2022年正定矩阵的性质和判定方法及应用 .pdf

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10 级学号102093113 指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用关键词：二次型正定矩阵判定方法应用Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页目录引言 . . 错误! 未定义书签。一、正定矩阵的定义 . . 错误! 未定义书签。二、正定矩阵的性质 . . 错误! 未定义书签。三、正定矩阵的有关定理. . 错误! 未定义书签。四、正定矩阵的判定方法. . 错误! 未定义书签。一定义法 . . 错误! 未定义书签。二主子式法 . . 错误! 未定义书签。三特征值法 . . 错误! 未定义书签。四与单位矩阵 E 合同法 . . 错误! 未定义书签。五、正定矩阵的应用 . . 错误! 未定义书签。一正定矩阵在不等式中的应用. . 错误! 未定义书签。二正定矩阵在多元函数极值问题中的应用. . 错误! 未定义书签。总结 . . 错误! 未定义书签。参考文献 . . 错误! 未定义书签。后记 . . 错误! 未定义书签。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页1 正定矩阵的性质及应用引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字1,nXX 的正定二次型与 n阶正定矩阵是一一对应的， 本文首先运用二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题一、正定矩阵的定义定义 13设,1,2, ;ijai jn ij 均为实常数， 则关于 n个实变量12,nx xx 的二次齐次多项式函数22212111222,nnnnfx xxa xa xa x121213131,1222nnnna x xa x xaxx ，1称为 n元实二次型定义 23 只含有平方项的二次型称为标准形，即222121122,nnnfy yyd yd yd y 2定义 33假设二次型的标准形中的系数1,2,idin 仅为1, 1,0，则此标准形称为二次型的标准形定义 41 实二次型12,nfx xx称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,nc cc ，都有12,0nfc cc； 如果都有12,0nf c cc，那么12,nfx xx称为负定的； 如果都有12,0nfc cc，那么12,nfx xx称为半正定的； 如果都有12,0nf c cc，那么12,nfx xx称为半负定的； 如果二次型既不是半正定又不是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页2 半负定，那么12,nfx xx就称为不定的定义51假设实数域上的n元二次型1211(,)()nnnijijijjiijf x xxaXaaTXAX是正定二次型负定二次型 ，则称A为正定矩阵负定矩阵；假设二次型是半正定二次型半负定二次型，则称A为半正定矩阵半负定矩阵其中111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，12nxxXx定义 61子式1112121222121,2,iiiiiiiaaaaaaPinaaa3称为矩阵ijnnAa的i阶顺序主子式下面是正定矩阵的一些等价条件定理 18设A是 n阶实对称矩阵，则以下命题等价：(1)A是正定矩阵(2)A的正惯性指数等于 n(3)A的特征值全大于零(4)A合同于 n阶单位矩阵nE (5)A合同于 主对角元大于零的对角矩阵(6) 存在可逆矩阵 P ，使得TAP P，其中TP表示 P 的转置注：二次型的正定 负定 ，半正定半负定统称为二次型及其矩阵的有定性不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的判定二、正定矩阵的性质性质 11正定矩阵的行列式大于零证明设A是正定矩阵因为A与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C使AC ECC C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页3 两边取行列式，有20AC CC推论 11假设A是正定矩阵，则A的顺序主子式全大于零证明设二次型1211,nnnijijijfx xxa xx 是正定的对于每个,1kkn，令1211,kkknijijijfx xxa x x 下面证明kf 是一个k元的正定二次型 对于任意一组不全为零的实数1,kcc ，有1111,0,00kkkkijijkijfcca ccf cc因此1,kkfxx是正定的由性质可知，kf 的矩阵的行列式11110,1,kkkkaaknaa这就证明了矩阵A的顺序主子式全大于零性质 2 6假设A是正定矩阵，则A的主对角元全大于零证明设()ijAa，对于任意的0X，恒有11nnTijijijX AXa x x ，其中ijjiaa ，,1,2,ijn令(0,0,1,00)iTX，将其代入11()nnTijijijjiijX AXa x x aa，得TiiX AXa ，所以0iia，1,2,in，从而结论得证性质36正定矩阵()ijAa中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到证明设()ijAa是正定矩阵，则它的一切主子式都大于零 如果()ijaij 是A的中绝对值最大的一个元素，那么，取A的二阶主子式0iiijiijjijjijijjaaa aa aaa，由此可得2iijjijjiija aa aa，因此，,iijjaa 的绝对值不可能都小于ija，所以，ijiiaa或ijjjaa，故A中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到性质 48假设A是正定矩阵，则kA，AkE是正定矩阵，其中0k证明由A是正定矩阵，可知A的特征值120,0,0n，则kA的特征值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页4 0(1,2,)ikin ，因此kA是正定矩阵同理可得AkE的特征值120,0,0nkkk，因此AkE也是正定矩阵性质 57假设A是正定矩阵，则1A，*A是正定矩阵，其中1A表示A的逆矩阵，*A表示A的伴随矩阵证明首先证1A是正定矩阵因为A是正定矩阵，所以A可逆且TAA，则有111TTAAA，即1A为实对称矩阵设A的特征值为12,n， 因为A是正定矩阵正定，所以0(1,2,)iin 故1A的特征值111120,0,0n，因此1A也是正定矩阵再证*A是正定矩阵由*1AA A ，1111TTTA AAAAAA A可得*TAA，即*A是实对称矩阵因为*A的特征值120,0,0nAAA，所以*A是正定矩阵性质 61假设A是正定矩阵，则对于任意整数k，kA都是正定矩阵证明当0k时，kAE显然是正定矩阵当0k时，由于 kk ，而1kkAA，有性质可知，1A也是正定矩阵，故下面只需假定k为正整数即可 当k为偶数时，由于TAA，且22TkkkAAA，由正定矩阵的等价条件(6)可知kA是正定矩阵 当k为奇数时，由于A是正定矩阵，故存在实可逆矩阵C，使TAC C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页5 由此可得：111111222222TkkkkkkkTAAAAAC CACACA，从而仍由正定矩阵的等价条件 (6) 可知，kA是正定矩阵性质 74设A为 n阶正定矩阵，则1122nnAa aa ，其中iia1,2,in 为A的主对角元素 . 证明设1TnnAAa=， 其中1A 为A的1n阶顺序主子式，121,Tnnnnaaa那么1111111111000101nnTTTnnnnAAEEAaaAA=，两边取行列式得：111TnnAAaA，因为A是正定矩阵，所以1A ，11A都是正定矩阵，那么1100TAA，由上式可知1nnAAa同理121,1nnAAa，其中2A 为A的2n级顺序主子式阵，这样继续下去可得12-1, -11122nnnnnnnnAAaAaaa aa.性质 85任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵证 明设A, B 都 是 正 定 矩 阵 ， 又 设,0a b 由A, B 是 正 定 矩 阵 ， 可 得,TTAABB 则有TTTaAbBaAbBaAbB，所以aAbB是实对称矩阵因为对任意0()nXXR有()TTTXaAbB XaX AXbX BX ，由 性 质4可 知,aA bB是 正 定 矩 阵 ， 则 有0TaX AX，0TbXBX 所 以()0TXaAbB X因此aAbB是正定矩阵多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页6 1当2n时已证明命题成立；2假设1nk时命题成立，现证明1nk时命题也成立设12,1,kkA AAA是同阶正定矩阵，121,0kka aaa对任意0()nXXR有11111111()0TTTTkkkkkkkkXa Aa AaAXa X A Xa X A XaX AX，其中每一项均为正所以当1nk时，结论成立综合1 2可知，对于一切的自然数n，多个正定矩阵的正线性组合必为正定矩阵性质 98如果A是正定矩阵， m是任意实数，则存在正定矩阵B ，使得mAB证明由于A是正定矩阵，所以存在正交矩阵Q，使100TnQ AQ，其中1,0n，所以100TnAQQ令100mTmnBQQ ，则mAB，结论得证三、正定矩阵的有关定理定理 25假设A， B都是正定矩阵，则00AB是正定矩阵由定理 2的推广，可以得到如下推论：推论 2假设A，B ，C，D 都是正定矩阵，则12340(0,1,2,3,4)0il Al Blil Cl D是正定矩阵推论 3假设12,sA AA 都是正定矩阵，则12sAAA是正定矩阵定理 35正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页7 证明设 B为 n阶正定矩阵，A为 n阶实对称矩阵且与 B 合同由正定矩阵的等价条件可知，B 与单位矩阵nE 合同又因为A与 B 合同，那么A也与单位矩阵nE 合同，即A为正定矩阵定理 45假设A,B是实对称矩阵，A的特征值全大于 a，B 的特征值全大于b假设0ab，则AB是正定矩阵证明性质 5 已证得AB是实对称矩阵，且由已知条件可知AaE，BbE都是正定矩阵，由性质5 可得()()AaEBbE是正定矩阵设是AB的任一特征值，则()()()()EABabEAaEBbE，这说明()ab是()()AaEBbE的特征值由于()()AaEBbE是正定矩阵，故()0ab，所以()0ab，即AB的特征值全大于0，从而AB为正定矩阵推论 