二次函数y=ax2的图象和性质修改.ppt
26.1 二次函数y=ax2的图象和性质1、二次函数的一般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？2xy 42312xxy12xxy2xxyxxy12你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗? ?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x值值, ,并计算并计算相应的相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11 10 04 49 9xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点, ,连线连线y= =x2 2?2xy 二次函数二次函数y=x2的图象的图象形如物体抛形如物体抛射时所经过射时所经过的路线的路线,我们我们把它叫做把它叫做抛抛物线物线这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点. 议一议议一议(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0呢？(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？观察图象,回答问题：2xy xyO(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？2xy当当x0 (在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时, y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.x x -4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1. 1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= xy= x2 2和和y=2xy=2x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 2x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=2xy=2x2 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.58 82 20.50.50 00.50.52 24.54.58 84.54.51 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :开口向上，顶点是原点，开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线顶点是抛物线的最低点，的最低点，对称轴是对称轴是y y轴，轴，除顶点外除顶点外, ,图像都在图像都在x x轴上方轴上方开口大小不同开口大小不同 函数函数y= xy= x2 2,y=2x,y=2x2 2的图像的图像与函数与函数y=xy=x2 2的的图像图像相比相比, ,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点? ?1 12 2性质：性质：a0，图象开图象开口向口向上上，顶点是抛，顶点是抛物线的最物线的最低低点，点，a越越大开口越小，反之大开口越小，反之越大越大1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2y= 2x2y= 0.5x2(1)(1)二次函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？ 做一做做一做你能根据表格中的数据作出你能根据表格中的数据作出猜想吗猜想吗？(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)(3)它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9在学中做在做中学做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-=-x2 2?2xy 当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. y 当当x= -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -1当当x=1时时,y= -1当当x= 2时时,y= -4抛物线抛物线y= -x2在在x轴的轴的下方下方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最高点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限并且向下无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=y= x x2 2和和y=y=2x2x2 2的图像的图像1 12 2y=y= x x2 21 12 2y=y=2x2x2 2x-4-3-2-101234y=- x2 2102121-2-22929-8-8 x-2-1.5-1-0.500.511.52y=2x2 02121-2-22929-8-8 函数函数y=y= x x2 2,y=,y=2x2x2 2的图像的图像与与y=-xy=-x2 2的图的图像像相比相比, ,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :开口向下，开口向下，顶点是原点，对称轴是顶点是原点，对称轴是y轴轴，顶点是抛物线的最高点顶点是抛物线的最高点除顶点外除顶点外, ,图像都在图像都在x x轴下方轴下方开口大小不同开口大小不同1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y= x x2 21 12 2y=y=2x2x2 2y=x2性质：性质：当当a0时，时，图象开口图象开口向下向下，顶，顶点是抛物线的点是抛物线的最高最高点点，a越大，抛物线越大，抛物线的开口越大。的开口越大。1、抛物线、抛物线y=ax2的顶点是的顶点是原点，对称轴是原点，对称轴是y轴。轴。2、当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方（除顶点外），它的开口（除顶点外），它的开口向上向上，并且向，并且向上无限伸展；上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小越大，抛物线的开口越小 当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方（除顶点外），它的开口（除顶点外），它的开口向上向上，并且向，并且向上无限伸展；上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小越大，抛物线的开口越小 当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的下方轴的下方（除顶点外），它的开口（除顶点外），它的开口向下向下，并且向，并且向下无限伸展。下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大。越大，抛物线的开口越大。二次函数y=ax2的性质2axy2axy 思考：思考：在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 一般地，抛物线一般地，抛物线y=ax2与抛物线与抛物线y= -ax2呢？呢？答：抛物线抛物线答：抛物线抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2 既关于既关于x轴对称，又关于原点对称。轴对称，又关于原点对称。抛物线抛物线y=ax2与抛物线与抛物线y= -ax2也有同样的关系。也有同样的关系。2axy2axy 2xy2xy yax2a0a0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减OO做一做做一做(1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 , 在对称轴在对称轴 侧侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴 侧侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小,当当x= 时时,函数函数y的值最小的值最小,最小最小 值是值是 ,抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).(2)抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外),在对称在对称轴的左侧轴的左侧,y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧；在对称轴的右侧,y随着随着x的的 ,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是 ,当当x 0时时,y0.232xy(3)、如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设，设CD的长为的长为x，四边形，四边形ABCD的面的面积为积为y，则，则y与与x之间的函数关系式是（之间的函数关系式是（ ）已知已知a0，b0，一次函数是，一次函数是yaxb，二次函数，二次函数 是是ya ，则下面图中，可以成立的是，则下面图中，可以成立的是( ) 填空：已知二次函数(1)其中开口向上的有_(填题号)；(2)其中开口向下且开口最大的是_(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有_(填题号)33)6 , 3()6 , 3(1、二次函数y=ax2的图象是什么？的图象是什么？2、二次函数y=ax2的图象有何性质？的图象有何性质？3、抛物线y=ax2 与与y=- -ax2有何关系？有何关系？小结
