2022年椭圆与双曲线的对偶性质-- .pdf

学习必备欢迎下载椭圆与双曲线的对偶性质- （必背的经典结论）椭圆1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)P xy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、N 两点，则MFNF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内 ， 则 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2200002222x xy yxyabab. 13.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 双曲线1点 P处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P处的内角 . 2PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载轴的两个端点 . 3 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切： P 在右支；外切：P 在左支）5 若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0） 上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7 双曲线22221xyab（a0,bo） 的左右焦点分别为F1， F 2， 点 P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 8 双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式：(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MF NF. 10过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M ，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12 若000(,)P xy在 双 曲 线22221xyab（ a 0,b 0） 内 ， 则 被Po 所 平 分 的中 点 弦 的 方 程 是2200002222x xy yxyabab. 13若000(,)P xy在双曲线22221xyab（ a 0,b 0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆1椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载2 过椭圆22221xyab(a0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 3。若P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4 设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5 若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6 P 为 椭 圆22221xyab（ a b 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 ， A为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则2112| |2|aA FP AP FaA F,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7椭圆220022()()1xxyyab与直线0A xB yC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 8已 知 椭 圆22221xyab（ a b 0）， O 为 坐 标 原 点 ， P、 Q为椭 圆 上 两 动 点 ， 且OPOQ.（ 1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab. 9 过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 10已知椭圆22221xyab（ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11设 P 点是椭圆22221xyab（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12 设 A、 B 是椭圆22221xyab（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222| cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13 已知椭圆22221xyab（ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). （注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）双曲线1双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2 过双曲线22221xyab（ a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 3 若 P 为双曲线22221xyab（a0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载4 设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5 若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6 P 为双曲线22221xyab（ a 0,b 0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21| 2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 7 双 曲 线22221xyab（ a 0,b 0 ） 与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是22222A aB bC. 8 已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O 为坐标原点， P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. （1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba. 9 过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 10已知双曲线22221xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11设 P点是双曲线22221xyab（a0,b0） 上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 12设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、 e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1)22222|cos|s|abPAac co. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13已知双曲线22221xyab（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段 EF 的中点 . 14过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). (注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 抛物线中的几组结论及应用结论 1 过抛物线的焦点 F的直线 l 交抛物线于A（）、 B（）两点，设，O为原点，则有：结论 1：(定值 )，, 结论 2：y1y2-p2(定值 )，. 结论 3：弦长. 结论 4：若此焦点弦AB 被焦点 F 分成 m，n 两部分，则为定值结论 5：抛物线 y22px(p0)的焦点弦中通径最小结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l相切结论 7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y 轴相切结论 8：A1FB1F结论 9：若 M 为 A1B1的中点，则MFAB 。结论 10：在梯形 AA1B1B 中，两对角线AB1与 BA1相交于点抛物线顶点 O。结论 11 ：直线 l 交抛物线于 A（）、B （）两点， O为原点。若 OAOB ，则直线 l 经过定点（ 2p，0），反之亦然（证明略）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页