高中数学解题方法之构造法 .docx

精品名师归纳总结十、构造法解数学问题时， 常规的摸索方法是由条件到结论的定向摸索， 但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情形下 ,常常要求我们转变思维方向，换一个角度去摸索从而找到一条绕过障碍的新途径。历史上有不少闻名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”胜利的解决过数学上的难题。数学是一门制造性的艺术，包蕴着丰富的美,而敏捷、奇妙的构造令人拍手叫绝， 能为数学问题的解决增加颜色，更具讨论和观赏价值。近几年来， 构造法极其应用又逐步为数学训练界所重视，在数学竞赛中有着肯定的位置。构造需要以足够的学问体会为基础，较强的观看才能、 综合运用才能和制造才能为前提，依据题目的特点，对问题进行深化分析，找出“已知”与“所求所证”之间的联系纽带， 使解题另辟蹊径、水到渠成。用构造法解题时， 被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是特别敏捷的， 没有固定的程序和模式， 不行生搬硬套。 但可以尝试从中总结规律： 在运用构造法时， 一要明确构造的目的，即为什么目的而构造。 二要弄清晰问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。再现性题组x 21010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、求证：y构造函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 293可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、假设 x > 0,y > 0,x +y = 1 ，就 x1y1xy25构造函数4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知 0a1， 0b1，求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b2a1 2b2a 2b1 2a12b1 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结构造图形、复数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、求证：7x29x 2 9 ，并指出等号成立的条件。 构造向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、已知： a>0、b>0 、c>0 , 求证：a 2abb 2b2bcc2a2acc2 当且仅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 11ba1时取等号。构造图形c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、求函数 yx1x 的最大值构造三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再现性题组简解：t 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、解：设 tx29t3就 f ty，用定义法可证： f t 在 3,t 上单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结调递增，令： 3 t1t2就f t1 f t2 t112t1t 212t 2t1t 2t1t 210t1t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 210 yx 29f 33311033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、解：左边x yxy1y xxy2xy1 xy令 t =xy，就 0t2xy1，24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f tt1 在 0, t1 上单调递减4f tf 1 1744可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、解：构造单位正方形，O是正方形内一点， O到 AD,AB的距离为 a,b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| AO| + |BO| + |CO| + |DO| | AC| + |BD| ， 其中| AO |a 2b2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| BO | a1 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| CO | a1 2b1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| DO |a 2b1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又： |AC | BD |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 2b 2a1 2b2a 2b1 2a12b1 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另解：从不等式左边的结构特点简洁联想到复数的模，将左边看成复数Z1=x+y i, Z 2 = x + 1 y i ， Z3 = 1 x +y i， Z 4 = 1 x + 1 yi 模的和，又留意到Z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Z2 Z 3 Z4 2 2i， 于 是 由z1 z2 z3 z4 z1z2z3z4 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2x21y 21x 2y21x21y222222 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、解：不等式左边可看成7 与 x 和 2 与9x2两两乘积的和，从而联想到数量积的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标表示，将左边看成向量a =7 ,2 与 b = x,9x2的数量积，又a b| a | b | ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以7x29x2 7 22 2 ·x29x2 9 当且仅当 b = a >0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2时等号成立，故由x9x0 得： x=7 , =1 ，即 x =7 时，等号成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结725、解：从三个根式的结构特点简洁联想到余弦定理，于是可构造如以下图形：作 OA a， OB b， OCc， AOB= BOC=6°0如图 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AOC 120°， AB=a 2abb2，BC=b2bcc2,AC=a2acc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由几何学问可知： AB BCAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2abb2 +b2bcc 2 a 2acc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 A 、B、C 三点共线时等号成立，此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 absin 6021 bcsin 6021 ac sin1202，即 ab+bc=ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故当且仅当 1b11时取等号。ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、解：由根号下的式子看出x+ 1x= 1 且 0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故可联想到三角函数关系式并构造xsin202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ysin xcos x2 sin ， 当41即 x时，42ymax2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结示范性题组一、构造函数懂得和把握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个熟悉上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，假设奇妙运用函数思想，能使解答独树一帜，耐人寻味。【例 1】、已知 x,y,z0，1，求证： x1-y+y1-z+z1-x 1 第 15 届俄罗斯数学竞赛题分析：此题条件、结论均具有肯定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。