23函数的奇偶性与周期性.doc
2-3 函数的奇偶性与周期性1.(·北京西城区抽检)以下各函数中，()是R上的偶函数()Ayx22xBy2xCycos2x Dy答案C解析A、B不是偶函数，D的定义域xR|x±1不是R，应选C.2(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)2x3，那么f(2)的值等于()A1 B.C1 D答案A解析f(2)2231，又f(x)是奇函数，f(2)f(2)1，应选A.(理)(·浙江杭州月考)函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xm(m为常数)，那么f(1)的值为()A3 B1C1 D3答案A解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即f(0)20m0，解得m1.f(x)2x2x1，f(1)212×113，f(1)f(1)3.3(文)(·济南模拟)函数f(x)(xR)是周期为3的奇函数，且f(1)a，那么f()的值为()Aa BaC0 D2a答案B解析f(x)周期为3，f()f(670×31)f(1)，f(x)为奇函数，f(1)a，f(1)a，应选B.(理)(·兰州诊断、河北三校联考)f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x2)，当1x2时，f(x)x2，那么f(6.5)()A4.5 C0.5 答案D解析f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)，f(x)周期为4，f(6.5)f(6.58)f(1.5)f(1.5)1.520.5.4(文)(·北京东城一模)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)ln(x1)，那么函数f(x)的图象大致为()答案C解析函数f(x)ln(x1)的图象由f(x)lnx的图象向左平移1个得到，选取x>0的局部，然后作关于y轴的对称图形即得(理)(·北京西城模拟)定义在R上的偶函数f(x)的局部图象如下列图，那么在(2,0)上，以下函数中与f(x)的单调性不同的是()Ayx21 By|x|1Cy Dy答案C解析f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(2,0)上为减函数，而yx31在(，0)上为增函数5(·青岛模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(3)2，且对任意的x都有f(x3)，那么f()的值为()A2 B2C2 D3答案A解析由题意得f(x6)f(x33)f(x)函数f(x)的周期为6.f()f(335×6)f(6)，而f(6)f(33)2.6(文)(·合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，那么满足f(2x)f()的所有x之和为()A BC8 D8答案C解析f(x)是偶函数，f(2x)f()f(|2x|)f(|)又f(x)在(0，)上为单调函数，|2x|，即2x或2x整理得2x27x10或2x29x10设方程2x27x10的两根为x1，x2，方程2x29x10的两根为x3，x4.那么(x1x2)(x3x4)()8.(理)f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(3)，cf()，那么a、b、c的大小关系是()Ac<b<a Bb<c<aCb<a<c Da<b<c答案C解析由题意知f(x)f(|x|)log47log2>1，|3|log23>log2，0<<1，|3|>|log47|>|.又f(x)在(，0上是增函数，且f(x)为偶函数，f(x)在0，)上是减函数b<a<c.应选C.7(文)假设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x2对称，且当x(2,2)时，f(x)x2f(5)_.答案0解析由题意知f(5)f(5)f(23)f(23)f(1)(1)210.yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域都是，且它们在x0，上的图象如下列图，那么不等式<0的解集是_答案解析依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，<0，或，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，<x<0或<x<.8设函数f(x)cos(x)(0<<)假设f(x)f (x)是奇函数，那么_.答案解析f (x)sin(x)f(x)f (x)cos(x)sin(x)2cos.f(x)f (x)是奇函数k(kZ)，即k(kZ)又0<<，k0时，.9定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递减，且f()0，那么满足f(x)<0的集合为_答案(0，)(2，)解析由题意知f(x)<0的解为x>或x<，由f(x)<0得x>或x<，0<x<或x>2.10(文)函数f(x)1(a>0且a1)是定义在(，)上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x(0,1时，tf(x)2x2恒成立，求实数t的取值范围解析(1)f(x)是定义在(，)上的奇函数，即f(x)f(x)恒成立，f(0)0.即10，解得a2.(2)y，2x，由2x>0知>0，1<y<1，即f(x)的值域为(1,1)(3)不等式tf(x)2x2即为2x2.