2022年概率统计第三章知识点小结doc .pdf

名师精编优秀资料第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布FtXXXZYXZYXn221),min(max,),(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页名师精编优秀资料2、重要公式和结论（ 1）联合分布离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（ x,y ） ，则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为),2, 1,)(,(jiyxji，且事件 =),(jiyx的概率为pij, 称), 2, 1,(),(),(jipyxYXPijji为=（X， Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y Xy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1ijp这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（ i,j=1,2,） ；（2）.1ijijp连续型对 于 二 维 随 机 向 量),(YX， 如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F（ x2,y ） F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，. （ 4）离散型 与 连 续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，（ 5）边缘分布离散型X的边缘分布为), 2, 1,()(jipxXPPijjii；Y的边缘分布为),2, 1,()(jipyYPPijijj。连续型X的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页名师精编优秀资料（ 6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下， Y取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下， X取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP连续型在已知 Y=y 的条件下， X的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY；在已知 X=x 的条件下， Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX（ 7）独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf0 随机变量的函数若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：h（X1，X2, Xm）和 g（Xm+1, Xn）相互独立。特例：若X与 Y独立，则： h（X）和 g（Y）独立。例如：若X与 Y独立，则： 3X+1和 5Y-2 独立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页名师精编优秀资料（ 8）二维均匀分布设随机向量（X，Y ）的分布密度函数为其他, 0),(1),(DyxSyxfD其中 SD为区域 D的面积，则称（ X，Y）服从 D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D） 。例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 。y 1 D1O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D21 D3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页名师精编优秀资料（ 9）二维正态分布设随机向量（X，Y ）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf其中1| ,0,0,21,21是 5 个参数，则称（ X，Y）服从二维正态分布，记为（ X，Y） N（).,2221, 21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（).(),22,2211NY但是若 X N（)(),22, 2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型， fZ(z) dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,） 。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。iiiC，iiiC222Z=max,min(X1,X2,Xn) 若nXXX21,相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为)()()(21xFxFxFnxxx，则Z=max,min(X1,X2, Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)(1)(1)(11)(21minxFxFxFxFnxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页名师精编优秀资料2分布设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和niiXW12的分布密度为.0, 0,0221)(2122uueunufunn我们称随机变量W 服从自由度为n的2分布， 记为 W )(2n，其中.2012dxexnxn所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设),(2iinY则).(2112kkiinnnYZt 分布设 X，Y是两个相互独立的随机变量，且),(),1 ,0(2nYNX可以证明函数nYXT/的概率密度为2121221)(nntnnntf).(t我们称随机变量T 服从自由度为t 分布，记为Tt(n) 。)()(1ntnt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页名师精编优秀资料F 分布设)(),(2212nYnX，且X 与 Y 独 立，可以 证明21/nYnXF的概率密度函数为0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn我们称随机变量F 服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的 F 分布，记为Ff(n1, n2). ),(1),(12211nnFnnF例 31 二维随机向量（X，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1 ） ， （2，-1 ） ， （2，0） ， 2，2） ， （3，1） ， （3， 2） ，并且（ X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y X -1 0 1 2 p11 610 0 0 612 61610 61213 0 0 616131pj316161311 例 32： 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中,1| , 1|:|),(yxyxyxD求 X的边缘密度fX(x) 例 33：设随机变量X以概率 1 取值 0，而 Y是任意的随机变量，证明X与 Y相互独立。