2022年概率论和数理统计考试试题和答案解析 .pdf

WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料一. 填空题（每空题2 分，共计 60 分）1、 A、 B是两个随机事件， 已知0.3)B(p,5.0)(, 4.0)A(pABP， 则)BA(p 0.6 , )B-A(p 0.1 ，)(BAP= 0.4 , )BA(p0.6 。2、一个袋子中有大小相同的红球6 只、黑球 4 只。 （1）从中不放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。 （2）若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。 （3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。3、设随机变量 X服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则1Xp0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X与 Y相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 现从由甲厂、乙厂的产品分别占60% 、40% 的一批产品中随机抽取一件。（1）抽到次品的概率为： 0.12 。（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 5、设二维随机向量),(YX的分布律如右，则a0.1, )(XE0.4 ，YX与的协方差为 : - 0.2 ，2YXZ的分布律为 : 6、 若 随 机 变 量X)4, 2(N且8413.0)1 (，9772.0)2(, 则42XP0.815 ，(, 12NYXY则 5 ， 16 ） 。7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：)2(YXE - 4 ，)2(YXD 6 。8、设2),(125YXCovYDXD，）（，）（，则）（YXD 30 9、设261,XX是总体)16,8(N的容量为26 的样本，X为样本均值，2S为样本方差。则：XN（8 ， 8/13 ） ，16252S)25(2，52/8sX)25( t。XY0 1 -1 1 0.2 0.3 0.4 az 1 2 概率0.6 0.4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料二、 （6 分）已知随机变量X的密度函数其它,010,)(2xaxxf求： （1）常数a， （2）)5.15.0(Xp（3）X的分布函数F（x） 。解:(1) 由3, 1)(adxxf得 2(2) )515.0(Xp=5.15. 015. 02875.03)(dxxdxxf 2 (3)xxx0 xxF1,110,0)(3 2三、 （6 分）设随机变量（ X，Y）的联合概率密度为：其它,010, 10,2),(yxyyxf求： （1）X，Y 的边缘密度，（2）讨论 X与 Y的独立性。解:(1) X，Y 的边缘密度分别为: 其他，其他01022)()(01012)(1010yyydxdxyxfyfxydyxfYX 4 (2)由(1) 可见）（）（），（yfxfyxfYX, 可知 : X ，Y相互独立 2一 .填空题（每小题2 分，共计60 分）1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为不可能事件，而与其任何事件相互独立的事件为必然事件；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10 。23.0)(,4.0)(BPAP。若A与B独立，则)(BAP 0 。28 ；若已知BA,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则)(BAP 0.3 ，)(BAP 1/3 。3、 一个袋子中有大小相同的红球5 只黑球 3 只，从中不放回地任取2 只，则取到球颜色不同的概率为： 15/28。若有放回地回地任取2 只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。4、1)()(XDXE。若X服从泊松分布，则0 XP11e；若X服从均匀分布，则0 XP 0 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料5、设),(2NX，且3.042,22XPXPXP，则 2 ；0 XP 0.8 。6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4 元，二等奖2 元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3 和 0.5, 且每张彩票卖2 元。是否买此彩票的明智选择为：买（买，不买或无所谓）。7、若随机变量X)5, 1 ( U，则40Xp 0.75 ；) 12( XE_7_，)13( XD 12 8、设44.1)(,4.2)(),(XDXEpnbX，则nXP34 .0，并简化计算kkkkk66026. 04. 062 .7)4.06(6.04 .062。9、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1 ，D(Y)=2, 且 X、 Y相互独立， 则：)2(YXE-4 ，)2(YXD 6 。10、设161,XX是总体)4,20(N的容量为16 的样本，X为样本均值，2S为样本方差。则：XN（20， 1/4 ） ，120Xp= 0.0556 ，16152S)15(2，51/20sX t(15)。此题中9772.0)2(。