2022年概率与统计解答题答案 .pdf

学而不思则惘，思而不学则殆概率与统计1( 本小题满分12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65，65,75，75,85内的频率之比为4 :2:1（）求这些产品质量指标值落在区间75,85内的频率；（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间45,75内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望1. （本题满分12 分）解： （）设区间75,85内的频率为x，则区间55,65，65,75内的频率分别为4x和2x依题意得0.0040.0120.0190.0310421xxx， 3 分解得0.05x所以区间75,85内的频率为0.05 5 分（）从该企业生产的该种产品中随机抽取3 件，相当于进行了3 次独立重复试验，所以X服从二项分布,B n p，其中3n由（）得，区间45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6，将频率视为概率得0.6p 7 分因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且0033(0)C0.60.40.064P X，1123(1)C0.60.40.288P X，2213(2)C0.60.40.432P X，3303(3)C0.60.40.216P X所以X的分布列为：X0 1 2 3 P0.064 0.288 0.432 0.216 所以X的数学期望为00.06410.28820.43230.2161.8EX（或直接根据二项分布的均值公式得到30.61.8EXnp）12 分2、 （本小题满分12 分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30 名男生和 20 名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80 分以上为优分 (含 80 分)质量指标值0.012 0.004 0.019 0.030 15 25 35 45 55 65 75 85 0 频率组距10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆（） （i）请根据图示，将22 列联表补充完整；（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“ 该学科成绩与性别有关” ？（） 将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3 名学生的成绩， 求至少 2 名学生的成绩为优分的概率附：)()()()(22dbcadcbabcadnK2.本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想满分 12 分解： （）根据图示，将22 列联表补充完整如下： 2 分假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K的观测值22()50(991121)3.125()()()()20302030n adbckab cdac bd，因为 3.1252.706 ，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关 6 分（）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f视作概率 7 分设从高三年级中任意抽取3 名学生的该学科成绩中，优分人数为X， 则X服从二项分布(3,0.4)B， 9 分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352PP XP XCC 12 分3. （本小题满分12 分）微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用某网络运营商对甲、乙两个品牌各5 种型号的手机在相同环境下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如下数据：优分非优分总计男生9 21 30 女生11 9 20 总计20 30 50 2P Kk0.100 0.050 0.010 0.001 k2.706 3.841 6.635 10.828 优分非优分总计男生女生总计50 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆型号手机品牌甲品牌（个）4 3 8 6 12 乙品牌（个）5 7 9 4 3 （）如果抢到红包个数超过5 个的手机型号为“优” ，否则“非优” ，请据此判断是否有 85% 的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？（）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5 种型号中选出3 种型号的手机进行大规模宣传销售求在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率；以X表示选中的手机型号中抢到的红包超过5 个的型号种数，求随机变量X的分布列及数学期望()E X下面临界值表供参考：20()P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式：22()()()()()n adbcKabcdac bd3 解： （）根据题意列出22列联表如下：红包个数手机品牌优非优合计甲品牌（个）3 2 5 乙品牌（个）2 3 5 合计5 5 10 2 分2210 4910250.42.07255552525K，所以没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关 4 分（）令事件C为“型号I 被选中”；事件D为“型号II 被选中”，则1234335533(),()510CCP CP CDCC, 所以()1()()2P CDP D CP C 6 分随机变量X的所有可能取值为1,2,3, 7 分1232353110CCP XC；122335325C CP XC；33351310CP XC 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆故X的分布列为X1 2 3 P310351103311231.810510E X 12 分4.（本小题满分12 分）某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100 名学生进行调查 下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图（）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数x和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）已知样本中玩电脑游戏时长在60,50的学生中，男生比女生多1 人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为，求的分布列与期望)(E4解：（）35m2.2905. 0552.04525.03522.02518.0151 .05x（）样本中玩电脑游戏时长在60,50的学生为510005.0人，其中男生3 人，女生 2人，则的可能取值为1， 2，3,103)1(352213CCCP,53106)2(351223CCCP101)3(3533CCP的分布列为1 2 3 )(P10353101所以5910135321031)(E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆5.( 本小题满分12 分) 为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克） 情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图已知图中从左至右前3 个小组的频率之比为1：2：3，其中第 2 小组的频数为12（I ）求该校报考体育专业学生的总人数n；（）已知A，B，C ，a 是该校报考体育专业的4 名学生， A，B,C 的体重小于55 千克， a 的体重不小于70 千克且A,B 各有 5 分体育加分， C,a 各有 10 分体育加分 . 