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不等式恒成立问题的解法 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date一、方法引入：一、方法引入：.数形结合法数形结合法 : (1）若）若f(x)=ax+b,x ,，则：则： f(x)0恒成立恒成立 f(x)0f( )0f( )0f( )0在在R上恒成立的充要条件是上恒成立的充要条件是： _。a=b=0C0或或a0=b2-4ac0 同理， ax2+bx+c0在在R上恒成立的充要条件是：上恒成立的充要条件是： _。a=b=0C0或或a0=b2-4ac0 . ( (* *) ) （1）当）当| x | 2，( (* *) )式恒成立，求实数式恒成立，求实数m m的取值范围的取值范围 ；（2）当）当| m | 2，( (* *) )式恒成立，求实数式恒成立，求实数x x的取值范围的取值范围 . 当当1-m1, ( (* *) )式在式在x x -2,2-2,2时恒成立的时恒成立的充充 要条件为：要条件为：解解：(1)当当1-m=0即即m=1时，时， ( (* *) )式恒成立，式恒成立， 故故m=1适合适合( (* *) ) ； (1-m)(-2)2+(m-1)(-2)+ 3 0 当当1-m0时，即时，即m1 ,( (* *) )式在式在x x -2,2-2,2时恒成立的时恒成立的充充 要条件为：要条件为： =(m-1)2-12(I-m)0 ， 解得解得: -11m1；解得解得: 1m0恒成立恒成立g(-2)=3x2-3x+30g(2)=-x2+x+30解解: (2) 设设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m -2,2）即即x R21312131 x 0 . ( (* *) ) （1）当）当| x | 2，( (* *) )式恒成立，求实数式恒成立，求实数m m的取值范围的取值范围 ；（2）当）当| m | 2，( (* *) )式恒成立，求实数式恒成立，求实数x x的取值范围的取值范围 .练习练习1: 对于一切对于一切 |p| 2，pR，不等式，不等式x2+px+12x+p恒成立，则实数恒成立，则实数x的取值范围是：的取值范围是： （-，-1）（3，+）小结：小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。题，分类讨论。例例2、若不等式若不等式x x2 2 0,-kx+20,对对x x -3,3 -3,3恒成立，则实数恒成立，则实数k k的取值范围是的取值范围是 .2110 xy21y=x2y=log log x x16141 在同一坐标系下作它们在同一坐标系下作它们的图象如右图的图象如右图:解解：设设 y1= x x2 2 (x (x (0, )(0, ) ) y2= logloga ax x21由图易得由图易得: a 1161 1,116y=x2+22-2-211y=kxy=2 x2y= - 2 x2解解：原不等式可化为：原不等式可化为：x x2 2+2+2kxkx例例2、若不等式若不等式x x2 2 log0,-kx+20,对对x x -3,3 -3,3恒成立，则实数恒成立，则实数k k的的取值范围是取值范围是 .21设设 y1= x x2 2+2 (x +2 (x -3,3-3,3) ) y2= kxkx 在同一坐标系下作它们的图在同一坐标系下作它们的图象如右图象如右图:由图易得由图易得: -2 k 0）txy解解: 分离参数得分离参数得: a yxxy2x又又 令令1+2t=m（m 1），则，则 f(m)=2)21m(1m2)m5m(4 a f (x) max= 即即a 215215(当且仅当当且仅当m= 时等号成立时等号成立)521525245m22mm4121yxyx恒成立恒成立2t1t 21, 则则 a （t t 0） 恒成立恒成立 5 1,2小结：小结： 4、 使用使用分离参数法分离参数法，将问题转化为，将问题转化为f(x)（或（或f(x)）恒）恒成立，再运用不等式知识或求成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使函数最值的方法，使 问题获解。问题获解。注意：注意：f(x)恒恒成立的充要条件是：成立的充要条件是：_; f(x)恒恒成立的充要条件是：成立的充要条件是：_。f (x) maxf (x) min例、已知例、已知a0，函数，函数f (x)=ax-bx2，（1）当）当b1，证明对任意的，证明对任意的x 0,1，|f(x)|1充要条件是充要条件是: b-1a2 ；（2）当）当01 bx+ 2 (x= 时取等号时取等号 )bb1x1bx - a +bxx1x1解解:(1) b1时时,对对x (0,1,|f(x)|1 -1ax-bx21bx2-1 ax 1+bx2 故故 x (0,1时原式恒成立的充要条件为时原式恒成立的充要条件为: b-1a2b ( bx- )max=b-1 (x=1时取得时取得 )x1 又又 bx - 在在(0,1上递增上递增 x1又又 x=0时，时，|f(x)|1恒成立恒成立 x 0,1时原式恒成立的充要条件为时原式恒成立的充要条件为: b-1a2b故故 ( bx+ )min =b+1 (x=1时取得时取得) x1(2) 00三、方法小结：三、方法小结：2、对于、对于f(x)f(x)g(x)g(x)型型问题，问题， 或利用或利用数形结合数形结合思想转化为函数图象的关系处理；思想转化为函数图象的关系处理； 或利用或利用分离参数法分离参数法，将问题转化为，将问题转化为f(x)（或（或f(x)）恒恒成立，成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。问题获解。 1、数形结合法数形结合法：即对于：即对于一次函数型一次函数型问题，利用一次函数问题，利用一次函数的图像特征求解；对于的图像特征求解；对于二次函数型二次函数型问题，结合抛物线图问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，像，转化成最值问题，分类讨论分类讨论。4 、已知已知f(x)= (x R) 在区间在区间 -1，1上是增函数。上是增函数。（1）求实数）求实数 a 的值所组成的集合的值所组成的集合A；（2）设关于）设关于x 的方程的方程f(x)= 的两根为的两根为x1、x2，试问：是否存试问：是否存在实数在实数m，使得不等式，使得不等式 m2 + t m + 1| x1 - x2| 对任意对任意a A及及t -1，1 恒成立？若存在，求出恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，的取值范围；若不存在，请说明理由。请说明理由。1、当当x (0,1)时，不等式时，不等式x20 对对x (1,4)恒成立，求实数恒成立，求实数a的取的取值范围。值范围。2、若不等式、若不等式|x-a|+|x-1|2 对对x R恒成立，恒成立，则实数则实数a的取值的取值范围是范围是_。2xax22四、练习题：四、练习题：x1