例 34：如图 3.1 ，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。例 35：f(x,y)=其他, 010,20,2yxAxy例 36：设 X和 Y是两个相互独立的随机变量，且X U （0，1） ，Ye（ 1） ，求 Z=X+Y的分布密度函数fz(z) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页名师精编优秀资料例 37：设随机变量X与 Y独立，其中X的概率分布为,6. 04 .021X而 Y的概率密度为e(1) ，求随机变量U=1YX的概率密度g(u) 。第二节重点考核点二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布第三节常见题型1、二维随机变量联合分布函数例 38：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？（A）.,0,0,0),1)(1(),(1其他yxeeyxFyx（B）.3arctan22arctan21),(22yxyxF（C）.12,0, 12,1),(3yxyxyxF（D）.,0,0,0,2221),(4其他yxyxFyxyx 例 3 9：设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量，它们均匀地分布在（0,l）内，试求方程t2+Xt+Y=0 有实根的概率。例 310：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页名师精编优秀资料例 311：设随机变量2, 1,412141101iXi，且1)0(21XXP，求).(21XXP例 312：设某班车起点站上车人数X服从参数为)0(的泊松分布， 每位乘客在中途下车的概率为p(0p1) ，并且他们在中途下车与否是相互独立的，用Y 表示在中途下车的人数，求：二维随机向量（X，Y）的概率分布。例 313：设平面区域D是由xy1与直线 y=0,x=1,x=e2所围成（如图3.15 ） ，二维随机向量=（X，Y）在 D上服从均匀分布，求（X，Y）关于 X的边缘分布密度在x=2 处的值。例 314：设随机变量X在区间)1 ,0(上服从均匀分布，在)10(xxX的条件下，随机变量Y在区间),0(x上服从均匀分布，求() 随机变量X和Y的联合概率密度；() Y的概率密度；() 概率1YXP2、随机变量的独立性例 315：设随机变量X在 1，2， 3，4 四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在 1X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律， X，Y的边缘分布律，并判断独立性。例 316：设随机变量X与 Y独立，并且P(X=1)=P(Y=1)=p ，P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q ，0p2|Y1),求21XY的分布。第四节历年真题数学一：1（87，6 分）设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为其他,010, 1)(xxfX0, 00,)(yyeyfyY求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数。2（91，6 分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其他,00,02),()2(yxeyxfyx求随机变量Z=X+2Y的分布函数。3（92，6 分）设随机变量X与Y相互独立，X服从正态分布),(2N， Y服从 - ， 上均匀分布， 试求Z=X+Y的概率分布密度 （计算结果用标准正态分布函数 表示， 其中)(21)(22dtexxt。4（94，3 分）设相互独立的两个数随机变量X与Y具有同一分布律， 且X的分布律为212110pX则随机变量Z=maxX ，Y 的分布律为。5（95，3 分）设X和Y为两个随机变量，且74 0 0,730, 0YPXPYXP则0),max(YXP。6（98，3 分）设平面区域D由曲线所围成及直线2, 1, 01exxyxy，二维随精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页名师精编优秀资料机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2 处的值为。7（99，3 分）设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1） ，则（A）21 0YXP（B）21 1YXP（C）21 0YXP（D）21 1YXP8（99，8 分）设随机变量X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y ）联合分布律及关于X和关于 Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 Y X 1y2y3yjipxXP1x812x81jjpyYp611 9（02，3 分）设21XX 和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)()(21xfxf和，分布函数分别为)()(21xFxF和，则（A）)()(21xfxf必为某一随机变量的概率密度；（B）)()(21xfxf必为某一随机变量的概率密度；（C）)()(21xFxF必为某一随机变量的分布函数；（D）)()(21xFxF必为某一随机变量的分布函数。 10（03，4 分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其他010,6),(yxxyxf则1YXP=。11 （05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为X，再从X, 1中任取一个数，记为Y，则2YP_。12 （05，4 分）设二维随机变量YX,的概率分布为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页名师精编优秀资料已知随机事件0X与1YX互相独立，则（A）3.0,2.0ba（B）1 .0,4 .0ba（C）2.0,3.0ba（D）4.0,1 .0ba（）13 （05，9 分）设二维随机变量YX ,的概率密度为其他, 0,20, 10, 1,xyxyxf求： （I）YX,的边缘概率密度xfX，yfY；（II）YXZ2的概率密度zfZ。14 （06，4 分）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间3 ,0上的均匀分布，则1,maxYXP_。15 （06，9分）随机变量x的概率密度为其他,020,4101,21xxxfx令2xy，yxF,为二维随机变量YX ,的分布函数。