2022年正方形的判定和性质教案 .pdf

学习必备欢迎下载特殊平行四边形之正方形适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60 分钟知识点平行四边形和正方形的性质、判定。教学目标1、认识图形的旋转及性质，会根据要求画旋转图形。2、认识中心对称图形及其性质，会设计一些中心对称图案。3、理解并掌握中心对称图形（平行四边形）的性质、判定及其应用。教学重点理解并掌握中心对称图形（平行四边形及正方形）的性质、判定及其应用。教学难点理解并掌握中心对称图形（平行四边形及正方形）的性质、判定及其应用。教学过程一、复习预习1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形二、知识讲解1、图形旋转的性质：旋转前后的图形，对应点到，每一对对应点与。2、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相，那么这个图形叫做中心对称图形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页学习必备欢迎下载3、平行四边形的性质：（1）平行四边形的；（ 2）平行四边形的； （3）平行四边形的。、平行四边形的判定：（1）两组对边分别的四边形是平行四边形；（ 2）两组对边分别的四边形是平行四边形。（ 3）一组对边的四边形是平行四边形；（ 4）两条的四边形是平行四边形；4、正方形的性质：一般性质_; 特殊性质 _。、正方形的判定： 从四边形角度 _; 从平行四边形角度_；从矩形角度 _; 从菱形角度 _. 考点 / 易错点 1 正方形的特殊性质和判定的理解和记忆。考点 / 易错点 2 正方形和平行四边形性质判定的综合题型，注意区分。三、例题精析【例题 1】【题干】 如图，在正方形ABCD 中，点 P是 AB上一动点（不与A，B重合），对角线 AC ，BD相交于点O ，过点 P分别作 AC ，BD的垂线， 分别交 AC ，BD于点 E，F，交 AD ，BC于点 M ，N下列结论： APE AME ； PM+PN=AC；PE2+PF2=PO2； POF BNF ；当 PMN AMP时，点P是 AB的中点其中正确的结论有（）A 5 个B 4 个C 3 个D 2 个【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页学习必备欢迎下载解答：解 ：四边形ABCD 是正方形， BAC= DAC=45 在 APE和 AME 中， APE AME ，故正确； PE=EM=PM ，同理， FP=FN= NP 正方形ABCD中 ACBD ，又 PE AC ，PF BD ， PEO= EOF= PFO=90 ，且 APE中 AE=PE 四边形PEOF是矩形 PF=OE ， PE+PF=OA ，又 PE=EM=PM ，FP=FN= NP ，OA= AC， PM+PN=AC，故正确；四边形PEOF是矩形， PE=OF ，在直角 OPF中， OF2+PF2=PO2， PE2+PF2=PO2，故正确 BNF是等腰直角三角形，而POF不一定是，故错误； AMP 是等腰直角三角形，当PMN AMP 时， PMN 是等腰直角三角形 PM=PN ，又 AMP和 BPN都是等腰直角三角形， AP=BP ，即 P时 AB的中点故正确故选 B【解析】考点：相 似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：依 据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM 和 BPN以及 APE 、 BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断点评：本 题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识APM和 BPN以及 APE 、 BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键【例题 2】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页学习必备欢迎下载O 4 8 8 16 t(s) S(2cm（A）O 4 8 8 16 t(s) S(2cm（B）O 4 8 8 16 t(s) S(2cm（C）O 4 8 8 16 t(s) S(2cm（D）【题干】 如图，正方形ABCD中， AB=8cm,对角线 AC,BD相交于点O,点 E,F 分别从 B,C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿 BC,CD运动，到点 C,D 时停止运动，设运动时间为t(s), OE为 s(2cm) ，则 s(2cm) 与 t(s)的 面 积的函数关系可用图像表示为【答案】 B【解析】 解析：经过t 秒后， BE CFt， CE DF 8t ，1422BECStt，211(8)422ECFStttt，1(8)41622ODFStt，所以，2211322(4)(162 )41622OEFStttttt，是以（ 4,8 ）为顶点，开口向上的抛物线，故选B。【例题 3】【题干】 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点， 且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AEBF； （3）AO=OE； （4）AOBDEOFSS四边形中正确的有 （）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页学习必备欢迎下载【答案】：B. 【解析】解析：在正方形ABCD中，因为CE=DF ，所以AF=DE ，又因为AB=AD ，所以ABFDAE， 所 以AE=BF ，AFBDEA，DAEABF，因 为90DAEDEA，所以90DAEABF，即90AOF，所以AE BF，因为AOBAOFAOFSSSS四边形 DEOF，所以AOBS S四边形 DEOF，故（ 1） ， （2） ， （ 4）正确 . 