2022年正弦定理余弦定理及解三角形导学案详解 .pdf

学习必备欢迎下载班级学科数学讲课人时间课题第 6 讲 正弦定理、余弦定理及解三角形课型学习目标1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题学习重点正弦定理、余弦定理的应用学习难点运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题课前检测已知 f(x) sinx3( 0) ，f 6f 3，且 f(x)在区间6，3上有最小值，无最大值，则 _学习过程知 识 梳 理1正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin C2R a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R12(abc) r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r. 3实际问题中的常用角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1)(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如 B 点的方位角为 (如图 2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值诊 断 自 测1判断正误 (在括号内打“”或“”)精彩 PPT展示(1)在ABC 中，AB 必有 sin Asin B() (2)在ABC 中，a3，b2，B45，则 A60或 120.() (3)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ，的关系为 180.() (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是 0，2.() 2(2014 江西卷 )在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a2b，则2sin2Bsin2Asin2A的值为 () A.19B.13C1 D.723 一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70， 在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65， 那么 B， C 两点间的距离是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习必备欢迎下载A10 2海里B10 3海里C20 3海里D20 2海里4(2014 福建卷)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_5(人教 A 必修 5P10B2改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_考点一正、余弦定理的简单运用【例 1】 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 a2 3，b6，A45，则 c_(2)若(abc)(abc)ac，则 B_规律方法(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制【训练 1】 (1)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c22a22b2ab，则 ABC 是() A钝角三角形B直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习必备欢迎下载C锐角三角形D等边三角形(2)(2014 绍兴模拟 )在ABC 中， A60， b1， SABC3， 则abcsin Asin Bsin C_考点二正、余弦定理的综合运用【例 2】 (2014山东卷 )在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知a3，cos A63，BA2. (1)求 b 的值；(2)求ABC 的面积规律方法有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、 余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等考点三正、余弦定理在实际问题中的应用【例 3】 如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为(31)海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75方向， 距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以10 3海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10 海里/时的速度从B 处向北偏东精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：62.449)规律方法解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程 (组)，解方程 (组)得出所要求的解【训练 3】 (2014新课标全国 卷)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角 MAN60，C 点的仰角 CAB45以及 MAC75；从 C 点测得 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m. 微型专题解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问题解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等【例 4】 已知 ABC顶点的坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(5，0)，则 sin A 的值为_点拨先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可解析因为AB(3，4)，AC(2，4)，所以AB AC61610，|AB|（3）2（ 4）25，|AC|22（ 4）22 5.所以 cosAB，ACAB AC|AB| |AC|1010 555.即 cos A55，因为 0A，所以 sin A2 55.答案2 55微型专题解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问题解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等【例 4】 已知ABC 顶点的坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(5，0)，则 sin A的值为 _点拨先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可解析因为AB(3，4)，AC(2，4)，所以ABAC61610，|AB|（3）2（ 4）25，|AC|22（ 4）22 5. 所以 cosAB，ACAB AC|AB| |AC|1010 555. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习必备欢迎下载即 cos A55，因为 0A，所以 sin A2 55. 答案2 55点评本题的求解如果不采用向量法，难度就加大了，需要先作出图形，求得角A 一邻边上的高，不仅计算量加大，题目也变得复杂而采用向量法就很轻易地实现几何问题代数化，计算量大大降低，很容易求得结果. 正弦定理、余弦定理及解三角形详解最新考纲1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知 识 梳 理1正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin C2R a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R12(abc) r(r 是三角形内切圆的半径 )，并可由此计算 R，r. 3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1)(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B 点的方位角为 (如图 2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习必备欢迎下载(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西 45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值诊 断 自 测1判断正误 (在括号内打“”或“”)精彩 PPT展示(1)在ABC中，AB 必有 sin Asin B() (2)在ABC中，a3，b2，B45，则 A60或 120.() (3)从 A 处望 B 处的仰角为 ， 从 B 处望 A 处的俯角为 ， 则 ， 的关系为 180.() (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是 0，2.() 2 (2014 江西卷 )在ABC中， 内角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c.若 3a2b， 则2sin2Bsin2Asin2A的值为 () A.19B.13C1 D.72解析由正弦定理知，2sin2Bsin2Asin2A2b2a2a22ba21，又知 3a2b，所以ba32，2sin2Bsin2Asin2A2322172，故选 D.答案D 3一艘海轮从 A 处出发，以每小时40 海里的速度沿南偏东40的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么 B，C 两点间的距离是 () A10 2海里B10 3海里C20 3海里D20 2海里解析如图所示，易知，在 ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得BCsin 30ABsin 45， 解得 BC10 2(海里)答案A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载4 (2014 福建卷 )在ABC 中， A60， AC4， BC2 3， 则ABC 的面积等于 _解析由余弦定理，得BC2AB2AC22AB AC cos A，所以 12AB2162AB4cos 60 ，解得AB2，所以 SABC12 AB AC sin A1224sin 60 2 3. 