2022年可用函数导数及其应用练习题 .pdf

学而不思则惘，思而不学则殆【感悟高考真题】1、 （ 2011福建卷文科 6）若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A）. (-1,1) （B）. (-2,2) （C）. (-， -2) （ 2，+）（D）.（-， -1）（ 1， +）【思路点拨】 方程 x2+mx+1=0 若有两个不相等的实数根，需满足其判别式240m，由此即可解得m的取值范围 . 【 精 讲 精 析 】 选C. 方 程210 xmx有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 需 判 别 式240m，解得2m或2m. 2、 （2011新课标全国高考文科 10）在下列区间中， 函数( )43xf xex的零点所在的区间为（）A. 1,04B. 10,4C. 1 1,4 2D. 1 3,2 4【思路点拨】结合函数( )f x的单调性，将4 个选项中涉及的端点值代入函数( )f x的解析式，零点所在的区间必在使得端点函数值异号的区间内. 【精讲精析】选C ( )f x是R上的增函数且图象是连续的，又114411()+432044fee，112211()4310,22fee( )f x定 在1 1,4 2内存在唯一零点. 3、 （ 2011陕西高考理科T6）函数( )cosf xxx在0,)内（）（A）没有零点（ B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（ D）有无穷多个零点【思路点拨】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。【精讲精析】选B （方法一）数形结合法，令( )cosf xxx0，则cosxx，设函数yx和cosyx，它们在0,)的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数( )cosf xxx在0,)内有且仅有一个零点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆（方法二）在,)2x上，1x，cos1x，所以( )cosf xxx0；在(0,2x，1( )sin02fxxx，所以函数( )cosf xxx是增函数，又因为(0)1f，()022f，所以( )cosf xxx在0,2x上有且只有一个零点4、 （ 2011山东高考文科16）已知函数fx（ ）=log(0a1).axxb a ，且当 2a3b4 时，函数fx（ ）的零点*0( ,1),n=xn nnN则. 【思路点拨】由条件易知函数f(x) 在（ 0,+）上为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间. 【精讲精析】因为函数( )log(23)af xxxba在（ 0，)上是增函数，(2)log 22log230,aafbabb(3)log 33log340aafbabb，0(2,3)x即2n. 5、 （ 2010 湖北理数） 17 （本小题满分12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（ x）=(010),35kxx若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元。设f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。（）求k 的值及 f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x) 达到最小，并求最小值。思路解析：本小题主要考查函数、函数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆能力 . 解答 :(I) 设隔热层厚度为xcm,由题设 ,每年能源消耗费用为( )35kC xx.再由C(0)=8, 得k=40,因此40( )35C xx,而建造费用为1( )60C x.最后得隔热层建造费用与20 年能源消耗费用之和为140800( )20( )( )2066 (010)3535f xC xCxxxxxx(II) 222400240025( )6.( )0,6=.5,().(35)(35)305( )0,510( )0,5( )800(5)6570.155570.fxfxxxxxxfxxfxxf xfcm令即解得舍去当时，当时，故是的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建厚时，总费用达到最小值万元【考点精题精练】一、选择题1、若函数 f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2-2x-2=0 的一个近似根（精确到0.1）为（C ）A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 2、若函数)(xfy在区间 a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ D ）A若0)()(bfaf，不存在实数),(bac使得0)(cf；B若0)()(bfaf，存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf；C若0)()(bfaf，有可能存在实数),(bac使得0)(cf；D若0)()(bfaf，有可能不存在实数),(bac使得0)(cf；解 析 ： 由 零 点 存 在 性 定 理 可 知 选 项D不 正 确 ； 对 于 选 项B ， 可 通 过 反 例“)1)(1()(xxxxf在区间2, 2上满足0)2()2(ff，但其存在三个解 1 ,0 , 1”推翻；同时选项A 可通过反例 “)1)(1()(xxxf在区间2,2上满足0)2()2(ff，f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165 f(1.4065)=-0.052 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆但其存在两个解 1 , 1” ；选项D正确，见实例“1)(2xxf在区间2,2上满足0)2()2(ff，但其不存在实数解”3、关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（D）A “二分法”求方程的近似解一定可将)(xfy在a,b内的所有零点得到；B “二分法”求方程的近似解有可能得不到)(xfy在a,b内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，)(xfy在 a,b内有可能无零点；D “二分法”求方程的近似解可能得到0)(xf在a,b内的精确解；解析： 如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。