【例题 4】【题干】如图， 菱形 ABCD 中， B=60， AB=4， 则以 AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A14 B15 C 16 D17 【答案】：解答：解：四边形ABCD 是菱形，AB=BC ， B=60， ABC是等边三角形，AC=AB=4 ，正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=44=16，故选 C【解析】 考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质分析：根据菱形得出AB=BC ，得出等边三角形ABC ，求出 AC ，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可点评：本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页学习必备欢迎下载【例题 5】【题干】 如图，点E在正方形ABCD 内，满足 AEB=90 ， AE=6 ，BE=8 ，则阴影部分的面积是（）A 48 B 60 C 76 D 80 【答案】：解答：解 ： AEB=90 ， AE=6 ，BE=8，在 RtABE中， AB2=AE2+BE2=100， S阴影部分=S正方形 ABCD SABE=AB2AE BE =1006 8 =76故选 C【解析】考点：勾 股定理；正方形的性质分析：由 已知得 ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB ，用 S阴影部分=S正方形 ABCD SABE求面积点评：本 题考查了勾股定理的运用，正方形的性质关键是判断ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页学习必备欢迎下载【例题 6】【题干】 如图，正方形ABCD 中，点 E、F 分别在 BC 、CD上， AEF是等边三角形，连接AC交 EF于 G ，下列结论： BE=DF ， DAF=15 ，AC垂直平分EF，BE+DF=EF ，SCEF=2SABE其中正确结论有（）个A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】：解答：解 ：四边形ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD， B= BCD= D=BAD=90 AEF等边三角形， AE=EF=AF ， EAF=60 BAE+ DAF=30 在 RtABE和 RtADF中，Rt ABE RtADF （HL） ， BE=DF ，正确 BAE= DAF ， DAF+ DAF=30 ，即 DAF=15 正确， BC=CD ， BC BE=CD DF ，及 CE=CF ， AE=AF ， AC垂直平分EF 正确设 EC=x ，由勾股定理，得EF=x， CG=x， AG=x， AC=， AB=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页学习必备欢迎下载 BE=x=， BE+DF=xxx，错误， SCEF=，SABE=， 2SABE=SCEF，正确综上所述，正确的有4 个，故选C【解析】考点：正 方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：通 过条件可以得出ABE ADF而得出 BAE= DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出 EC=FC ，就可以得出AC垂直平分 EF，设 EC=x ，BE=y，由勾股定理就可以得出x与 y 的关系，表示出BE与 EF，利用三角形的面积公式分别表示出SCEF和 2SABE再通过比较大小就可以得出结论点评：本 题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键【例题 7】【题干】 如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则 S1+S2的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页学习必备欢迎下载A16 B17 C 18 D19 【答案】：解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD ，AC=2CD ，CD=2 ，EC2=22+22，即 EC=；S2的面积为EC2=8；S1的边长为3，S1的面积为33=9，S1+S2=8+9=17故选 B【解析】 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质专题：计算题分析：由图可得， S1的边长为3，由 AC=BC ，BC=CE=CD ，可得 AC=2CD ，CD=2 ，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力【例题 8】【题干】 如图，正方形 ABCD 是一块绿化带， 其中阴影部分EOFB ， GHMN 都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页学习必备欢迎下载AB12CD【答案】：解答：解 ：设正方形的ABCD 的边长为a，则 BF=BC= ， AN=NM=MC=a，阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，小鸟在花圃上的概率为=故选 C【解析】考点：相 似三角形的应用；正方形的性质；几何概率分析：求 得阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；点评：本 题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积【例题 9】【题干】 如图，四边形ABCD 、AEFG均为正方形，其中E在 BC上，且 B、E两点不重合，并连接 BG 根据图中标示的角判断下列1、 2、 3、 4 的大小关系何者正确？（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页学习必备欢迎下载A 1 2 B 1 2 C 3 4 D 3 4 【答案】：解答：解：四边形ABCD 、AEFG 均为正方形， BAD= EAG=90 ， BAD= 1+DAE=90 ，EAG= 2+DAE=90 ， 1=2，在 RtABE中， AEAB ，四边形AEFG是正方形，AE=AG ，AG AB ， 3 4故选 D【解析】 考点：正方形的性质分析：根据正方形的每一个角都是直角求出BAD= EAG=90 ，然后根据同角的余角相等可得 1=2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE AB，从而得到 AG AB ，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出3 4点评： 本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用【例题 10 】【题干】 附图为正三角形ABC与正方形DEFG 的重迭情形， 其中 D、E两点分别在AB 、BC上，且 BD=BE 若 AC=18 ，GF=6，则 F 点到 AC的距离为何？