2015届高三数学（艺术）一轮复习教案第二章函数、导数及其应用第7讲对数与对数函数（人教A版）.doc
第二章函数、导数及其应用第7讲 对数与对数函数一、必记4个知识点1对数的定义如果axN(a>0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算及换底公式(1)对数的性质(a>0且a1)： loga10；logaa1；alogaNN.(2)对数的换底公式： 基本公式：logab(a，c均大于0且不等于1，b>0)(3)对数的运算法则：如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(M·N)logaMlogaN， logalogaMlogaN， logaMnnlogaM(nR)3对数函数的图像与性质a>10<a<1图像定义域(0，)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值正负当x>1时，y>0；当0<x<1，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>04.反函数指数函数yax(a>0且a1)与对数函数ylogax(a>0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称二、必明2个易误区1在运算性质logaMnnlogaM中，易忽视M>0.2解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围三、必会2个方法1对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较2明确对数函数图像的基本点(1)当a>1时，对数函数的图像“上升”；当0<a<1时，对数函数的图像“下降”(2)对数函数ylogax(a>0，且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像只在第一、四象限考点一对数式的化简与求值1.(2013·陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是()Alogab·logcblogcaBlogab·logcalogcbCloga(bc)logab·logac Dloga(bc)logablogac解析：选B利用对数的换底公式进行验证，logab·logca·logcalogcb，则B对2计算下列各题：(1)lglg 70lg 3； (2)lglglg解：(1)原式lglg 101|lg 31|lg 3.(2)lglglg×(5lg 22lg 7)×lg 2(lg 52lg 7)lg 2lg 72lg 2lg 5lg 7lg 2lg 5lg(2×5).考点二对数函数的图像及应用 典例 当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D(，2)解析法一：构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图像，可知，f<g，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为.法二：0<x，1<4x2，logax>4x>1，0<a<1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4x<logax不成立，排除选项A.答案B一题多解若本例变为：若不等式(x1)2<logax在x(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为_.解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2<logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图像在f2(x)logax图像的下方即可当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x(1,2)时f1(x)(x1)2的图像在f2(x)logax的图像下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即loga21.所以1<a2，即实数a的取值范围是(1,2答案：(1,2 针对训练(2014·安徽皖南八校三联)若函数f(x)loga(xb)的大致图像如图，其中a，b为常数，则函数g(x)axb的大致图像是()解析：选B由已知函数f(x)loga(xb)的图像可得0<a<1,0<b<1.则g(x)axb的图像由yax的图像沿y轴向上平移b个单位而得到，故选B.考点三对数函数的性质及应用典例已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解(1)f(1)1，log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x3>0得1<x<3，函数f(x)的定义域为(1，3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.类题通法求复合函数yf(g(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数，若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”课后作业 试一试1(2013·重庆高考)函数y的定义域是()A(，2)B(2，) C(2,3)(3，) D(2,4)(4，)解析：选C由题可知所以x>2且x3，故选C.2(2013·四川高考)lglg的值是_解析：lglglg(×)lg 101.答案：1练一练1函数yloga(3x2)(a>0，a1)的图像经过定点A，则A点坐标是(C)A. B. C(1,0) D(0,1)2(2013·全国卷)设alog32，blog52，clog23，则()Aa>c>b Bb>c>a Cc>b>a Dc>a>b解析：选D易知log23>1，log32，log52(0,1)在同一平面直角坐标系中画出函数ylog3 x与ylog5 x的图像，观察可知log32>log52.所以c>a>b.比较a，b的其他解法：log32>log3，log52<log5，得a>b；0<log23<log25，所以>，结合换底公式即得log32>log52.做一做1(2014·深圳调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)log3(1x)，则f(2)()A1B3 C1 D3解析：选A由题意得，f(2)f(2)log3(12)1.2(2013·广东高考)函数y的定义域是()A(1，) B1，)C(1,1)(1，) D1,1)(1，)解析：选C由题意得故选C.3函数ylg的大致图像为()解析：选D因为ylg是(0，)上的单调递减的偶函数，关于y轴对称，则ylg的图像是由ylg的图像向左平移一个单位长度得到的故选D.4设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)解析：选Df(x)2或0x1或x>1.5(2013·南京模拟)若log2a<0，则a的取值范围是_解析：当2a>1时，log2a<0log2a1，<1.1a>0，1a2<1a，a2a<0，0<a<1， <a<1.当0<2a<1时，log2a<0log2a1，>1.1a>0，1a2>1a.a2a>0，a<0或a>1，此时不合题意综上所述，a.6(2013·北京高考)函数f(x)的值域为_解析：当x1时，logx0，当x<1时，0<2x<2，故值域为(0,2)(，0(，2)答案：(，2)7函数y的定义域为()A(0,8 B(2,8 C(2,8 D8，)解析：选C由题意可知，1lg(x2)0，整理得lg(x2)lg 10，则解得2<x8，故函数y的定义域为(2,88若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B. Clogx D2x2解析：选Af(x)logax，f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x.9(2013·全国卷)设alog36，blog510，clog714，则()Acba Bbca Cacb Dabc解析：选Dalog361log32，blog5101log52，clog7141log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数ylog3x，ylog5x，ylog7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知abc，故选D.10已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)<f(2)<f(1) Bf(1)<f(2)<f(3)Cf(2)<f(1)<f(3) Df(3)<f(1)<f(2)解析：选B因为f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)又函数f(x)loga|x|为偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(1)<f(2)<f(3)11计算：(log29)·(log34)_.解析：(log29)·(log34)××4.答案：412设2a5bm，且2，则m_.解析：由2a5bm，得alog2m，blog5m，又2，即2，2，即m.13(2014·长春模拟)设f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域(2)求f(x)在区间上的最大值解：f(1)2，loga42(a>0，a1)，a2.由得x(1,3)，函数f(x)的定义域为 (1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.信心+细心 第 6 页 共 6 页
