2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题28 解直角三角形(含解析).doc

解直角三角形一.选择题1. （2019广东省广州市3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是BAC，若tanBAC，则此斜坡的水平距离AC为（）A75mB50mC30mD12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决【解答】解：BCA90°，tanBAC，BC30m，tanBAC， 解得，AC75，故选：A【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答2. （2019广西北部湾经济区3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°0.6，cos35°0.8，tan35°0.7，sin65°0.9，cos65°0.4，tan65°2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，tan65°=，OF=xtan65°，BD=3+x，tan35°=，OF=（3+x）tan35°，2.1x=0.7（3+x），x=1.5，OF=1.5×2.1=3.15，OE=3.15+1.5=4.65，故选：C过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型二.填空题1. （2019江苏宿迁3分）如图，MAN60°，若ABC的顶点B在射线AM上，且AB2，点C在射线AN上运动，当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是BC【分析】当点C在射线AN上运动，ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值【解答】解：如图，过点B作BC1AN，垂足为C1，BC2AM，交AN于点C2在RtABC1中，AB2，A60°ABC130°AC1AB1，由勾股定理得：BC1，在RtABC2中，AB2，A60°AC2B30°AC24，由勾股定理得：BC22，当ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时BC2故答案为：BC2【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在ABC中，BC，C45°，ABAC，则AC的长为_.【答案】2【解析】过A作ADBC于D点，设AC=，则AB=，因为C=45°，所以AD=AC=，则由勾股定理得BD=，因为AB=，所以AB=,则x=.则AC=2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y2x1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_.【答案】【解析】因为一次函数y2x1的图像分别交x、y轴于点A、B，则A（，0），B（0,-1），则AB=.过A作ADBC于点D，因为ABC=45°，所以由勾股定理得AD=，设BC=x，则AC=OC-OA=，根据等面积可得：AC×OB=BC×AD，即=，解得x=.则AC=3，即C（3，0），所以直线BC的函数表达式是.4. （2019浙江湖州4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角BOD若AO85cm，BODO65cm问：当74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm（参考数据：sin37°0.6，cos37°0.8，sin53°0.8，cos53°0.6）【分析】过O作OEBD，过A作AFBD，可得OEAF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可【解答】解：过O作OEBD，过A作AFBD，可得OEAF，BODO，OE平分BOD，BOEBOD×74°37°，FABBOE37°，在RtABF中，AB85+65150cm，hAFABcosFAB150×0.8120cm，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键三.解答题1. （2019江苏宿迁10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，BCD64°，BC60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°0.90，cos64°0.44，tan64°2.05）【分析】（1）作EMCD于点M，由EMECsinBCM75sin46°可得答案；（2）作EHCD于点H，先根据EC求得EC的长度，再根据EECECE可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EMCD于点M，由题意知BCM64°、ECBC+BE60+1575cm，EMECsinBCM75sin64°67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+3299.5（cm）；（2）如图2所示，过点E作EHCD于点H，由题意知EH80×0.864，则EC71，1，EECECE7571.13.9（cm）【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答2. （2019江西8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，ABC=70°，BCOE。 填空：BAO=_°； 求投影探头的端点D到桌面OE的距离。（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求ABC的大小。（参考数据：sin70°0.94，cos20°0.94，sin36.8°0.60，cos53.2°0.60）【答案】（1）160°27cm （2）33.2°【考点】解直解三角形的应用。【解析】解：（1）如图，过点A作AF/BC，则BAO=BAF+OAF=ABC+AOE=70°+90°=160°如图，过点A作AGBC交BC于点G，AB=30，OA=6.8，ABC=70°AG=30sin70°=28.2OG=OA+AG=28.2+6.8=35OG-CD=27点D到桌面OE的距离是27cm.