（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页学习必备欢迎下载A2 B3 C 124 D66 【答案】：解答：解：如图，过点B作 BH AC于 H，交 GF于 K， ABC是等边三角形， A=ABC=60 ，BD=BE ， BDE是等边三角形， BDE=60 ， A=BDE ，ACDE ，四边形DEFG 是正方形， GF=6 ，DEGF ，ACDE GF ，KH=18 66=93 6=66，F 点到 AC的距离为66故选 D【解析】 考点：正方形的性质；等边三角形的性质分析：过点B作 BH AC于 H，交 GF于 K ，根据等边三角形的性质求出A=ABC=60 ，然后判定 BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出BDE=60 ，然后根据同位角相等， 两直线平行求出ACDE ， 再根据正方形的对边平行得到DE GF ， 从而求出 AC DE GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页学习必备欢迎下载点评： 本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键四、课堂运用【基础】1. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：。答案本题答案不唯一，如(x1)2=25；分 析 解析：把缺口补回去，得到一个面积25 的正方形，边长为x1。2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2 的正方形，顶点A、C分别在 x，y轴的正半轴上点Q在对角线OB上，且 QO=OC ，连接 CQ并延长 CQ交边 AB于点 P则点 P的坐标为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页学习必备欢迎下载答案解答：解 ：四边形OABC 是边长为2 的正方形， OA=OC=2 ，OB=2， QO=OC， BQ=OB OQ=22，正方形OABC 的边 AB OC ， BPQ OCQ ，=，即=，解得 BP=22， AP=AB BP=2 （ 2 2）=42，点 P的坐标为（ 2，42） 故答案为：（2，42） 分 析考点：相 似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质3718684 分析：根 据正方形的对角线等于边长的倍求出 OB ，再求出BQ ，然后求出 BPQ和 OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP ，即可得到点P的坐标点评：本 题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键【巩固】1.如图，正方形ABCD的边长为3，点 E，F分别在边 AB，BC上， AE=BF=1 ，小球 P从点 E出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为6 ，小球 P所经过的路程为6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页学习必备欢迎下载答案解答：解 ：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中， 根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为G，在 DA上，且 DG=DA ，第三次碰撞点为H，在 DC上，且 DH=DC ，第四次碰撞点为M ，在 CB上，且 CM=BC ，第五次碰撞点为N，在 DA上，且 AN=AD ，第六次回到E点，AE=AB 由勾股定理可以得出EF=， FG=，GH=， HM=，MN=，NE=，故小球经过的路程为：+=6，故答案为： 6，6分 析考点：正 方形的性质；轴对称的性质分析：根 据已知中的点E， F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度点评：本 题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道学科综合试题，属于难题2. 如图，在正方形ABCD 中， E是 AB上一点， BE=2 ，AE=3BE ，P是 AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 答案解答：解：如图，连接DE ，交 AC于 P，连接 BP ，则此时 PB+PE的值最小四边形ABCD 是正方形，B、D关于 AC对称，PB=PD ，PB+PE=PD+PE=DEBE=2，AE=3BE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页学习必备欢迎下载AE=6，AB=8 ，DE=10，故 PB+PE的最小值是10故答案为： 10分 析考点：轴对称 - 最短路线问题；正方形的性质3718684 分析：由正方形性质的得出B、 D关于 AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE ，交AC于 P，连接 BP，则此时 PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可点评：本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出3.如图， 点 E是正方形 ABCD 内的一点， 连接 AE 、BE 、CE，将 ABE绕点 B顺时针旋转90到 CBE 的位置若AE=1，BE=2 ，CE=3 ，则 BE C= 度答案解答：解 ：连接 EE，将 ABE绕点 B顺时针旋转90到 CBE 的位置， AE=1 ，BE=2 ，CE=3， EBE =90， BE=BE =2，AE=E C=1， EE =2， BE E=45， EE2+E C2=8+1=9，EC2=9， EE2+E C2=EC2， EE C是直角三角形， EE C=90， BE C=135故答案为： 135精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页学习必备欢迎下载分 析考点：勾 股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质3718684 分析：首 先根据旋转的性质得出EBE =90， BE=BE =2，AE=E C=1 ，进而根据勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，进而得出答案点评：此 题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出EE C是直角三角形是解题关键4.