11、随机变量X的概率密度0,00,)(xxexfx，则称X服从指数分布，)(XE1。13、设二维随机向量),(YX的分布律是：则X的方差)(XD 0.21 ；YX与的相关系数为:XY 3/7 。二、 （7 分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2 ，0.1 ，0.3 现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15% ，80% ， 5% 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率解：设321A,A,A分别表示产品取自甲、乙、丙厂，有：%5)P(A80%,)A(P%,15)p(A321 2B 表示取到次品，3 .0)ABP(0.1,)AB(P,2 .0)Ap(B321， 2XY0 1 0 1 0.4 0.3 0.3 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料由贝叶斯公式：)BA(p1=24. 0)()(/)()(3111kkkABPApABPAp（ 4 三、 （7 分） 已知随机变量X的密度函数其它,010,)(xaxxf求： （ 1）常数a， （2）)5.00(Xp（ 3）X的分布函数F（x） 。解:(1) 由2, 1)(adxxf得 2(2) )51.0(Xp=5. 005. 0025.02)(xdxdxxf 3 (3)xxx0 xxF1,110,0)(2 2四 、 （7 分） 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：其它,010, 10,4),(yxxyyxf求： （1） X，Y的边缘密度， （2）由（ 1）判断 X，Y的独立性。解 :(1) X，Y的边缘密度分别为: 其他，其他，01024)()(01024)()(1010yyxydxdxyxfyfxxydyxdyyxfxfYX 5 (2)由(1) 可见）（）（），（yfxfyxfYX, 可知 : X ， Y相互独立 2七、 （5 分）某人寿保险公司每年有10000 人投保，每人每年付12 元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000 元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064 。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000 元的概率。已知8413.0)1(，9772.0)2(。解 : 设 X为该保险公司一年内的投保人死亡人数, 则 XB(10000,0.0064)。该保险公司的利润函数为：XL1000120000。 2所以7248000100012000048000XPXPLP996.764729936.00064.01000064XP用中心极限定理8413.0)1( 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料答：该保险公司一年内的利润不少于48000 元的概率为0。8413 二.填空题（每小题2 分，共计60 分）1、A、B是两个随机事件，已知0.3)B(p,5.0)A(p，则a)若BA,互斥，则)B-A(p 0.5 ; b)若BA,独立 , 则)BA(p 0.65 ;c)若2 .0)(BAp, 则)BA(p 3/7 .2、袋子中有大小相同的红球7 只，黑球3 只，(1) 从中不放回地任取2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。(2) 若有放回地任取2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。(3) 若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球, 则第一、 二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X服从泊松分布87),(XPXp，则XE 8 . 4、设随机变量X服从 B（ 2，0. 8 ）的二项分布, 则2Xp 0.64 , Y服从 B（8， 0. 8 ）的二项分布, 且 X与 Y相互独立，则 1YXP=1- 0.210，)(YXE8 。5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N （ 75，25） ，则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85 分的学生占比85 XP为 0.0228 。其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1 (. 6、设二维随机向量),(YX的分布律是有YX与的 相关系数则a_0.1_ ，X的 数 学 期 望)(XE_0.4_ ，xy_-0.25_。7、设161,., XX及81,.,YY分别是总体)16,8(N的容量为16，8 的两个独立样本，YX ,分别为样本均值，2221,SS分别为样本方差。则：X N(8,1) ，YX N(0,1.5) ，5.12YXp= 0.0456 ，161521S)15(2，2221SS F(15,7) 。此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(XY0 1 -1 1 0.3 0.3 0.3 a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料8、设321,.XXX是总体X的样本，下列的统计量中，A， B，C 是)(XE的无偏统计量，)(XE的无偏统计量中统计量 C 最有效。A. 321XXX B. 312XX C. )(31321XXX D. 21XX9. 