证 ： 构 造 函 数 fx=y+z-1x+yz-y-z+1 y,z 0,1, f0=yz-y-z+1=y-1z-1 0 ，f1=y+z-1+yz-y-z+1=yz 0，而 fx 是一次函数，其图象是直线，由x 0,1恒有fx 0，即 y+z-1x+yz-y-z+1 0，整理可得 x1-y+y1-z+z1-x 1二、构造方程：方程是解数学题的一个重要工具，很多数学问题， 依据其数量关系， 在已知和未知之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】、已知 a,b,c 为互不相等的实数，试证：bca-ba-c+acb-ab-c+abc-ac-b=11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：构造方程 x-bx-ca-ba-cx-ax-cx+b-ab-c+ ca xa cb=12b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显 a,b,c 为方程的三个互不相等的实根。从而对任意实数x 均满意 2式。特殊的，令 x=0，即得 1式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3】、设 x,y 为实数，且满意关系式：x13 y131997x1997 y1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 x+y=.1997 年全国高中数学联赛试题分析：此题用常规方法，分别求出x 和 y 的值后再求 x+y 就既繁又难，三次方程究竟不熟可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结悉。假设将两方程联立构造出方程 x131997 x11y319971y1，利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用函数 ft=t 3 +1997t 的单调性，易得x11y ，自然、简洁。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、构造复数复数是实数的延长， 一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。【例 4】、a,b,x,y 正实数 , 且 x2+y 2=1, 求证： a2x2+b2y2 +a2y 2+b 2x2 = a+b证：设 z1=ax+byi ， z2=bx+ayi ，就a2x 2+b2y2 +a2 y2 +b2x 2 = Z1 + Z2 Z1+Z2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a+bx+a+byi=a+bx 2y 2=a+b，不等式得证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、构造代数式代数式是数学的重要组成要素之一，有很多性质值得我们去发觉和应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 5】、当 x3 1 时，求 y1 x32x2x1 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由条件得x31所以 x13，构造 x1的因式 y=1 x3x2x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结132121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= x 22 x2 x2 = xx213x2 =3x23x2 =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、构造数列相当多的数学问题，特殊是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的成效。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n【例 6】证明 :11nn 111n=1,2,3 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n分析此命题假设直接证明，颇具难度，倘假设构造数列x 1=x 2= =xn=1+ 1,xn+1=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用平均值不等式 x1+x 2+x n+1n+1xx x，顿使命题明朗化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、构造向量n+11 2n+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结新教材的一个重要特点是引入向量,代数、几何、三角中的很多问题都可以利用向量这一工具来解决 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 7】已知 a,b,c 为正数 ,求函数 y=x 2a2cx2b2 的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222解: 构造向量 a =x,a, b =c-x,b, 就原函数就可化为:y= a + b a + b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xcx七、构造几何图形abcab， ymin=cab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般来讲， 代数问题较为抽象，假设能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。【例 8】、见【例 1】证：构造边长为 1 的正 ABC ， D， E， F 为边上三点， 并设 BD=x ，CE=y ， AF=z ，如图 1明显有 SBDE +S CEF+S ADF<34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 3 x1-y+344y1-z+34z1-x34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这道竞赛题能如此简洁、直观的证明，真是妙不行言。422 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 9】、求证：349x2 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简析：49x 2的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令y49x 2 y0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1就其图象是椭圆44的上半部分，设 y2x= m，于是只需证94m2 13 ,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因 m 为直线 y= 2x m 在 y 轴上的截距，由图可知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当直线 y = 2 x m 过点2 ， 0时， m 有最小值为 m=4 。33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当直线 y =2xm 与椭圆上半部分相切时，m 有最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2xm由得： 13x2 + 4mx + m 2 4 = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9x2y 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 = 452 9m2=0 得： m213或 m3 2 133舍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 m 的最大值为八、构造模型2 13 ，故34m2 13 ，即433349 x22 x2 133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数学和其它学科一样，要学以致用，“建模”思想就把数学这门高度抽象的基础学科与实际生活紧密的联系在一起，在实际中渗透数学思想， 把数学中的理论作为工作，充分发挥其作用，因而很多问题可通过构造模型来处理【例 10】哥尼斯堡七桥问题18 世纪,东普鲁士首府，布勒尔河穿城而过，河中间有两个小岛，如图。当的的居民常到这漫步， “ 如何能不重复的一次走遍这七座桥而返回B动身的了？” 很多人均未胜利，这便产生了数学史上闻名的“七桥问题”。1735 年 欧拉对该问题进行抽象，构造出图论中的 “一笔画” 模型才知该问题无解，这一模型的构造充分展现出欧拉超人的聪明。近年来，构造模型的方法越来越被重视，并成为高考中的一道特殊的风景线。九、构造情境有一些问题看似简洁，但真正处理起来非难就繁，如能合理、 奇妙的构造一些情境，不但易使问题“柳暗花明” ，而且其新奇特殊的解题模式让人深刻感受到数学思想维的精妙。【例 11】如图 4 摆放的 24 张牌， 全部反面朝上， 以任意一张牌为起点翻牌，一张挨一张翻， 只能横着或竖着翻，不能斜着或跳着翻，问能否将每一张牌全部翻过来？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 由于每翻一张牌， 翻下一张牌又有假设干不同的情形， 于是情形尤为复杂， 难以一一尝试， 我们可以用一特殊的方法来解决此题。 构造如下情境： 假设各张牌如图 5 染上白色或黑色， 使得黑白相间。这样，每张牌的下一张牌就是不同色的。而由翻牌的规章可知翻完所有的牌时两色牌至多相差一张，但由图 5 知白色牌比黑色牌多 2 张，明显不行办得到。