如图，在正方形ABCD 中，边长为2 的等边三角形AEF的顶点 E 、F 分别在 BC和 CD上，下列结论：CE=CF ； AEB=75 ； BE+DF=EF ； S正方形 ABCD=2+其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）答案解答：解 ：四边形ABCD 是正方形， AB=AD ， AEF是等边三角形， AE=AF ，在 RtABE和 RtADF中， RtABE RtADF （HL ） ， BE=DF ， BC=DC ， BC BE=CD DF ， CE=CF ，说法正确； CE=CF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页学习必备欢迎下载 ECF是等腰直角三角形， CEF=45 ， AEF=60 ， AEB=75 ，说法正确；如图，连接AC ，交 EF于 G点， AC EF，且 AC平分 EF ， CAD DAF ， DFFG ， BE+DF EF，说法错误； EF=2 ， CE=CF=，设正方形的边长为a，在 RtADF中，a2+（a）2=4，解得 a=，则 a2=2+，S正方形 ABCD=2+，说法正确，故答案为分 析考点：正 方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：根 据三角形的全等的知识可以判断的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180判断的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断的正确，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误点评：本 题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦【拔高】如图，正方形ABCD 的边长为4，点 E在 BC上，四边形EFGB 也是正方形，以B为圆心， BA长为半径画，连结 AF， CF ，则图中阴影部分面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页学习必备欢迎下载答案解答：解 ：设正方形EFGB 的边长为a，则 CE=4a，AG=4+a ，阴影部分的面积=S扇形 ABC+S正方形 EFGB+SCEF SAGF=+a2+a（4a） a（4+a）=4+a2+2aa22aa2=4故答案为： 4分 析考点：正 方形的性质；整式的混合运算分析：设 正方形 EFGB的边长为a，表示出CE 、 AG ，然后根据阴影部分的面积=S扇形 ABC+S正方形EFGB+SCEFSAGF，列式计算即可得解点评：本 题考查了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键课程小结1、认识图形的旋转及性质，会根据要求画旋转图形。2、认识中心对称图形及其性质，会设计一些中心对称图案。3、理解并掌握中心对称图形（平行四边形）的性质、判定及其应用。课后作业【基础】1. 如图， 正方形 ABCD 的边长为 22， 过点 A作 AEAC,AE=1 ， 连接 BE ， 则 tanE=_. 答案：32解析：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页学习必备欢迎下载2.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是答案：15解析：第16题图HGFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页学习必备欢迎下载【巩固】1.对正方形ABCD进行分割， 如图 1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2 就是用其中6 块拼出的“飞机” 。若GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 14 。解析连接AC，四边形ABCD 是正方形，AC BD ，E 、 F分别 BC 、CD的中点， EF/BD，AC EF ，CF=CE ，EFC是等腰直角三角形， 直线 AC是 EFC底边上的高所在直线，根据等腰三角形“三线合一”，AC必过 EF的中点 G，点 A、O 、G和 C在同一条直线上， OC=OB=OD，OC OB ，FG是 DCO 的中位线， OG=CG= 12 OC, M 、N分别是 OB 、OD的中点， OM=BM= 12 OB，ON=DN= 12 OD，OG=OM=BM=ON=DN= 14 BD，等腰直角三角形GOM 的面积为 1，12 OM ?OG=12 OM2=1，OM= 2 ,BD=4 OM=42 ,2AD2= BD2=32,AD=4, 图 2 中飞机面积图1中多边形ABEFD 的面积，飞机面积=正方形 ABCD 面积 - 三角形 CEF面积 =16-2=14 。飞机图2七巧板图 1NMFEGODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页学习必备欢迎下载2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PM AD，PN CD，垂足分别为M、N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90 ，求证：四边形MPND是正方形。解析：证明： (1) BD平分ABC，ABD=CBD。又BA=BC，BD=BD，ABDCBD。ADB=CDB。 (4分) (2) PM AD，PN CD，PMD=PND=90 。又ADC=90，四边形MPND是矩形。ADB=CDB，PM AD，PN CD，PM=PN。四边形MPND是正方形。 (8分) 3. 