2021版数学北师大版攻略大一轮复习精练：2.8　函数模型及函数的综合应用.docx

2.8函数模型及函数的综合应用探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及函数的综合应用了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题2019北京,14函数的实际应用一元一次不等式2015北京,8函数的图象2015北京文,8分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数取值范围;利用分离参数法求函数值域,进而求参数的取值范围等.破考点 练考向【考点集训】考点函数模型及函数的综合应用1.(2020届北京四中期中,9)某商场实行购物优惠活动,规定:(1)一次性消费不超过200元,则不予优惠;(2)一次性消费超过200元但不超过500元,则按9折优惠;(3)一次性消费超过500元,其中500元按9折给予优惠,超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,若他只去一次购买同样价格的商品,则应付款()A.472.8元B.510.4元C.522.8元D.560.4元答案D2.(2018北京东城一模,14)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,则动点P所走的图形可能是() 答案D3.(2019北京顺义期末,8)设函数f(x)的定义域为A,如果对于任意的x1A,都存在x2A,使得f(x1)+f(x2)=2m(其中m为常数)成立,则称函数f(x)在A上“与常数m相关联”.给定函数y=1x;y=x3;y=2x;y=ln x;y=cos x+1,则在其定义域上“与常数1相关联”的所有函数是()A.B.C.D.答案C4.(2019 53原创冲刺卷一,11)设函数f(x)=2|x-1|+log3(x-1)2,不等式f(ax)f(x+3)在x(1,2上恒成立,则实数a的取值范围是()A.-,52B.(-,2C.-1,52D.-32,52答案D炼技法 提能力【方法集训】方法函数模型的实际应用问题1.(2019北大附中模拟文,6)某电力公司在工程招标中根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.分值权重表如下:总分技术商务报价100%50%10%40%技术分、商务分是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的,报价分则相对灵活.报价分的评分方法:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分为48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分;若报价低于基准价15%以上(不含15%),每再低1%,则在80分的基础上扣0.8分.在某次招标中,基准价为1 000万元.甲、乙两公司的综合得分如下表:公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司的报价为1 100万元,乙公司的报价为800万元,则甲,乙公司的综合得分分别是()A.73分,75.4分B.73分,80分C.74.6分,76分D.74.6分,75.4分答案A2.(2020届北京铁二中10月月考,8)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有a4 L,则m的值为()A.5B.8C.9D.10答案A3.(2020届北京人大附中统练七,6)有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从()年开始,快递业产生的包装垃圾将超过4 000万吨.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)()A.2020B.2021C.2022D.2023答案B【五年高考】A组自主命题北京卷题组考点函数模型及函数的综合应用1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案D2.(2015北京文,8,5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升答案B3.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.答案13015B组统一命题、省(区、市)卷题组考点函数模型及函数的综合应用1.(2019课标,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.设=rR.由于的值很小,因此在近似计算中33+34+5(1+)233,则r的近似值为() A.M2M1RB.M22M1RC.33M2M1RD.3M23M1R答案D2.(2019天津,8,5分)已知aR.设函数f(x)=x2-2ax+2a,x1,x-alnx,x>1.若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立,则a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e答案C3.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则x+y+z=100,5x+3y+13z=100,当z=81时,x=,y=.答案8;11C组教师专用题组考点函数模型及函数的综合应用1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p+q2B.(p+1)(q+1)-12C.pqD.(p+1)(q+1)-1答案D2.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=x2-x+3,x1,x+2x,x>1.设aR,若关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是() A.-4716,2B.-4716,3916C.-23,2D.-23,3916答案A3.(2019浙江,16,4分)已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,则实数a的最大值是.答案434.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(xR),对函数y=g(x)(xI),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(xI),y=h(x)满足:对任意xI,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于点(x, f(x)对称.若h(x)是g(x)=4-x2关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.