（I）求Y的概率密度yfY（II）4 ,21F数学三：1（90，3 分）设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页名师精编优秀资料212111mXPm212111mYPm则下列式子正确的是：（A）YX（B）0YXP（C）21YXP（D）1YXP2（90， 5 分）一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时） ，已知 X和 Y的联合分布函数为：其他若, 00,1),()(5. 05 . 05. 0yxeeeyxFyxyx（1）问X和Y是否独立？（2）求两个部件的寿命都超过100 小时的概率。3（92， 4 分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其他, 00,),(yxeyxfy（1）求 X的概率密度);(xfX求1YXP。4（94，8 分）设随机变量4321,XXXX相互独立且同分布，)4,3 ,2, 1(4.0)1(,6.0)0(iXPXPii。求行列式4321XXXXX的概率分布。5（95，8 分）已知随机变量（X，Y）的联合概率密度为其他若, 010, 10,4),(yxxyyxf求（ X，Y）的联合分布函数。6（97，3 分）设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P（X=-1） =P（Y=-1 ）=21，P（X=1）=P（Y=1）=21，则下列各式成立的是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页名师精编优秀资料（A）21)(YXP（B）1)(YXP（C）41)0(YXP（D）41)1(XYP 7（98，3 分）设)()(21xFxF与分 别 为 随 机 变 量X1与X2的 分 布 函 数 。 为 使)()()(211xbFxFaxF是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）52,53ba（B）32,32ba（C）23,21ba（D）23,21ba8（99，3 分）设随机变量),2, 1(412141101iXi且满足等于则, 102121XXPXXP（A）0 （B）41（C）21（D） 1 9（01，8 分）设随机变量X和Y的联合分布是正方形32,31:,(yxyxG上的均匀分布。试求随机变量)(|upYXU的概率密度。10（03，13 分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为7.03.021X而 Y的概率密度为f(y) ，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u) 。11 （05，4）从数4,3 ,2 ,1中任取一个数， 记为X，再从X, 1中任取一个数， 记为Y，则2YP_。12 （ 05，4 分）设二维随机变量YX ,的概率分布为若随机事件0X与1YX互相独立，则a_，b_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页名师精编优秀资料13 （05，13 分）设二维随机变量YX,的概率密度为其他,020 , 10, 1,xyxyxf求： （I）YX,的边缘概率密度yfxfYX,；（II）YXZ2的概率密度zfZ；（III ）2121XYP. 14 （06，4 分）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间3 ,0上的均匀分布，则1,maxYXP_ 数学四：1（90，6 分）甲、乙两人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为0.2 ，乙的命中率为 0.5 ，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求（X，Y）的联合概率分布。2（93， 3 分）设随机变量X与 Y均服从正态分布，XN（ ，42） ，YN（ ，52） ，记p1=PX-4 ，p2=PY+5，则（A）对任何实数 ，都有p1=p2。（B）对任何实数 ，都有p1=p2。（C）只对 的个别值，才有p1=p2。对任何实数 都有p1=p2。3（96，7 分）设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0 的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。4（97，3 分）设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3，p）的二项分布，若PX0=95，则PY1= 。5（98，3 分）设)()(21xFxF与分 别 为 随 机 变 量X1与X2的 分 布 函 数 。 为 使F(x)=aF1(x)-bF2(x) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）52,53ba（B）32,32ba（C）23,21ba（D）23,21ba6（99，9 分）设二维随机变量（X，Y）在矩形G=(X,Y)0 x2,0 y1 上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s)。7（99，8 分）已知随机变量X1和X2的概率分布精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页名师精编优秀资料212110,41214110121XX而且P X1X2 =0=1 。（1）求X1和X2的联合分布：（2）问X1和X2是否独立？为什么？8（02，3 分）设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)()(21xfxf和，分布函数分别为)()(21xFxF和。则（A）)()(21xfxf必为某一随机变量的概率密度。（B）)()(21xFxF必为某一随机变量的分布函数。（C）)()(21xFxF必为某一随机变量的分布函数。（D）)()(21xfxf必为某一随机变量的概率密度。9 （04，13 分）设随机变量X在区间)1 ,0(上服从均匀分布，在)10(xxX的条件下，随机变量Y在区间),0(x上服从均匀分布，求() 随机变量X和Y的联合概率密度；() Y的概率密度；() 概率 1YXP10 （05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为X，再从X, 1中任取一个数，记为Y，则2YP_。11 （05，4 分）设二维随机变量YX ,的概率分布为YX0104 .0a1b1. 0若随机事件0X与1YX互相独立，则（A）3.0, 2.0ba（B）4 .0, 1.0ba（C）2.0, 3.0ba（D）1 .0,4.0ba12 （05，13 分）设二维随机变量YX,的概率密度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页名师精编优秀资料其他,020 , 10, 1,xyxyxf求： （I）YX,的边缘概率密度xfX，yfY；（II）YXZ2的概率密度zfZ；（III ）2121XYP。13 （ 06， 4 分）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间3 , 1上的均匀分布，则1,maxyxP_ 14 （06，13 分）设二维随机变量YX,的概率分布为YX1011a02 .001 .0b2 .0101. 0c其中cba,为常数，且x的数学期望2 .0EX，5.00,0 yxP， 记YXZ求： （1）cba,的值（2）Z的概率分布（3）ZXP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页