR与圆22: (1)(2)25Cxy的位置关系是；当l被圆C截得弦长最短时，l的方程为. 5.求过点 M（ 5，2） ，N（3，2） ，且圆心在直线32xy上的圆的方程。6.求过点 A（3，1）和圆1)2(22yx相切的切线方程。7.直线l经过点P（5，5） ，且和圆C：2522yx相交，截得弦长为54，求直线l的方程。题型 8 圆与圆的位置关系1. 两圆096892222yxyxyx和的位置关系是_ 2 已知两圆222(1)(1)xyr和222(2)(2)xyR相交于PQ，两点若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师总结精品知识点P点的坐标为（ 1，2） ，则PQ的长为 _；直线PQ的方程为 . 3. 求经过两圆22640 xyx和226280 xyy的交点，且圆心在直线:40lxy上的圆的方程. 三、高考链接1 （2010 安徽文数）过点（1， 0）且与直线x-2y-2=0 平行的直线方程是（）（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0 2 (07 全国 )圆01222xyx关于直线032yx对称的圆的方程是（）21)2()3(22yx21)2()3(22yx2)2()3(22yx2)2()3(22yx3 （08 安徽卷10）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A3,3B(3,3)C33,33D33(,)334 （08 广东卷 6）经过圆2220 xxy的圆心 C，且与直线0 xy垂直的直线方程是（）A、10 xyB、10 xyC、10 xyD、10 xy5.（08 山东卷 11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430 xy和x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页名师总结精品知识点轴相切，则该圆的标准方程是（）A227(3)13xyB22(2)(1)1xyC22(1)(3)1xyD223(1)12xy6.（08 陕西卷 5）直线30 xym与圆22220 xyx相切，则实数m等于（）A3或3B3或3 3C3 3或3D3 3或3 37.（ 08 四川卷 6）直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移个单位，所得到的直线为 () （）1133yx（）113yx（）33yx（）113yx8. （08 天津卷15）已知圆C的圆心与点( 21)P，关于直线1yx对称直线34110 xy与 圆C相 交 于AB，两 点 ， 且6AB， 则 圆C的 方 程为9. （08 重庆卷 15）已知圆C：22230 xyxay（a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0 的对称点都在圆C上，则a= . 10.（2010 湖南文）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a，b） ， （3-b，3-a） ，则线段PQ的垂直平分线l 的斜率为,圆（ x-2）2+（y-3）2=1 关于直线对称的圆的方程为11.已知圆心在x 轴上，半径为2的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线x+y=0 相切，则圆 O 的方程是12. （ 08 湖南卷 14）将圆122yx沿 x 轴正向平移1 个单位后所得到圆C，则圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师总结精品知识点C 的方程是 _, 若过点（ 3，0）的直线l和圆C 相切，则直线l的斜率为_. 13. （ 08 福建卷 14）若直线3x+4y+m=0 与圆x2+y2-2x+4y+4=0 没有公共点，则实数m的取值范围是 . 14.（08 四川卷 14） 已知直线:40lxy与圆22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_。15.（2010 四川理数14）直线250 xy与圆228xy相交于 A、B 两点，则AB . 16. （2010 江苏卷 9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422yx上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的距离为1，则实数c 的取值范围是 _ 四、直线与圆易错题【例1】 已知直线2121/,023)2(:6:llayxalayxl则和的充要条件是a= . 【错解分析】此题容易错填为-1，3，主要是没有注意到两直线重合的情况。【解题指导】21/ ll的充要条件是01221BABA且01221CACA. 答案：1a【例 2】直线 l 经过 P（2,3 ）, 且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 【错误分析 】 ：设直线方程为:1byax, 又过 P(2,3),132ba, 求得 a=5 直线方程为x+y-5=0. 【 解 析 】 在 原 解 的 基 础 上 , 再 补 充 这 样 的 过 程 : 当 直 线 过 (0,0)时 , 此 时 斜 率为:230203k, 直线方程为y=23x 综上可得 : 所求直线方程为x+y-5=0 或 y=23x . 【易错点点睛】 直线方程的截距式: 1byax的条件是 :a 0且 b 0, 本题忽略了精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师总结精品知识点0ab这一情形 . 【例 3】自点 A(-3 ，3) 发出的光线L 射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7 0 相切，求光线L所在的直线方程. 【错误分析 】 ：设反射光线为L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称， L 过点 A(-3 ，3)，点A 关于 x 轴的对称点A(-3 ，-3) ，于是 L过 A(-3 ，-3). 设 L的斜率为k，则 L的方程为y-(-3)k x-(-3) ， 即 kx-y+3k-3 0， 已知圆方程即 (x-2)2+(y-2)21，圆心 O的坐标为 (2 ，2) ，半径 r 1 因 L和已知圆相切，则O到 L的距离等于半径 r 1 即22| 2233|55 |111kkkkk整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34L的方程为y+334(x+3)即 4x-3y+3 0因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+3 0. 【答案】 4x+3y+30 或 3x+4y-3 0 【解析】设反射光线为L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称， L 过点 A(-3 ， 3)，点 A关于 x 轴的对称点A(-3 ，-3) ，于是 L过 A(-3 ，-3). 设 L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)k x-(-3) ， 即 kx-y+3k-3 0，已知圆方程即 (x-2)2+(y-2)21，圆心 O的坐标为 (2 ，2) ，半径 r 1 因 L和已知圆相切，则O到 L的距离等于半径r 1 即22| 2233| 55|111kkkkk整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34或 k43L的方程为y+334(x+3); 或 y+343(x+3) 。即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0 因 L 和 L关于 x 轴对称故L 的方程为4x+3y+30 或 3x+4y-3 0. 【易错点点睛】本题是对称问题，设计新颖，基础性强如何处理直线与圆，对称问题，成为解决本题的关键. 【例 4】若圆22240 xyxya关于直线2yxb成轴对称，则ab的范围是 . 【错解分析】此题容易错填为,1 ，错误原因是对二元二次方程表示圆的充要条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师总结精品知识点件:2240DEF误以为2240DEF。【 解 题 指 导 】 圆 心 （ -1 ， 2 ） 在 直 线2yxb上 ， 所 以b=4 ， 又22240 xyxya表示圆的充要条件是41640a所以5a. 答案：,1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页