答案2 3 5(人教 A 必修 5P10B2 改编 )在 ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习必备欢迎下载考点一正、余弦定理的简单运用【例 1】 在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 a23，b6，A45，则 c_(2)若(abc)(abc)ac，则 B_深度思考已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！解析(1)法一在ABC 中，由正弦定理得 sin Bbsin Aa6222 312，因为 ba，所以BA， 所以 B30，C180 AB105，sin Csin 105 sin(45 60 )sin 45 cos 60cos 45 sin 60624.故 casin Csin A2 36242233.法二在ABC 中，根据余弦定理可得a2b2c22bccos A，即 c22 3c60，所以c3 3.因为 c0，所以 c33.(2)因为(abc)(abc)ac，所以 a2c2b2ac.由余弦定理的推论得cos Ba2c2b22ac12，所以 B23.答案(1)33(2)23规律方法(1)在解有关三角形的题目时， 要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习必备欢迎下载弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制【训练 1】 (1)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2c22a22b2ab，则ABC 是() A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)(2014 绍兴模拟 )在 ABC 中， A60， b1，SABC3，则abcsin Asin Bsin C_解析(1)由 2c22a22b2ab，得 a2b2c212ab，所以 cos Ca2b2c22ab12ab2ab140，所以 90 C180，即 ABC 为钝角三角形(2)S ABC12bcsin Ac2323，c4， a2b2c22bccos A12422411213， a13，asin Absin Bcsin C2R(R是ABC 的外接圆的半径 )abcsin Asin Bsin C2Rasin A13sin 602 393.答案(1)A(2)2 393考点二正、余弦定理的综合运用【例 2】 (2014山东卷 )在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 a3，cos A63，BA2. (1)求 b 的值；(2)求ABC的面积解(1)在ABC 中，由题意知， sin A1cos2A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载33，因为 BA2，所以 sin Bsin A2cos A63. 由正弦定理，得basin Bsin A363333 2. (2)由 BA2，得 cos Bcos A2sin A33. 由 ABC，得 C(AB)所以 sin Csin(AB)sin(AB) sin Acos Bcos Asin B33 33636313. 因此 ABC 的面积 S12absin C1233 2133 22. 规律方法有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、 余弦定理实现边角转化； (2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等【训练 2】 (2014 重庆卷 )在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 abc8. (1)若 a2，b52，求 cos C 的值；(2)若 sin Acos2B2sin Bcos2A22sin C，且 ABC 的面积 S92sin C，求 a 和 b 的值解(1)由题意可知 c8(ab)72. 由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab22522722225215. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习必备欢迎下载(2)由 sin Acos2B2sin Bcos2A22sin C 可得：sin A1cos B2sin B1cos A22sin C，化简得 sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C. 因为 sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以 sin Asin B3sin C. 由正弦定理可知ab3c. 又因为 abc8，故 ab6. 由于 S12absin C92sin C，所以 ab9，从而 a26a90，解得 a3，b3. 考点三正、余弦定理在实际问题中的应用【例 3】 如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为( 31)海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以10 3海里/时的速度追截走私船 此时走私船正以10海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜， 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：62.449)解设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时， 才能最快截获 (在 D 点)走私船， 则有 CD10 3t(海里)，BD10t(海里)在ABC 中，AB( 31)海里，AC2 海里， BAC4575120，根据余弦定理，可得BC（31）22222（31）cos 1206(海里)根据正弦定理，可得sinABCACsin 120BC232622. ABC45，易知 CB 方向与正北方向垂直，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载从而 CBD9030120. 在BCD 中，根据正弦定理，可得sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12，BCD30， BDC30，BDBC6(海里)，则有 10t6，t6100.245小时 14.7 分钟故缉私船沿北偏东60方向，需 14.7 分钟才能追上走私船规律方法解三角形应用题的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后， 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形， 先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形， 有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程(组)，解方程 (组)得出所要求的解【训练 3】 (2014 新课标全国 卷)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角 MAN60，C 点的仰角 CAB45以及 MAC75；从 C 点测得 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m. 解析在 Rt ABC 中， CAB45， BC100 m，所以 AC100 2(m)在AMC 中， MAC75， MCA60，从而AMC45，由正弦定理，得ACsin 45AMsin 60，因此 AM100 3(m)在 Rt MNA中， AM100 3 m， MAN60，由MNAMsin 60，得 MN100 332150(m)答案150 微型专题解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载题解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等【例 4】已知 ABC 顶点的坐标分别为A(3， 4)， B(0， 0)， C(5， 0)， 则 sin A 的值为 _点拨先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可解析因为AB(3，4)，AC(2，4)，所以AB AC61610，|AB|（3）2（ 4）25，|AC|22（ 4）22 5.所以 cosAB，ACAB AC|AB| |AC|1010 555.即 cos A55，因为 0A，所以 sin A2 55.答案2 55点评本题的求解如果不采用向量法，难度就加大了，需要先作出图形，求得角A 一邻边上的高，不仅计算量加大，题目也变得复杂而采用向量法就很轻易地实现几何问题代数化，计算量大大降低，很容易求得结果. 思想方法 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系 一般地，利用公式 a2Rsin A， b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC 外接圆半径 )， 可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理AB C.利用公式cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载易错防范 1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论 (此类类型也可利用余弦定理求解)2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制3解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页