4设12,sA AA 都是实对称矩阵，iA 的特征值均大于(1,2, )ia is 假设10siia，则12sAAA 是正定矩阵定理 59假设A,B是正定矩阵，则AB是正定矩阵的充要条件是ABBA证明必要性：设AB是正定矩阵，则AB是实对称矩阵，从而TTTABABB ABA充分性：由ABBA知，TTTABB ABAAB，故AB是实对称矩阵由于 B 正定，存在可逆矩阵P 使得TBP P，从而11()TTTABAP PP PAP PPPAPP ，即AB与TPAP相似，因而AB与TPAP有相同的特征值因为A正定，故TPAP也正定，TPAP的特征值全大于零，故AB的特征值全大于零，所以AB是正定矩阵定理 67假设A是实对称矩阵，且A可逆，则2A是正定矩阵证明由已知可知，TAA，222TTAAA，则2A121TAA AE，故2A与E 合同，从而2A是正定矩阵正定 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页8 对定理 6推广，可以得到如下推论：推论 5假设A是实对称矩阵，且A可逆，则2()kAkZ是正定矩阵 . 注 ： 当A满 足 推 论 的 条 件 时 ，21()kAkZ不 一 定 是 正 定 矩 阵 例 如123A，则A是实对称矩阵， 且A可逆显然212121123kkkA不是正定矩阵定理 76设,ijijAaBb都是 n 阶正定矩阵，则ijCc也是正定矩阵，其中ijijijca b 证明,A B是实对称矩阵， 显然C也是实对称矩阵 任取1(,)0TnXxx，则由矩阵,A B是正定矩阵，可知：11110,0nnnnTTjkjkjkjkjkjkX AXa x xX BXb x x，且存在 n阶可逆矩阵ijQq，使得TBQ Q ，即1( ,1, )njkljlklbq qj kn，所以11111111nnnnnnnnjkjkjkjkljlkjkjkjljklkjkjklljka b x xaq qx xax qx q，对任意1(,)0TnXxx，因为Q可逆，所以总存在一个l，使得11(,)0nTlnlx qx q，(不妨设10 x，则由Q可逆知Q的第一列中总有一个元素不为零，设为1lq ，于是110lxq)又由A是正定矩阵有：110nnjkjljklkjkax qx q对以上的l成立所以110nnjkjkjkjka b x x，即ijijCa b为正定矩阵定理 86设A是正定矩阵， B 为 mn实矩阵，其中TB为 B 的转置矩阵，则TB AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页9 为正定矩阵的充要条件是B 的秩 r Bn证 明必 要 性设TB AB为 正定 矩 阵 ， 则 对任 意 的 n 维 非 零 列 向 量 X ， 有X 0TTTXB ABBXA BX=，于是0BX，因此 n 元齐次线性方程组0BX只有零解，故系数矩阵 B 的秩 r Bn充分性因为TTTTTB ABB A BB AB=，故TB AB为实对称矩阵 . 假设 r Bn，则齐次线性方程组0BX只有零解，从而对任意实n维非零列向量X ，有0BX又因为A正定，所以对于0BX有 0TBXA BX，于是当0X时，有 0TTTXB AB XBXA BX=，故TB AB为正定矩阵 . 四、正定矩阵的判定方法( 一)定义法n 阶 实 对 称矩 阵A称 为正定 矩 阵， 如 果 对于 任意 n 维 实 非零 向量 X ， 都有0TXAX则实对称矩阵A简称为正定矩阵，记作：0A用定义证明矩阵A是正定矩阵需证明两点：(1)A为实对称矩阵(2) 对任意的非零向量X ，0TXAX运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则可以确定该矩阵属于正定矩阵例 1设A是 nm实矩阵，且A是列满秩，即 r Am ，证明TA A是正定矩阵证明首先，因为TTTTTTA AAAA A，所以，TA A是实对称矩阵其次，由 r Am可知，齐次线性方程组0AX只有零解因此，对任意m 维列向量0X，必有0AX，不妨设12,TnAXa aa，则12,na aa 是一组不全为零的实数从而，对任意m 维列向量0X，二次型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页10 210nTTTiiXA A XAXAXa，即二次型TTXA A X正定，所以矩阵TA A是正定矩阵例 2设A是 mn矩阵，TBEA A，证明当0时， B是正定矩阵证明因为TTTTBEA AEA AB，故 B 是n 阶实对称矩阵， 对于任意的n维实向量0 x，有22TTTTTTx Bxx xx A Axx xAxAxxAx由于0 x，0，则恒有20 x，而20Ax，因此00Tx Bxx，由定义可得B 是正定矩阵( 二)主子式法假设矩阵A的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵A为正定矩阵运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得然后根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵，但是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵例 3 设二次型2221231231213,65744fx xxxxxx xx x ，判定该二次型的矩阵是否属于正定矩阵 . 