设某商店一天的客流量X是随机变量 , 服从泊松分布)(,71,., XX为总体X的样本，)(XE的矩估计量为X，160，168，152， 153，159，167，161 为样本观测值，则)(XE的矩估计值为 160 10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： H0成立的条件下拒绝H0的错误 , 也称为弃真错误。二、 （6 分） 已知随机变量X的密度函数其它,02,)(2xxaxf求： （ 1）常数a， （2）)45.0(Xp（ 3）X的分布函数F（ X） 。解:(1) 由2, 1)(adxxf得 2(2) )45.0(Xp=45. 04225.02)(dxxdxxf 2 (3)xxxxF22-120)( 2三 、 （6 分） 设随机变量X，Y的概率密度分别为：)(xfX其它,0,0,xex)(yfY其它,0, 10, 1y，且随机变量X，Y 相互独立。（ 1）求（ X，Y）的联合概率密度为：),(yxf（ 2）计算概率值XYp2。解 :(1) X ，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为）（）（），（yfxfyxfYX, 其它,010,0,),(yxeyxfx 2（ 2）10122),()2(xxxydyedxdxdyYxfXYP 3 =131e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料八、 （6 分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90% 以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84 件为一级品 , 试以 5% 的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。 （已知645. 105. 0Z，提示用中心极限定理）解 总体X服从p为参数的0-1 分布，9 .0:,9.0:0100ppHppH 21001,., XX为总体X的样本，在0H成立条件下，选择统计量npppXZ)1(000，由中心极限定理，z近似服从标准正态分布，则拒绝域为05.0zz经计算该体05.02zz，即得 Z 在拒绝域内 , 故拒绝0H，认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求1、A、B是两个随机事件，已知0.125P(AB)0.5,)B(p, 52.0)A(p，则)B-A(p0.125 ;)BA(p 0.875 ;)BA(p 0.5 .2、袋子中有大小相同的5 只白球， 4 只红球， 3 只黑球，在其中任取4 只(1)4只中恰有 2 只白球 1 只红球 1 只黑球的概率为：412131425CCCC. (2) 4只中至少有2 只白球的概率为：4124814381CCCC. (3) 4只中没有白球的概率为：41247CC3、设随机变量X服从泊松分布65),(XPXp，则XE 6 . 4、设随机变量X服从 B（ 2，0. 6 ）的二项分布, 则2Xp 0.36 , Y服从 B（ 8，0. 6 ）的二项分布, 且 X与 Y相互独立，则1YXP= 1-0.410，)(YXE 6 。5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（70，16） ，则该学校学生的及格率为 0.9938 ，成绩超过 74 分的学生占比74 XP为 0.1587 。其中标准正态分布函数值9938.0)5.2(,9772.0)2(,8413.0)1 (. 6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60% ，次品率为10% ；乙生产的产品占40% ，次品率为 20% 。(1) 若随精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料机地从这批产品中抽出一件, 抽到次品的概率为 0.14 ； （2）若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该产品是甲设备生产的概率是 3/7 .7、设101,., XX及151,.,YY分别是总体)6,20(N的容量为10， 15 的两个独立样本，YX ,分别为样本均值，2221,SS分别为样本方差。则：X N(20,3/5) ，YX N(0,1) ，1YXp= 0.3174 ，2321S)9(2，2221SS F(9,14) 。此题中8413.0)1 (。此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1 (8、设321,.XXX是总体X的样本，下列的)(XE统计量中， C 最有效。A. 321XXX B. 312XX C. )(31321XXX9. 设某商店一天的客流量X是随机变量 , 服从泊松分布)(,71,., XX为总体X的样本，)(XE的矩估计量为X，15,16,18,14,16,17,16为样本观测值，则)(XE的矩估计值为 16 10、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指 H0成立的条件下拒绝H0的错误 , 第二类错误是指 H1成立的条件下拒绝H1的错误 ,显著水平是指控制第一类错误的概率小于 . 二、 （6 分） 已知随机变量X的密度函数其它,00,1)(2xxaxf求： （1）常数a， （2）)31(Xp（3）X的分布函数F（ X） 。解:(1) 由2, 1)(adxxf得 2(2) )31(Xp=3130232112)(dxxdxxf 2 (3)xxxF0arctanx 200)( 2第 2页共 5 页三 、 （6 分） 设随机变量X，Y的概率密度分别为：)(xfX其它,0,20,2xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料)(yfY其它,0, 10,2yy，且随机变量X，Y相互独立。