4、 若函数fx的零点与422xg xx的零点之差的绝对值不超过0.25， 则fx可以是A. 41fxxB. 2(1)fxxC. 1xfxeD. 12fxInx答案A 解析41fxx的零点为x=41,2(1)fxx的零点为x=1, 1xfxe的零点为 x=0, 12fxIn x的零点为x=23.现在我们来估算422xg xx的零点，因为 g(0)= -1,g(21)=1,所以 g(x)的零点 x(0, 21),又函数fx的零点与422xg xx的零点之差的绝对值不超过0.25，只有41fxx的零点适合，故选A。5、某产品的总成本y(万元 )与产量 x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN) ，若每台产品的售价为25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( ) (A)100 台(B)120 台(C)150 台(D)180 台【解析】选C.要使生产者不亏本，则有3 000+20 x-0.1x2 25x, 解上式得： x-200 或 x150, 又 0 x240,x N，x 的最小值为150. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆6、(2011北京模拟 )如图所示，一质点P(x,y)在 xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 x 轴上的投影点Q(x,0) 的运动速度V=V(t) 的图象大致为( ) 【解析】选B.由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0) 的速度先由正到 0、到负数，再到0，到正，故A 错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故 D 错误；质点 P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点 Q(x,0) 的速度为常数， 因此 C 是错误的，故选 B. 7、(2011济南模拟 )汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( ) 【解析】选A.从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，可比较图象中所反映的速度，速度是由慢到快，再到匀速，最后到减速，所以A 选项正确 . 8、某商店已按每件80 元的成本购进某商品1 000 件,根据市场预测,销售价为每件100 元时可全部售完 ,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件( ) (A)100 元(B)110 元(C)150 元(D)190 元【解题提示】关键将利润表示为提高售价x 元的函数 . 【解析】选D.设售价提高x 元,则依题意y=(1 000-5x) (20+x)=-5x2+900 x+20 000=-5(x-90)2+60 500. 故当 x=90 时,ymax=60 500, 此时售价为每件190 元. 9、(2011淄博模拟 )某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20 元，羽毛球每个定价 5 元，该店制定了两种优惠方法：买一副球拍赠送一个羽毛球；按总价的92%付款 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆现某人计划购买4 副球拍和 30 个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( ) (A) 不能确定(B) 同样省钱(C)省钱(D) 省钱【解析】选D.方法用款为420+265=80+130=210( 元) 方法用款为 (420+305)92%=211.6(元) 210211.6，故方法省钱. 10、在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中 a，b 为待定系数 )( ) (A)y=a+bx (B)y=a+bx (C)y=ax2+b (D)y=a+bx【解题提示】先观察两组数据的关系，然后代入选项后验证即可. 【解析】选B.由表格数据逐个验证，知模拟函数为y=a+bx. 11、方程 lgx+x=3 的解所在区间为（C ）A(0，1) B.(1，2) C(2， 3) D(3，+) 解析： 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与 y=-x+3 的图象 (如图 )。它们的交点横坐标0 x，显然在区间 (1，3)内，由此可排除A，D 至于选 B 还是选 C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较0 x与 2 的大小。当x=2 时，lgx=lg2 ，3-x=1。由于 lg21，因此0 x2，从而判定0 x(2，3)，故本题应选C。12、国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800 元的不纳税；超过800 元而不超过4 000 元的按超过800 元部分的14%纳税；超过4 000 元的按全部稿酬的11%纳税 .已知某人出版一本书，共纳税420 元，这个人应得稿费(扣税前 )为( ) (A)2 800 元(B)3 000 元(C)3 800 元(D)3 818 元【解题提示】由题意写出分段函数的解析式，然后由函数值求自变量的值. 解答 :选 C.