2022年求数列通项公式的方法 2.pdf
学习必备欢迎下载求数列的通项公式的方法1. 定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例 1等差数列na是递增数列，前n 项和为nS，且931,aaa成等比数列，255aS求数列na的通项公式 . 解：设数列na公差为)0(dd931,aaa成等比数列，9123aaa，即)8()2(1121daadadad120d，da1255aS211)4(2455dada由得：531a，53dnnan5353)1(53点评 ：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练一练： 已知数列,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：_；2. 公式法： 已知nS（即12( )naaaf n） 求na， 用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例 2已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa1122( 1),nnnaa,)1(22221nnnaa，.2212aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa.) 1(2323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2() 1(21211211nnnnnnnnn经验证11a也满足上式，所以) 1(23212nnna点评 ：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载练一练： 已知na的前n项和满足2log (1)1nSn，求na；数列na满足11154,3nnnaSSa，求na；3. 作商法：已知12( )na aaf n求na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。如数列na中，, 11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa_ ；4. 累加法：若1( )nnaaf n求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a (2)n。例 3. 已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1( , 3,2, 1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121如已知数列na满足11a，nnaann111(2)n，则na=_ ；5. 累乘法：已知1( )nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。例 4. 已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令) 1( ,3 ,2, 1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32如已知数列na中，21a，前n项和nS，若nnanS2，求na6. 已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。1nnakab解 法： 把 原 递 推 公 式 转 化 为 ：)(1taptann， 其 中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 5. 已知数列na中，11a，321nnaa，求na. 解 ： 设 递 推 公 式321nnaa可 以 转 化 为)(21tatann即321ttaann. 故 递 推 公 式 为)3(231nnaa, 令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb所以nb是以41b为首项， 2 为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna. 1nnnakab解法：该类型较类型3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab） ，得：qbqpbnn11再应用1nnakab的方法解决 .。例 6. 已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载令nnnab2，则1321nnbb,应用例 7 解法得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32练一练 已知111,32nnaaa，求na；已知111,32nnnaaa，求na；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。例 7：1,13111aaaannn解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3)1(111naan3) 1(1n231nan练一练 ：已知数列满足1a=1，11nnnnaaa a，求na；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载数列通项公式课后练习1 已知数列na中，满足a1， a1n+1=2(an+1) （n N ）求数列na的通项公式。2 已知数列na中， an0, 且 a1，1nana（nN）3 已知数列na中， a1， a1n21an（ n N ）求数列na的通项公式4 已知数列na中， a1， a1n 3an，求数列na的通项公式5 已知数列na中， an， a121，a1nnnaa21（nN ）求 an6 设数列na满足 a1=4，a2=2，a3=1 若数列nnaa1成等差数列，求an7 设数列na中， a1=2，a1n=2an+1 求通项公式an8 已知数列na中， a1=1，2a1n= an+ a2n求 an精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