答案(210,+)5.(2017浙江,17,4分)已知aR,函数f(x)=x+4x-a+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是.答案-,926.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a),(b,-f(b)的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=a+b2,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数2aba+b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案(1)x(2)x7.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合:对于函数(x),存在一个正数M,使得函数(x)的值域包含于区间-M,M.例如,当1(x)=x3,2(x)=sin x时,1(x)A,2(x)B.现有如下命题:设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)A”的充要条件是“bR,aD,f(a)=b”;函数f(x)B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)A,g(x)B,则f(x)+g(x)B;若函数f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x>-2,aR)有最大值,则f(x)B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案8.(2010北京,14,5分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f(x),则f(x)的最小正周期为;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.答案4;+19.(2016浙江,18,15分)已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=p,pq,q,p>q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).解析(1)由于a3,故当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3a2+2,-a2+4a-2,a>2+2.(ii)当0x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=34-8a,3a<4,2,a4.思路分析(1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.10.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知,y=1 000x2(5x20),则点P的坐标为t,1 000t2,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=-2 000x3,则l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2.故f(t)=3t22+3 000t22=32t2+4106t4,t5,20.设g(t)=t2+4106t4,则g(t)=2t-16106t5.令g(t)=0,解得t=102.当t(5,102)时,g(t)<0,g(t)是减函数;当t(102,20)时,g(t)>0,g(t)是增函数;从而,当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=153.当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.11.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=1ax,0xa,11-a(1-x),a<x1.a为常数且a(0,1).(1)当a=12时,求ff13;(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1),B(x2, f(f(x2),C(a2,0),记ABC的面积为S(a),求S(a)在区间13,12上的最大值和最小值.解析(1)当a=12时, f13=23,ff13=f23=21-23=23.(2)f(f(x)=1a2x,0xa2,1a(1-a)(a-x),a2<xa,1(1-a)2(x-a),a<x<a2-a+1,1a(1-a)(1-x),a2-a+1x1.当0xa2时,由1a2x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2<xa时,由1a(1-a)(a-x)=x解得x=a-a2+a+1(a2,a),因fa-a2+a+1=1aa-a2+a+1=1-a2+a+1a-a2+a+1,故x=a-a2+a+1为f(x)的二阶周期点;当a<x<a2-a+1时,由1(1-a)2(x-a)=x解得x=12-a(a,a2-a+1),因f12-a=11-a1-12-a=12-a,故x=12-a不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1x1时,由1a(1-a)(1-x)=x解得x=1-a2+a+1(a2-a+1,1),因f1-a2+a+1=11-a1-1-a2+a+1=a-a2+a+11-a2+a+1,故x=1-a2+a+1为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=a-a2+a+1,x2=1-a2+a+1.(3)由(2)得Aa-a2+a+1,a-a2+a+1,B1-a2+a+1,1-a2+a+1,则S(a)=12a2(1-a)-a2+a+1,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2,因为a13,12,a2+a<1,所以S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2=12a(a+1)(a-1)2+(1-a2-a)(-a2+a+1)2>0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3a-2-103a-2+103,因a(0,1),g(a)<0,所以g(a)在区间13,12上的最小值为g12=58>0,故对于任意a13,12,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2>0.则S(a)在区间13,12上单调递增,故S(a)在区间13,12上的最小值为S13=133,最大值为S12=120.评析本题考查了函数的零点、值域,是一道信息创新题,只有准确地理解信息,并具有较强的运算能力和数据处理能力,才能正确解答此题.