解 二次型的矩阵为622250207A，其各阶顺序主子式分别为123626,26,16225DDDA全大于零，所以矩阵A是正定矩阵例 4 t 取何值时，二次型222112132233222410fxx xx xxtx xx的矩阵是正定矩阵解二次型f对应的矩阵为1111221210Att，要使矩阵A正定，必须使A的各阶顺序主子式全大于零，即满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页11 121110,10,12DD22231110121944104484(2)00219DAtttttttt，得到21t，所以，当( 2,1)t时，二次型f的矩阵是正定矩阵( 三)特征值法假设矩阵A的特征值全为正数，则矩阵A为正定矩阵运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，假设所有特征值都为正数则可以判定该矩阵属于正定矩阵如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算出特征值的具体值直接判定此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或根据已知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵例 5已知,A AE是 n阶实对称正定矩阵，证明1EA是正定矩阵证明由111TTTEAEAEA可知，1EA是对称矩阵设12,n是A的特征值，则AE的特征值1210,1 ,10n，即1i，那么11i，从而110i综上可得：1EA的特征值全为正数，即1EA是正定矩阵例 6判定 n 元二次型12111nniiiiifxx x的矩阵是否属于正定矩阵解二次型f的矩阵为111221112211122n nA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页12 则21111211111,1,1221121AE，记111, 1,11B由2BnB可得，B的特征值是 n与01n重 于是A的特征值是111 ,22n(1n重) A的特征值全为正数，故A属于正定矩阵例 7设A是 n阶实对称矩阵，且满足43234640AAAAE，证明A是正定矩阵证明设是矩阵A的特征值，是矩阵A的属于特征值的特征向量，则有432432346434640AAAAE，因为0，所以43234640，即22120，由于A是实对称矩阵，故由上式可知矩阵A的特征值为或，即矩阵A的特征值全为正数，从而可得A是正定矩阵( 四)与单位矩阵 E合同法正定二次型12,nfx xx的标准形为22212nyyy ，而标准形的矩阵为单位矩阵 E ，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵E 合同此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对应的二次型是否大于零，也不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单位矩阵合同即可此法适用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵例 8 已知A是 n 阶可逆矩阵，证明TA A是正定矩阵证明由于TTTA AA A，则TA A是对称矩阵因为TTA AA EA，且A是可逆矩阵，所以TA A与 E 是合同矩阵，从而TA A是正定矩阵例 9 用此法证明分块矩阵00AQB是正定矩阵，其中,A B分别为,m n阶正定矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页13 证明由于矩阵,A B为正定矩阵，故存在可逆矩阵m mC和n nD，使得,TTmnC ACED BDE ，令00CPD，则00TTTCPD，且 P 为 mn 阶可逆矩阵0000000000TTmTTTnEACCC ACP QPEBDDD BD，所以，矩阵Q与单位矩阵 E 合同，故分块矩阵00AQB是正定矩阵五、正定矩阵的应用( 一)正定矩阵在不等式中的应用实对称矩阵A是正定矩阵是由于其对应的实二次型TXAX其中12,nXx xx正定，而二次型正定是指对于任意0X 恒有000TX AX因此可以利用此性质来证明不等式是否成立例 10 证明不等式22212312134222xxxx xx x 其中123,x xx 是不全为零的实数成立证明令2221231231213,4222fx xxxxxx xx x ，其系数矩阵为1-11-140102A，A的各阶顺序主子式为11221-1=10,=30,20-14AAA，则A为正定矩阵 因此对于任意一组不全为零的123,x xx都有123,0fx xx，故原不等式成立例 11 证明不等式2211nniiiinXX（）成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页14 证明令2211nnTiiiifnXXXAX（），则二次型为1212111111,111nXnXfXXXnXn，则111111111nnAA的各阶顺序主子式211221110,20,011nAnAnnAn，所以A是半正定的，那么二次型是半正定的，即0f故原不等式成立( 二)正定矩阵在多元函数极值问题中的应用在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解决. 