如图正方形ABCD 的边长为4，E、F 分别为 DC 、 BC中点（1）求证： ADE ABF （2）求 AEF的面积考点：正 方形的性质；全等三角形的判定与性质3718684 分析：（1）由四边形ABCD 为正方形，得到AB=AD ， B= D=90 ， DC=CB ，由 E 、F 分别为DC 、BC中点，得出DE=BF ，进而证明出两三角形全等；（ 2）首先求出DE和 CE的长度，再根据SAEF=S正方形 ABCDS ADESABFSCEF得出结果解答：（1）证明：四边形ABCD 为正方形， AB=AD ， =90， DC=CB ， E、F为 DC 、BC中点， DE= DC ， BF= BC ， DE=BF ，在 ADE和 ABF中，A B C D N M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页学习必备欢迎下载， ADE ABF （ SAS ） ；（ 2）解：由题知ABF 、 ADE 、 CEF均为直角三角形，且 AB=AD=4 ，DE=BF= 4=2，CE=CF= 4=2， SAEF=S正方形 ABCDSADES ABFSCEF=44424222 =6点评：本 题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大4.四边形 ABCD 是正方形， E、F分别是 DC和 CB的延长线上的点，且 DE=BF ，连接 AE 、AF、EF （1）求证： ADE ABF ；（2）填空： ABF可以由 ADE绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90 度得到；（3）若 BC=8 ，DE=6 ，求 AEF的面积考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题：证明题分析：（1）根据正方形的性质得AD=AB ， D=ABC=90 ，然后利用“SAS ”易证得 ADE ABF ；（2）由于 ADE ABF得 BAF= DAE ，则 BAF+ EBF=90 ，即 FAE=90，根据旋转的定义可得到ABF可以由 ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90 度得到；（3）先利用勾股定理可计算出AE=10 ，在根据 ABF可以由 ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90 度得到 AE=AF ， EAF=90 ，然后根据直角三角形的面积公式计算即可解答：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD=AB ， D= ABC=90 ，而 F 是 DCB的延长线上的点， ABF=90 ，在 ADE和 ABF中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页学习必备欢迎下载， ADE ABF （SAS ） ；（2）解： ADE ABF ， BAF= DAE ，而 DAE+ EBF=90 ， BAF+ EBF=90 ，即 FAE=90 ， ABF可以由 ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90 度得到；故答案为A、90；（3）解： BC=8 ，AD=8 ，在 RtADE中， DE=6，AD=8 ，AE=10， ABF可以由 ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90 度得到，AE=AF ， EAF=90 ， AEF的面积 =AE2=100=50（平方单位） 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理【拔高】1.如图，在正方形ABCD 中，点 M是对角线BD上的一点，过点M作 ME CD交 BC于点 E，作 MF BC交 CD于点 F求证： AM=EF 考点：正 方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质专题：证 明题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页学习必备欢迎下载分析：过 M点作 MQ AD ，垂足为Q ，作 MP垂足 AB ，垂足为 P，根据题干条件证明出AP=MF ，PM=ME ，进而证明 APM FME ，即可证明出AM=EF 解答：证 明：过 M点作 MQ AD ，垂足为Q ，作 MP垂足 AB ，垂足为P，四边形ABCD是正方形，四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形， AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，在 APM和 FME中， APM FME （ SAS ） ， AM=EF 点评：本 题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性质等知识，此题正确作出辅助线很易解答2.如图，在正方形ABCD 中， E是 AB上一点， F是 AD延长线上一点，且DF=BE （1）求证： CE=CF ；（2）若点 G在 AD上，且 GCE=45 ，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题；探究型分析： （1）由 DF=BE ，四边形ABCD 为正方形可证CEB CFD ，从而证出CE=CF （2）由（ 1）得， CE=CF ， BCE+ ECD= DCF+ ECD即 ECF= BCD=90 又 GCE=45 所以可得 GCE= GCF ，故可证得 ECG FCG ，即 EG=FG=GD+DF又因为 DF=BE ，所以可证出GE=BE+GD 成立解答： （1）证明：在正方形ABCD 中，BC=CD ， B=CDF ，BE=DF ， CBE CDF （ SAS ） CE=CF （3 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页学习必备欢迎下载（2）解： GE=BE+GD 成立（4 分）理由是：由（1）得： CBE CDF ， BCE= DCF ， （ 5分） BCE+ ECD= DCF+ ECD ，即 ECF= BCD=90 ， （6 分）又 GCE=45 ， GCF= GCE=45 CE=CF ， GCE= GCF ，GC=GC ， ECG FCG （ SAS ） GE=GF （7 分）GE=DF+GD=BE+GD （8 分）点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页