（2）延长CD交OE与M点，过B点作OE的平行线交DC的延长线与H点CDOE，OEBHCDBH，ABH=70°由题意得CM=14cm，由（1）得HM=35cm，所以CH=21cm在RtBCH中CBH=0.60CBH=36.8°ABC=ABH - CBH =70° - 36.8°=33.2°3. （2019河南9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度（精确到1m参考数据：sin34°0.56，cos34°0.83，tan34°0.67，1.73）【分析】由三角函数求出AC82.1m，得出BCACAB61.1m，在RtBCD中，由三角函数得出CDBC105.7m，即可得出答案【解答】解：ACE90°，CAE34°，CE55m，tanCAE，AC82.1m，AB21m，BCACAB61.1m，在RtBCD中，tan60°，CDBC1.73×61.1105.7m，DECDEC105.75551m，答：炎帝塑像DE的高度约为51m【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中4.（2019天津10分）如图，海面上一艘船由向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）.参考数据：，cos31°0.86，tan31°0.60.【解析】如图，根据题意，CAD=31°，CBD=45°，CDA=90°，AB=30.在RtACD，tanCAD=，AD=在RtBCD中，tanCBD=，BD=又AD=BD+AB30+CDCD=答：这座灯塔的高度CD约为45m.5. （2019广西贺州8分）如图，在A处的正东方向有一港口B某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B求A，B间的距离（1.73，1.4，结果保留一位小数）【分析】过点C作CDAB，垂足为点D，则ACD60°，BCD45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长【解答】解：过点C作CDAB，垂足为点D，则ACD60°，BCD45°，如图所示在RtBCD中，sinBCD，cosBCD，BDBCsinBCD20×3×42，CDBCcosBCD20×3×42；在RtACD中，tanACD，ADCDtanACD42×72.7ABAD+BD72.7+42114.7A，B间的距离约为114.7海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键6. （2019甘肃省庆阳市8分）图是放置在水平面上的台灯，图是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC40cm，灯罩CD30cm，灯臂与底座构成的CAB60°CD可以绕点C上下调节一定的角度使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳现测得点D到桌面的距离为49.6cm请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）【分析】如图，作CEAB于E，DHAB于H，CFDH于F解直角三角形求出DCF即可判断【解答】解：如图，作CEAB于E，DHAB于H，CFDH于FCEHCFHFHE90°，四边形CEHF是矩形，CEFH，在RtACE中，AC40cm，A60°，CEACsin60°34.6（cm），FHCE34.6（cm）DH49.6cm，DFDHFH49.634.615（cm），在RtCDF中，sinDCF，DCF30°，此时台灯光线为最佳【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型7（2019上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在ADE的位置（如图2所示）已知AD90厘米，DE30厘米，EC40厘米（1）求点D到BC的距离；（2）求E、E两点的距离【分析】（1）过点D作DHBC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出ADAD90厘米，DAD60°，利用矩形的性质可得出AFDBHD90°，在RtADF中，通过解直角三角形可求出DF的长，结合FHDCDE+CE及DHDF+FH可求出点D到BC的距离；（2）连接AE，AE，EE，利用旋转的性质可得出AEAE，EAE60°，进而可得出AEE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EEAE，在RtADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EEAE可得出E、E两点的距离【解答】解：（1）过点D作DHBC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示由题意，得：ADAD90厘米，DAD60°四边形ABCD是矩形，ADBC，AFDBHD90°在RtADF中，DFADsinDAD90×sin60°45厘米又CE40厘米，DE30厘米，FHDCDE+CE70厘米，DHDF+FH（45+70）厘米答：点D到BC的距离为（45+70）厘米（2）连接AE，AE，EE，如图4所示由题意，得：AEAE，EAE60°，AEE是等边三角形，EEAE四边形ABCD是矩形，ADE90°在RtADE中，AD90厘米，DE30厘米，AE30厘米，EE30厘米答：E、E两点的距离是30厘米【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出DF的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度8（2019遵义）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC154米，步行道BD168米，DBC30°，在D处测得山顶A的仰角为45°求电动扶梯DA的长（结果保留根号）【分析】作DEBC于E，根据矩形的性质得到FCDE，DFEC，根据直角三角形的性质求出FC，得到AF的长，根据正弦的定义计算即可【解答】解：作DEBC于E，则四边形DECF为矩形，FCDE，DFEC，在RtDBE中，DBC30°，DEBD84，FCDE84，AFACFC1548470，在RtADF中，ADF45°，ADAF70（米），答：电动扶梯DA的长为70米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键9（2019西藏）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由【分析】过A作ADBC于点D，求出CAD、DAB的度数，求出BAC和ABC，根据等边对等角得出ACBC12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可【解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作ADBC，垂足为D，根据题意可知ABC30°，ACD60°，ACDABC+BAC，BAC30°ABC，CBCA20，在RtACD中，ADC90°，ACD60°，sinACD，sin60°，AD20×sin60°20×1010，渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线10（2019永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（可能用到的数据：1.414，1.732）【分析】设ABx，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案【解答】解：设ABx，由题意可知：ACB45°，ADB30°，ABBCx，BDBC+CDx+400，在RtADB中，tan30°，解得：x546.4，山高AB为546.4米【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型11（2019鄂尔多斯）某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处（1）求E，A两地之间的距离；（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°）【分析】（1）作CHAD于H由题意HEC45°，可得CHEH，设CHHEx千米，则AHCH（x+15）千米，构建方程即可解决问题（2）求出BA的长，再求出校车的速度即可判断【解答】解：（1）如图，作CHAD于H由题意HEC45°，可得CHEH，设CHHEx千米，点C是AB的中点，CHBD，AHHD（x+15）千米，在RtACH中，tan37°，x45，CH45（千米），AH60（千米），AD120（千米），EAADDE12015105（千米）（2）在RtACH中，AC75（千米），AB2AC150（千米），150÷90千米/小时，90100，校车没有超速【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型12（2019湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离（结果精确到0.1千米）（参考数据：1.41，1.73）【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM的长【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：AMN90°，ANM30°，BNM45°，AN8km，在直角AMN中，MNANcos30°8×4（km）在直角BMN中，BMMNtan45°4km6.9km答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形13（2019娄底）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i1：1为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为、已知tan2，tan4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）【分析】作AFCD于F设AEx米由斜坡AB的坡度为i1：1，得出BEAEx米解RtBDC，求得BC24米，则AFEC（x+24）米解RtADF，得出DFAFtan2（x+24）米，又DFDCCFDCAE（96x）米，列出方程2（x+24）96x，求出x即可【解答】解：如图，作AFCD于F设AEx米斜坡AB的坡度为i1：1，BEAEx米在RtBDC中，C90°，CD96米，DBC，BC24（米），ECEB+BC（x+24）米，AFEC（x+24）米在RtADF中，AFD90°，DAF，DFAFtan2（x+24）米，DFDCCFDCAE（96x）米，2（x+24）96x，解得x16故山顶A的高度AE为16米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用14（2019陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG2米，小明眼睛与地面的距离EF1.6米，测倾器的高度CD0.5米已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB（小平面镜的大小忽略不计）【分析】过点C作CHAB于点H，则CHBD，BHCD0.5解RtACH，得出AHCHBD，那么ABAH+BHBD+0.5再证明EFGABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD17.5，进而求出AB即可【解答】解：如图，过点C作CHAB于点H，则CHBD，BHCD0.5在RtACH中，ACH45°，AHCHBD，ABAH+BHBD+0.5EFFB，ABFB，EFGABG90°由题意，易知EGFAGB，EFGABG，即，解之，得BD17.5，AB17.5+0.518（m）这棵古树的高AB为18m【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般15（2019内江）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）【分析】作AEBC于E，设BEx，利用正切的定义用x表示出EC，结合题意列方程求出x，计算即可【解答】解：作AEBC于E，则四边形ADCE为矩形，ADCE，设BEx，在RtABE中，tanBAE，则AEx，EAC45°，ECAEx，由题意得，BE+CE120，即x+x120，解得，x60（1），ADCEx18060，DC18060，答：两座建筑物的地面距离DC为（18060）米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键16（2019本溪）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图，分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF30cm，CE：CD1：3，DCF45°，CDF30°，请根据以上信息，解决下列向题（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）【分析】（1）过F作FHDE于H，解直角三角形即可得到结论；（2）过A作AGED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）过F作FHDE于H，FHCFHD90°，FDC30°，DF30，FHDF15，DHDF15，FCH45°，CHFH15，CE：CD1：3，DECD20+20，ABBCDE，AC（40+40）cm；（2）过A作AGED交ED的延长线于G，ACG45°，AGAC20+20，答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20+20）cm【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题