定义 72设 n元实函数12()(,)nf Xf x xx在12(,)TnnXx xxR 的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数记12()()()(),nf XfXf Xf Xxxx, 称()f X为函数()f X在点12(,)TnXx xx处的梯度定义 82222211212222212()()()()()()()()nijn nnnnf XfXfXxxxxxfXH Xx xf XfXfXxxxxx， 此矩阵称为函数12()(,)nf Xf x xx在点nXR处的(Hessian) 黑塞矩阵则()H X是由()f X的2n个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵定理 92(极值必要条件 ) 设函数()f X在点000012(,)TnXxxx处可微，且0X 为该函数的极值点，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页15 1)0X 必为()f X的稳定点，即0()0f X. 2) 假设()f X在0X 的某领域0UX存在连续二阶偏导数， 则当0fX为极小值时，()f X在0X 的黑塞矩阵为正定或正半定； 则当0fX为极大值时，()fX在0X 的黑塞矩阵为负定或负半定定理 102( 极值充分条件 ) 设函数()f X在点0nXR 的某个邻域内存在一阶、 二阶连续偏导数时，且000012()()()(),0nf Xf Xf Xf Xxxx则：(1) 当0()H X是正定矩阵时，()f X在0X 处取得极小值；(2) 当0()H X是负定矩阵时，()f X在0X 处取得极大值；(3) 当0()H X是不定矩阵时，()f X在0X 处不取极值例 12 求多元函数222( , , )22244f x y zxyzxyz 的极值 . 解先求驻点，由220440440 xyzfxfyfz， 解得1,1,1xyz可得驻点为0( 1, 1,1)P再求 (Hessian) 黑塞矩阵，因为2,0,0,4,0,4xxxyxzyyyzzzffffff，所以200040004H，由正定矩阵的等价命题5可知 H 是正定的，所以0( 1, 1,1)P是( , )f x y z的极小点，且( , , )f x y z在0( 1, 1,1)P点的极小值为( 1, 1,1)5f例 13求多元函数22211223231342466fxxx xxxx xx x 的黑塞矩阵，并根据结果判断该函数的极值点解先求驻点，由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页16 123123123321246044608660 xxxfxxxfxxxfxxx，解得1230,0,0 xxx可得驻点为00,0,0P由 上 述 方 程 组 可 求 得 (Hessian)黑 塞 矩 阵 为246446668H， 由 于11222420,8044HH，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故0P 不是极值点总结本文深刻研究了正定矩阵的各类性质以及相关定理，并从这些性质和定理出发探讨了多种判定正定矩阵的方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法判定一个矩阵是否属于正定矩阵，根据已知条件及各种方法的适用范围选定上述一种方法最后本文又利用正定矩阵的性质以及判定方法把正定矩阵应用于不等式、多元函数极值的相关问题中，继而减少各类问题的计算量，提高准确率参考文献 ：1 王萼芳，石生明高等代数第三版北京：高等教育出版社2 华东师范大学数学系数学分析第四版高等教育出版社3 何亚丽 线性代数科学出版社4 陈大新 矩阵理论上海：上海交通大学出版社5 刘畅正定矩阵性质的推广J 沈阳师范大学学报， 2009,27(3),268271 6 岳贵鑫 正定矩阵及其应用J 辽宁省交通高等专科学院学报， 2008,10(5),3133 7 黄云美正定矩阵的性质及其应用J 烟台职业学院学报， 2011,17(3):8588 8 张丹，刘庆平正定矩阵的性质及相关问题J 中南大学学报， 2011,314 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页17 9 倪凌炜实正定矩阵的假设干判定方法J 湖州师范学院学报， 2010,262 后记写完这篇论文之时， 我深深地叹了口气， 虽然写作过程艰苦， 但是最终还是喜悦地，顺利地完成了毕业论文在这个过程中我对正定矩阵有了更深入的了解，尤其是对于正定矩阵的应用我更认识到毕业论文的结束并不意味着学习的终止，而是人生的又一起点首先诚挚的感谢我的导师高菲菲老师，她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文无论从选题、文章的整体结构还是语言标准上高老师都给了我悉心指导从高老师的指导中我深深感受到了高老师的渊博的专业知识、严谨的治学态度以及诲人不倦的师德还有教过我的所有老师们，你们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪同时也要感谢我的同学，在大学四年里，无论从生活上还是学习上给了我很大的帮助和鼓励，让我不断进步最后感谢我的父母，让我在他们的关心中逐渐的成长，给了我无限的包容，我要以勤奋的工作和优秀的成绩回报他们精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页