设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额y 为分段函数，由题意，得如果稿费为4 000 元应纳税为448 元，现知某人共纳税420 元，所以稿费应在8004 000元之间，(x-800) 14%=420, x=3 800. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆二、填空题1、一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本 y 是经过年数x(0 x m)的函数，其关系式y=f(x) 可写成 _. 【解析】依题意有y=a(1-p%)x(0 x m). 答案： y=a(1-p%)x(0 x m) 2、某出租车公司规定乘车收费标准如下：3 公里以内为起步价8 元(即行程不超过3 公里，一律收费8 元)；若超过3 公里，除起步价外，超过的部分再按1.5 元/公里计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱已知该乘客下车时乘车里程数为7.4 公里，则该乘客应付的车费为_. 【解析】依题意得，实际乘车车费为： 8+1.5(7.4-3) =14.6，应付车费15 元 . 答案： 15 元3、(2011焦作模拟 )计算机的价格大约每3 年下降23,那么今年花8 100 元买的一台计算机，9 年后的价格大约是_元. 【解析】设计算机价格平均每年下降p%, 由题意可得13=(1-p%)3, p%=1-131( )3，9 年后的价格y=8 1001+131( )3-19 =8 100(13)3=300(元). 答案 :300 4、如图所示，向高为H 的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止：(1)若水深 h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a，则水瓶的形状是_; (2)若水量 v 与水深 h 的函数图象是下图中的b，则水瓶的形状是_; (3)若水深 h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c，则水瓶的形状是_; (4)若注水时间t 与水深 h 的函数图象是下图中的d，则水瓶的形状是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆【解析】 (1)该题图中的a 说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C 中的容器能做到，所以应填 C；(2)该题图中的b 说明了水量v 随着水深h 的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，所以应填A；(3)该题图中的c 说明水深h 与注水时间之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D 中的容器能做到，所以应填D；(4)该题图中的d 说明水深 h 与注水时间t 之间的对应关系， 且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有B 中的容器能做到，所以应填B答案 :(1)C (2)A (3)D (4)B 三、解答题1、(2011潍坊模拟 )某企业拟在20XX 年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3-x 与 t+1 成反比例， 当年促销费用t=0 万元时， 年销量是1万件 已知 20XX 年产品的设备折旧、维修等固定费用为3 万元， 每生产 1 万件产品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完(1)将 20XX 年的利润y(万元 )表示为促销费t(万元 )的函数；(2)该企业 20XX 年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？(注：利润 =销售收入 -生产成本 -促销费，生产成本=固定费用 +生产费用 ) 【解析】 (1)由题意： 3-x=1kt，将 t=0,x=1 代入得 k=2,x=3-21t, 当年生产x(万件 )时，年生产成本=32x+3=32(3-21t)+3, 当销售 x(万件 )时，年销售收入 =150% 32(3-21t)+3+12t, 由题意，生产x 万件产品正好销完年利润 =年销售收入 -年生产成本 -促销费即 y=298352(1)ttt(t0). (2)y=50-(13221tt)50-216=42(万件 ) 当且仅当13221tt即 t=7 时， ymax=42, 当促销费定在7 万元时，利润最大. 2、设函数( )ln()f xxxm，其中常数m为整数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆（1）当m为何值时，( )0f x；（2）定理：若函数( )g x在 , a b上连续， 且( )g a与( )g b异号，则至少存在一点0( , )xa b，使得0()0g x试用上述定理证明：当整数1m时，方程( )0f x在2,mmem em内有两个实根。解析： （1）函数 f(x)=x ln(x+m),x (m,+)连续，且mxxfmxxf1,0)(,11)(得令当 x(m,1m)时,f （x） f(1 m) 当 x(1 m, +)时,f （x）0,f(x) 为增函数 ,f(x)f(1 m) 根据函数极值判别方法，f(1m)=1m 为极小值，而且对 x(m, +)都有 f(x) f(1 m)=1m 故当整数m1 时， f(x) 1 m 0 (2)证明：由（ I）知，当整数m1 时， f(1m)=1-m1 时，), 1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学mmmmmmmmemefmmm类似地， 当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m), 在,1memm上为连续增函数且f(1-m)与)(2mefm异号，由所给定理知，存在唯一的0)(,1 22xfmemxm使故当 m1 时，方程f(x)=0 在,2mememm内有两个实根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页