（1）求（ X ， Y）的联合概率密度为：),(yxf（2）计算概率值2XYp。解:(1)X ，Y相互独立，可见（X，Y ）的联合概率密度为）（）（），（yfxfyxfYX, 其它,010,20,),(yxxyyxf 2（2）101222),()(xxyxydydxdxdyYxfXYP =61 3uXnEuEknk)1()?(1, 它为u的无偏估计量 . 2 . 996.244 .295.07.0155.0)1(22222sn 2八、（6 分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90% 以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100 件，经检验发现有84 件为一级品 , 试以 5% 的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知645.105.0Z，提示用中心极限定理）解 总体X服从p为参数的 0-1 分布，9 .0:, 9 .0:0100ppHppH 21001,., XX为总体X的样本，在0H成立条件下，选择统计量npppXZ)1(000，由中心极限定理，z近似服从标准正态分布，则拒绝域为05. 0zz经计算该体05. 02zz，即得 Z 在拒绝域内 ,故拒绝0H，认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求三. 填空题（每空题 3 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知0.3p(AB)0.5,)B(p,6.0)A(p，则)BA(p 0.8 、)BA(p 0.6 ,事件 A,B 的相互独立性为：相互独立。2、一个袋子中有大小相同的红球6 只、黑球3 只、白球1 只，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料(1) 从中不放回地任取2 只，则第一、二次取到红球的概率为： 1/3 。(2) 若有放回地任取2 只，则第一、二次取到红球的概率为： 9/25 。(3) 若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球, 则第一、 二次取到红球的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X服从参数为100 的泊松分布，则)(XDXE）（ 100 ,利用“ 3” 法则，可以认为 X的取值大多集中在 70 -130 范围。4、设随机变量X服从 N（500，1600）的正态分布, 则580Xp 0.0228 , Y服从 N （500，900） 的 二项 分 布 , 且X 与Y 相互 独 立 ，则YX服 从N（ 1000， 2500）分 布 ; 若aaYXp则,05.0 1082.5 。8413.0)1 (；9772.0)2(,95.0)645.1 (5. 已知随机变量X的密度函数其它,010,2)(xxxf则: （ 1）)515.0(Xp= 0.75 （2） X的分布函数F（x）= xxx0 xxF1,110,0)(2。6、设随机变量 (X,Y) 具有4)(,9)(YDXD，6/1XY， 则)(YXD= 11 ，)43(YXD= 51 。7、两个可靠性为p0 的电子元件独立工作，（ 1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：2p；（ 2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：2)1(1p；8、若随机变量X)3,0( U，则21Xp 2/3 ；)(XE_1.5 ，)12( XD 3 二、 （6 分） 计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？解 ：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M， “程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件321,NNN。则根据全概率公式有025.004.01 .005.03 .001.06.0)|()()(31iiiNMPNPMP，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页WORD 格式 .整理版优质 .参考 .资料根据 Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为24.0025.001.06.0)()|()()|(111MPNMPNPMNP，60.0025.005.03.0)()|()()|(222MPNMPNPMNP，16.0025.004.01 .0)()|()()|(333MPNMPNPMNP。三 、（ 6分 ） 设 随 机 变 量X ， Y的 概 率 密 度 分 别 为 ：)(xfX其它,0,0,xex，)(yfY其它,0, 10,2yy，且随机变量X，Y 相互独立。（ 1）求（ X，Y）的联合概率密度为：),(yxf（ 2）计算概率值XYp2。解 :(1) X ，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为）（）（），（yfxfyxfYX, 其它,010,0,2),(yxyeyxfx 31022/1222),()2(yxxyeydxedydxdyYxfXYP 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页