2022年概率统计第二章习题详解 .pdf

多练出技巧巧思出硕果习题二（ A ）1同时抛掷3 枚硬币，以X表示出现正面的枚数，求X的分布律。解：108P X,318P X,328P X,138P X 2. 一口袋中有6 个球，依次标有数字1,2,2,2,3,3，从口袋中任取一球，设随机变量X为取到的球上标有的数字，求X的分布律以及分布函数. 解：11 6P X326P X236P X0,11, 126( )4,2361,3xxF xxx3. 已知随机变量X的分布函数为21,0( ),0241,2xxF xxx，求概率12PX解：1312(2)(1)144PXFF4. 设随机变量X的分布函数为0,0;( )sin,02;1,2.xF xAxxx求：（1）A的值；（2）求|6PX. 解：由于( )F x在点2x处右连续，所以()(0)22FF, 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果sin12A，1A。()()666666P XPXFFP X1100225. 设离散型随机变量X的分布律为 (1)(2 3) ,11,2,3;iP Xia(2)(2 3) ,1,2,iP Xiai分别求出上述各式中的a. 解： （1）24813927aaa，2738a (2) 23222231( )( )2233313aaa，12a6. 已知连续型随机变量X的分布函数为0,0;( ),01,.xF xkxbxx，求常数k和b。解：0b，1kb，1k。7. 已知连续型随机变量X的概率密度为2( )()1kf xxx，求常数k和概率11PX. 解：2112kdxkx，2k121111 1112PXdxx8. 已知连续型随机变量X的概率密度为,01( )2,120,xxf xxx其他，求X的分布函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果解：220,0,012( )( )21,1221,2xxxxF xf t dtxxxx9. 连续不断地掷一枚均匀的硬币，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不少于 0.99. 解：11()0.992n，1( )0.012n，1lg()lg 0.012nlg0.0171lg2n10 . 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率. 解：01P XP X, ee，1。12101 1 20.2642P XP XP Xe11. 设每次射击命中目标的概率为0.001 ，共射击5000 次，若X表示命中目标的次数。（1）求随机变量X的分布律；（2）计算至少有两次命中目标的概率. 解： （1）50005000(0.001) (0.999)kkkP XkC（2）2101 P XP XP X,5np210110.00670.0330.9596P XP XP X12. 设随机变量X的密度函数为| |( ),xf xAex. （1）求常数A；（2）求X的分布函数。（3）求01PX. 解： （ 1）001( )()2xxf x dxAe dxe dxA，12A（2）00,022( )( )1,0222txxxttxxeedtxF xf t dteeedtdtx（3）101101 222xePXdxe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果13. 证明：函数22,0;( )0,0.xcxexf xcx（c为正常数）是某个随机变量X的密度函数 . 证明：由于在(,)内，( )0f x，且222200( )11xxccxf x dxedxeec，所以，( )f x是某随机变量的概率密度。14. 设随机变量X的概率密度为32000001000,x( x)f ( x),其他，求：（1）X的分布函数；（2）求200P X. 解： （ 1）20,0( )( )100001,0(100)xxF xf t dtxx , （2）12001(200)9P XF. 15. 某种显像管的寿命X（单位：千小时）的概率密度为3,0,( )0,0.xkexf xx，（1）求常数k的值；（2）求寿命小于1 千小时的概率 . 解： （1）301( ),33xkf x dxkedxk（2）1330131xp xedxe。16. 设(0,1)XN，（1）求1.96,1.96P XP X，| 1.96PX，12PX. （2）已知0.7019P Xa，|0.9242PXb,0.2981P Xc，求常数, ,a b c. 解：（1）1.96(1.96)0.975P X精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果1.961(1.96)0.025P X| 1.96(1.96)( 1.96)0.9750.0250.95PX12(2)( 1)0.977210.84130.8185PX（2）查表知0.53a，0.53c，|( )()2( )10.9242PXbbbb1.9242( )0.9621,2b1.78b17. 设2(8,0.5 )XN，求：（1）7.510PX；（2）|8| 1 PX；（3）|9 | 0.5PX. 解：（1）1087.587.510()()0.84130.50.5PX（2）11|8 | 1 ()()0.95440.50.5PX（3）|9 | 0.5(3)(1)0.1574PX18. 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，记随机变量0,1,1,1.XYX，求随机变量Y的分布律 . 解：0001 20.36790.7358P YP XP XP X11010.73580.2642P YP Y. 19. 设随机变量X的概率密度为2 ,01( )0,xxf x其他，对X独立重复观察三次，求至少有两次观察值不大于0.5的概率 . 