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019中央民大附中月考文,7)已知某厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该厂家获得最大年利润的年产量为() A.9万件B.11万件C.12万件D.13万件答案A2.(2020届北京八一学校开学摸底,7)在股票买卖过程中,经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势,其中一种曲线是即时价格曲线y=f(x),一种曲线是平均价格曲线y=g(x).例如:f(2)=3表示某股票开始交易后2小时的即时价格为3元,g(2)=4表示某股票开始交易后2小时内所有成交股票的平均价格为4元.下列四个图象中,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x).其中可能正确的是()答案B3.(2019北京丰台二模,8)某码头有总质量为13.5吨的一批货箱,每个货箱质量都不超过0.35吨,任何情况下,都要一次运走这批货箱,则至少需要准备载重1.5吨的卡车()A.12辆B.11辆C.10辆D.9辆答案B4.(2020届北京牛栏山一中9月月考,8)在交通工程学中,常作如下定义:交通流量Q(辆/小时):单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;车流速度V(千米/小时):单位时间内车流平均行驶过的距离;车流密度K(辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般地,V和K满足一个线性关系:V=v01-Kk0(其中v0,k0是正数),则以下说法正确的是()A.随着车流密度增大,车流速度增大B.随着车流密度增大,交通流量增大C.随着车流密度增大,交通流量先减小、后增大D.随着车流密度增大,交通流量先增大、后减小答案D5.(2019北京丰台二模文,8)某快递公司的四个快递点A,B,C,D呈环形分布(如图所示),每个快递点均已配备10辆快递车辆.因业务发展需要,需将A,B,C,D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆,要求调整只能在相邻的两个快递点间进行,且每次只能调整1辆快递车辆,则()A.最少需要8次调整,相应的可行方案有1种B.最少需要8次调整,相应的可行方案有2种C.最少需要9次调整,相应的可行方案有1种D.最少需要9次调整,相应的可行方案有2种答案D6.(2019北京海淀期中,8)函数f(x)=x,g(x)=x2-x+3,若存在x1,x2,xn0,92,使得f(x1)+f(x2)+f(xn-1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+g(xn-1)+f(xn),则n的最大值为()A.5B.6C.7D.8答案D7.(2020届北大附中周测,7)已知函数f(x)=cos x,g(x)=eax-a+12(a0),若x1,x20,1,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是() A.-12,0 B.12,+C.(-,0)12,+D.-12,00,12答案B二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018北京东城二模,14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时,测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小整数t的值为.(参考数据:lg 20.301 0)答案26.56;139.(2019北京牛栏山一中期中,13)已知函数f(x)=x-a(x+a)2,若对于定义域内的任意x1,都存在x2使得f(x1)>f(x2),则满足条件的实数a的取值范围是.答案a010.(2019北京西城二模文,14)因市场战略储备的需要,某公司从1月1日起每月1日购买相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是.(写出所有正确的图表序号)答案三、解答题(共25分)11.(2020届北京八一学校10月月考,18)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒(接缝处忽略不计),E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解析(1)设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=2x,h=2(30-x),0<x<30.S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,当x=15时,包装盒的侧面积S最大.(2)V=a2h=22(-x3+30x2),V=62x(20-x),令V=0,得x=20,当x(0,20)时,V>0;当x(20,30)时,V<0.所以当x=20时,包装盒容积V最大,此时,ha=12.故此时包装盒的高与底面边长的比值是12.12.(2020届北京四中期中,19)近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定将一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网.安装这种供电设备的工本费(万元)与太阳能电池板的面积(平方米)成正比,比例系数约为0.5,为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电模式.假设在此模式下,该企业每年消耗的电费C(万元)与太阳能电池板的面积x(平方米)之间的函数关系是C(x)=k20x+100(x0,k为常数),记F为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年消耗的总电费之和.(1)试解析C(0)的实际意义,并建立F关于x的函数关系式;(2)当x为多少平方米时,F取得最小值?最小值是多少万元?解析本题考查函数的实际应用,考查学生运用数学知识分析与解决实际问题的能力,体现数学建模的核心素养.(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费,即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费.由C(0)=k100=24,得k=2 400.所以F=152 40020x+100+0.5x=1 800x+5+0.5x,x0.(2)因为F=1 800x+5+0.5x=1 800x+5+0.5(x+5)-2.521 8000.5-2.5=57.5,当且仅当1 800x+5=0.5(x+5),即x=55时,取等号.所以当x为55平方米时,F取得最小值,最小值为57.5万元.