现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55 千克和不小于70 千克的学生共6 名，然后再从这 6 人中抽取体重小于55 千克的学生2 人，体重不小于70 千克的学生1 人组成 3人训练组，训练组中3 人的体育总加分记为，求的分布列和数学期望. 解：（ I ）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，p2=2p1p3=3p1p1+p2+p3+(0.0357+0.0125) 5=1解得 p1=0.125 ，p2=0.25 ，p3=0.375 又因为 p2=0.25=12n，故 n=48 4 分（II ）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55 千克的人数为480.125=6，记他们分别为 A，B，C，D，E， F，体重不小于70 千克的人数为480.01255=3，记他们分别为a，b，c， 5 分0,5,10,15,20， 25 . 由分层抽样的等概率性可知，取值的概率等于从分层抽样前体重小于55 千克的 6 人中抽取 2 人，体重不小于70 千克的 3 人中抽取1 人组成 3 人训练组取值的概率， 6 分P(0)=21322163215CCCC, P(5)= 1112322163415C CCCC，P(10)= 211211213321212163631145CC CCCCCCCC，P(15)= 1111112321212121636329C CC CCCCCCC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆P(20)= 112111321121216363445C CCCCCCCC， P(15)= 1112112163245C CCCC 9 分的分布列：0 510 15 20 25 P 215415114529445245的数学期望E()=0215+5415+101145+1529+20445+25245=10 12 分6. （本小题满分12 分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50 名同学（男30 女 20） ，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答. 选题情况如下表： （单位：人）几何题代数题总计男同学22 8 30 女同学8 12 20 总计30 20 50 (1) 能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5 至 7 分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6至 8 分钟， 现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率 . （3）现从选择做几何题的8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X, 求X得分布列及数学期望EX. 附： . 22n adbcKabcdacbd20P kk0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆6 【解析】（1）由表中数据得2K的观测值225022 128 8505.5565.02430 2030 209K所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关） 3 分（2） 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为xy、分钟，则基本事件满足的区域为5768xy（如图所示）yx11O设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为xy 5 分由几何概型11 112()228P A即乙比甲先解答完的概率为18 7 分（3）由题可知在选择做几何题的8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C种；恰有一人被抽到有1126=12CC种；两人都被抽到有221C种X可能取值为0,1,2，15(0)28P X，123(1)287P X，1(2)28P X 10 分X的分布列为：X 0 1 2 P15281228128151211()0+1+22828282E X 12 分7. （本小题满分12 分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35 微克 / 立方米以下空气质量为一级；在 35 微克 / 立方米 75 微克 / 立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 / 立方米以上空气质量为超标某试点城市环保局从该市市区20XX年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这 15 天的 PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆（2）从这 15 天的数据中任取三天数据，记 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求 的分布列；（3）以这 15 天的 PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360 天计算） 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级7、解： （1）记“恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，1251031545( )91C CP AC 4 分（2）依据条件， 服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3， 的可能值为0，1，2，3，其分布列为：3510315()(0,1,2,3)kkC CPkkC 6 分0 1 2 3 P 249145912091291 8 分（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为102153P，一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则2(360,)3B 10 分23602403E，一年中平均有240 天的空气质量达到一级或二级 12 分8、 （本小题满分12 分）某初中对初二年级的学生进行体质监测，已知初二一班共有学生30 人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下：（单位：cm）男生成绩在175cm以上（包括175cm） 定义为“合格”， 成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格” ；女生成绩在165cm以上（包括165cm） 定义为“合格”， 成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格” ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆（1）求女生立定跳远成绩的中位数；（2）若在男生中用分层抽样的方法抽取6 个人，求抽取成绩“合格”的学生人数；（3）若从全班成绩“合格”的学生中选取2 个人参加复试，用X表示其中男生的人数，试写出 X的分布列，并求X的数学期望。8. 解： （）女生立定跳远成绩的中位数165 168166 52.cm3 分（） 男生中成绩“合格”有8 人，“不合格”有4 人，用分层抽样的方法，其中成绩“合格”的学生应抽取86412人6 分（III）依题意，X的取值为0,1,2 ，则028102185017()C CP XC，11810218801153()C CP XC，20810218282153()C CP XC，因此，X的分布列如下：X0 1 2 P 517801532815310分580281368012171531531539EX12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页