解：用Y表示观察值不大于0.5的次数，0.25p，则(3,0.25)YB，223P YP YP Y233 (0.25)0.75(0.25)0.1563精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果 20. 已知电源电压服X服从正态分布2(220,25 )N , 在电源电压处于200XV, 200240VXV,240XV三 种 情 况 下 ， 某 电 子 元 件 损 坏 的 概 率 分 别 为0.1 , 0.01 , 0.2。（1）求该电子元件损坏的概率；（2）已知该电子元件损坏，求电压在200 240VV的概率解：200( 0.8)0.2119P X200240(0.8)( 0.8)0.5762PX2401(0.8)0.2119P X (1) 0.1 0.21190.010.57620.20.21190.0693 (2) 0.010.57620.0830.069321. 假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布(11,1)N，内径小于10 或大于 12 为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，若销售利润Y与销售零件的内径X有下列关系1,10,20,1012,5,12.XYXX求Y的分布律 . 解：110( 1)0.1587P YP X201012(1)( 1)0.6826P YPX5121(1)0.1587P YP X22. 已知随机变量X的分布律为321012340.050.100.250.150.050.200.150.05，求2YX的分布律。解：00.15P Y10.3P Y40.3P Y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果90.2P Y160.05P Y23. 设随机变量X服从,22上的均匀分布，求sinYX的概率密度 . 解：1,( )220,Xxfx其他( )= sinsin YFyP YyPXyP Xy20,11, 1111,1yxyx，21, 11( )10,Yxfyy其他24. 设随机变量X服从参数为2的指数分布，令21XYe，求随机变量Y的密度函数 . 解：22,0( )0,0 xXexfxx，( )= 2XYFyP YyP 1ey。由于2011Xe，所以当0y时，( )=0YFy；当1y时，( )=1YFy；当01y时，21( )= 1ln(1)2XYFyP YyPeyP Xy1ln(1)2202yxedx，于是1,01( )( )0,YYyfyFy其他25. 设随机变量2( ,)XN，求随机变量XYe的密度函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果解：22()21( )2xXfxe，( )= XYFyP YyP ey当0y时，( )=0YF y；当0y时，ln( )= ln ( )yXYXFyP eyP Xyfx dx，于是，22(ln)21,0( )( )20,yYYeyfyFyy其他（ B ）1. 某种电子元件的寿命X（单位：小时）的概率密度为20001,0( )20000,0 xexf xx，（1）求该电子元件能正常使用1000小时以上的概率；（2）已知该电子元件已经使用了1000小时，求它还能只用1000小时的概率。解： （1）1210001000( )P Xf x dxe；（2）122000200010001000P XP XXeP X。 2. 设连续型随机变量X的密度函数( )f x是偶函数，证明：（1）X和X有相同的分布；（2）01()( )2aFaP Xaf x dx. 证明： （ 1）令YX，则Y的分布函数( )1YFyP YyP XyP Xy1( )yXfx dx，从而Y的概率密度为( )( )()( )yYXXXfyfx dxfyfy，所以Y与X具有相同的概率密度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果（2）()( )aXFaP Xafx dx，令xt，则()( )()aaXXFaP Xafx dxft dt( )1( )( )aaXXXaaft dtft dtft dt01( )2( )aaXXft dtft dt01()2( )aXFafx dx，所以01()( )2aFaf x dx。3. 设随机变量X的概率密度为21( )(1)f xx，x，求（1）随机变量2YX的概率密度。（2）随机变量tanZarcX的概率密度。解： （ 1）2( )YFyP YyP Xy当0y时，( )0YFy，当0y时，2( )( )yYXyFyP YyP XyPyXyfx dx，进而11( )( )()()22YYXXfyFyfyfyyy()1(1)Xfyyyy。综上所述，1,0(1)( )0,0Yyyyfyy；（2）当2z时，( )arctantan ( )ZXFzP ZzPXzP XzFz，于是Z的概率密度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页多练出技巧巧思出硕果222sec1( )(tan )sec(1tan)ZXzfzfzzz；当2z时，( )arctan0ZFzP ZzPXz；当2z时，( )arctan1ZFzP ZzPXz，于是1,( )20,Zyfz其他。4. 设一大型设备在任何长度为t的时间间隔内发生故障的次数( )N t服从参数为t（0为常数）的泊松分布。(1) 求相继两次故障之间的时间间隔T的概率密度；（2）求在设备已经无故障工作8 小时的情形下再无故障工作8 小时的概率。解：()( )!kttP N tkek，0,1,2,k。（1）T的分布函数为( )TFtP Tt，当0t时，( )0TFt；当0t时，( )11( )01tTF tP TtP TtP N te，于是T的概率密度为,0( )0,0tTetftt。（2）168816116168818P TP TeP TTeP TP Te。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页