从以上各例不难看出， 构造法是一种极富技巧性和制造性的解题方法， 表达了数学中发觉、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探究、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中观赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启发聪明，并对培育多元化思维和创新精神大有裨益。构造法表达了数学发觉的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，不是凭空“臆造” ，而是要以所把握的学问为背景，以具备的才能为基础，以观看为先导，以分析为武器，通过仔细的观看、分析、去发觉问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法制造条件。稳固性题组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、已知 x > 0 ，求证：x11xx1x5构造函数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、假设 0a1 k k2, kN * ，且 a 2ab ，就 b1构造函数k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、记f x1x 2， ab0 ，就 |f af b |ab 构造图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、求证：（1 y 2xy322xy6 21构造向量6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结35、正数a, b 满意 ab32 ，求证： ab2 巧用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、求证：假如 xx21 yy211，那么 xy0 构造函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、已知数列 an ,an2an 1n1,a11 , 求 an 构造数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、求证：111.1其中 nN+构造数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n23n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、求函数f xx24x13x210x26 的值域构造图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、 求函数 ysin x cos x的最值构造图形3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结构造法稳固性题组答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、解：构造函数f xx1 x x0 就 x1 x2 ， 设 2 <可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 f f 11 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 <> 0,1 > 0,> 0上式 > 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x 在 2, 上单调递增，左边f 252可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、解：令f aaa 2 ，又 0a11 ， fk2a 在0,1 上单调递增2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 baa21f k11kk2k1k11k 2k 21k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、解：构造矩形 ABCD,F 在 CD上，使| AB| =a, |DF| =b, |AD| = 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 | AC| AF| | CF| 注：此题也可用分析法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、解：不等式左边的特点，使我们简洁联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a =1 y , x+y3 , 2 x+y 6模的平方，又 a b| a | b |,为使 a b 为常数，依据待定系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法又可构造 b1,2,1 于是 | a | | b |=1y2xy3 2 2xy62 ·6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b （1 y 1 xy3 22 xy6（1） =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以1y2 xy3 2 2xy6 2 ·61可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2即（1 y xy32 2 xy6 216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、分析：条件式中次数是3 次，而结论式中是1 次，所以需要降幂。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又结论式是不等式，当且仅当ab1时成立。于是考虑构造均值不等式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由均值不等式 a3b 3c33abc 得：a 313133a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 b313133b 2由 1+2变形整理得： ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、证明：构造函数f xlg xx21) xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易证 fx在 R 上是奇函数且单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx21 yy211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f xf ylg xx21 + lg yy 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= lg xx1) yy21 =lg1 = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf y即：f xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又f x 是增函数xy 即 xy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、分析：我们期望 an2an 1n1,a11 化为 anAnb2an 1An1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即anAnB2an 12 An2 A2 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an2 an 1An2 ABA12A +B=1B3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由已知ann32an 1 n13设 bnann3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 bn2bn 1即 bn 是公比为 2 的等比数列且 b1a1131135可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nb52 n 1就 an52n 1n3nN* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着亲密的联系， 这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、分析：构造数列模型an11.11，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n23n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有 an 1an1111112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n43n33n2n123n43n23n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n23n33n40 ，所以数列 an为递增数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又因 a1111110 ，故 an234120 其中 nN+，即原不等式得证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评 注欲 证 含 有 与 自 然 数 n有 关 的 和 的 不 等 式 fn>gn ， 可 以 构 造 数 列 模 型可编辑资料 -