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高数下册复习知识点总结 高数下册复习学问点总结高数下册复习学问点总结：8空间解析几乎与向量代数1.给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，驾驭两个向量垂直和平行的条件。3.了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。空间曲线在坐标平面上的投影方程。4.平面方程和直线方程及其求法。5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。6.点到直线以及点到平面的距离。9多元函数微分法及其应用1.有关偏导数和全微分的求解方法，偏导要求求到二阶。2.复合函数的链式法则，隐函数求导公式和方法。3.空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。4.利用充分条件推断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法（即条件极值）分析实际问题或给定函数的最值问题。10重积分1.二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。2.选择合适的坐标系计算三重积分。3.利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；4.利用质心和转动惯量公式求解问题。11曲面积分与曲线积分1.两类曲线积分的计算与联系；2.两类曲面积分的计算与联系；3.格林公式和高斯公式的应用。12曲面积分与曲线积分1.常数项积分的敛散性判别：（1）正项级数；（2）交织级数；（3）一般级数2.幂级数的收敛域（1）标准型（2）非标准型幂级数的和函数，幂级数绽开3.傅里叶级数的和函数以及绽开式扩展阅读：高数下册总复习学问点归纳(1)高等数学（一）教案期末总复习第八、九章向量代数与空间解析几何总结向量代数定义与运算的几何表达定义向量模有大小、有方向.记作a或AB向量a的模记作a在直角坐标系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabcab单位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0，则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为，则方向余弦分别为cos，cos，cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx，cosy，coszaaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21点乘（数量积）ababcos，为向量a与b的夹角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘（向量积）为向量a与b的夹角cab向量c与a，b都垂直定理与公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a/bcosa/bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab两向量夹角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量nA,B,C点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点法式方程形式及特征直线方向向量Tm,n,p点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0xx0yy0zz0mnp高等数学（一）教案期末总复习xx1三点式yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1两点式线线垂直线线平行线面平行参数式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行线面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0点面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距离AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夹角n1A1,B1,C1n2A2,B2,C2cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222线线夹角s1m1,n1,p1s2m2,n2,p2线面夹角sm,n,pnA,B,CAmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2sinx(t)，y(t)，z(t)，切“线”方程：切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空间(t)曲线：T(t0),(t0),(t0)法平“面”方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“线”方程：y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x)xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空间曲面：n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“线“方程：zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等数学（一）教案期末总复习第十章总结重积分计算方法（1）利用直角坐标系X型Y型积分类型二重积分典型例题f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD（2）利用极坐标系运用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简洁(含(x2y2),平面薄片的质量质量=面密度面积为实数)P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）0I2f(x,y)dxdyD1计算步骤及留意事项f(x,y)对于x是奇函数，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数，即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2应用该性质更便利1画出积分区域2选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分别3确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5计算要简便留意：充分利用对称性，奇偶性高等数学（一）教案期末总复习三重积分(1)利用直角坐标投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos（2）利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简洁；如旋转体If(x,y,z)dvP161例3空间立体物的质量质量=密度面积22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分别.如f(xy)f(xz)f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos（3）利用球面坐标ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简洁;如，球体，锥体.P16510-(1)2222被积函数用球面坐标表示时变量易分别.如，f(xyz)Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案期末总复习第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型参数法（转化为定积分）第一类曲线积分（1）L:y(x)IIf(x,y)ds计算方法典型例题(t)Iaf(x,y(x)1y"(x)dx曲形构件的质量（2）L:y(t)质量=线密度xr()cos弧长（3）rr()()L:f(t),(t)b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P1903yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面其次类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）x(t)L:(t单调地从到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）P，Q具有一阶连续偏导数结论：LPdxQdy(DQP)dxdyxy满意条件干脆应用IPdxQdy应用：有瑕点，挖洞L不是封闭曲线，添加协助线变力沿曲线所做的功P205例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特别路径法）等价条件：QPxyPdxQdy0LLPdxQdy与路径无关，与起点、终点有关P211-例5、例6、例7PdxQdy具有原函数u(x,y)（特别路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空间其次类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）PdxQdyRdzP(t),(t),(t)(t)Q(t),(t),(t)(t)R(t),(t),(t)(t)dtIPdxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（转化其次类曲面积分）L条件：L封闭，分段光滑，有向P，Q，R具有一阶连续偏导数PdxQdyRdzL变力沿曲线所做结论：的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1高等数学（一）教案期末总复习应用：满意条件干脆应用不是封闭曲线，添加协助线第一类曲面积分投影法：zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的质量Dxy质量=面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积（1）投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1Dyz：zz(x,y)，为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2其次类曲面积分Dyz：yy(x,z)，为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y)1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y)dxdyDyz流体流向曲面一侧的流量：xx(y,z)，为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0（2）高斯公式右手法则取定的侧条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2应用：满意条件干脆应用不是封闭曲面，添加协助面（3）两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3转换投影法：dydz(全部类型的积分：z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定义：四步法分割、代替、求和、取极限；2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。高等数学（一）教案期末总复习第十二章总结1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛2两个收敛级数的和差仍收敛用收敛定义，limsn存在n注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.3去掉、加上或变更级数有限项不变更其收敛性4若级数收敛则对这级数的项随意加括号后所成一般项级数的级数仍收敛，且其和不变。常数项级数的基本性质推论假如加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛.常数项级数的基本性质5（必要条件）假如级数收敛则limu0nn0常数项级数交织级数莱布尼茨判别法若unun1且limun0，则(1)n1unnn1收敛比较判别法un和vn都是正项级数，且unvn.若vn收敛，则un也收敛；若un发散，则vn也发散.1若un和vn都是正项级数，且limunl，则n正项级数比较判别法的极限形式vn2若l0,v收0l,un与vn同敛或同散;n3假如l敛,un也收敛；比值判别法根值判别法，vn发散，un也发散。uun是正项级数，limn1,limnun,则1时收nnun敛；1()时发散；1时可能收敛也可能发散.收敛性an0n1,0;R,0;R0,.xn,liman1,Rnan缺项级数用比值审敛法求收敛半径1在收敛域I上连续;2在收敛域(R,R)内可导，3且可逐项求导;s(x)的性质无穷级数幂级数和函数和函数s(x)在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能改变).展成幂级数干脆绽开:泰勒级数间接绽开:六个常用绽开式11nxx(1x1)exn(x)1xn1n1n!T2T2l1a0f(x)(ancosnxbnsinnx)a02n1f(x)dx傅立叶级数an1f(x)cosnxdxbn1f(x)sinnxdx收敛定理x是连续点,收敛于f(x);x是间断点,收敛于1f(x)f(x)2周期延拓f(x)为奇函数，正弦级数，奇延拓；f(x)为偶函数，余弦级数、偶延拓.友情提示：本文中关于高数下册复习学问点总结给出的范例仅供您参考拓展思维运用，高数下册复习学问点总结：该篇文章建议您自主创作。 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