即：(2x)2(t1)·2xtxu，x(0,1，u(1,2u(1,2时u2(t1)·ut20恒成立，解得t0.(理)(·烟台模拟)函数f(x)ax(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)假设函数f(x)在x3，)上为增函数，求a的取值范围解析(1)定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当a0时，f(x)，满足对定义域上任意x，f(x)f(x)，a0时，f(x)是偶函数；当a0时，f(1)a1，f(1)1a，假设f(x)为偶函数，那么a11a，a0矛盾；假设f(x)为奇函数，那么1a(a1)，11矛盾，当a0时，f(x)是非奇非偶函数(2)对任意x1，x23，)，且x1>x2，f(x1)f(x2)ax1ax2a(x1x2)(x1x2)(a)x1x2>0，f(x)在3，)上为增函数，a>，即a>在3，)上恒成立<，a.11.(·泰安模拟)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，那么方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数至少是()A1B4C3D2答案B解析由f(2)0，得f(5)0，f(2)0，f(5)0.f(2)f(23)f(1)0，f(5)f(59)f(4)0，故f(x)0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个12(·开封调研)f(x)(xR)为奇函数，f(2)1，f(x2)f(x)f(2)，那么f(3)等于()A. B1C. D2答案C分析为求f(3)先求f(1)，为求f(1)先在f(x2)f(x)f(2)中，令x1，利用f(x)为奇函数，可解出f(1)解析令x1得f(1)f(1)f(2)f(2)f(1)，f(1)f(2)，f(3)f(1)f(2).点评解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：假设奇函数f(x)(xR)满足f(3)1，f(x3)f(x)f(3)，那么f等于()A0B1C. D答案C解析在f(x3)f(x)f(3)中取x得，fff(3)，f (x)是奇函数，且f(3)1，f.13(文)(·山东淄博一模)设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，假设f(1)1，f(2)，那么a的取值范围是()Aa<1或a Ba<1C1<a Da答案C解析函数f(x)为奇函数，那么f(1)f(1)由f(1)f(1)1得，f(1)1；函数的最小正周期T3，那么f(1)f(2)，由1解得，1<a.(理)(·新方一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，那么()Af(25)<f(11)<f(80)Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25)Df(25)<f(80)<f(11)答案D解析f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，f(x)周期为8.f(80)f(0)，又f(x)为奇函数，f(25)f(241)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，由条件知f(x)在2,2上为增函数，f(1)<f(0)<f(1)，f(25)<f(80)<f(11)14(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，那么f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.答案0解析f(x)的图象关于直线x对称，ff，对任意xR都成立，f(x)f(1x)，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1x)f(1x)f(2x)，周期T2f(0)f(2)f(4)0又f(1)与f(0)关于x对称f(1)0f(3)f(5)0填0.(理)假设函数f(x)(a为常数)在定义域上为奇函数，那么实数a的值为_答案1或1解析f(x)f(x)f(x)0恒成立，所以a1或1.15函数f(x)exex(xR且e为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立？假设存在，求出t；假设不存在，请说明理由解析(1)f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，f(x)为奇函数；f(x)ex，而yex为增函数，y为增函数，f(x)为增函数(2)f(xt)f(x2t2)0，f(x2t2)f(xt)，f(x)为奇函数，f(x2t2)f(tx)，f(x)为增函数，x2t2tx，t2tx2x.由条件知，t2tx2x对任意实数x恒成立，当xR时，x2x(x)2.t2t，(t)20，t.故存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切实数x都成立16(·泉州模拟)函数f(x)loga(a>0且a1)是奇函数(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，)上的单调性并加以证明；(3)当a>1，x(1，)时，f(x)的值域是(1，)，求a的值解析(1)f(x)是奇函数，x1不在f(x)的定义域内，x1也不在函数定义域内，令1m·(1)0得m1.(也可以由f(x)f(x)恒成立求m)(2)由(1)得f(x)loga(a>0且a1)，任取x1，x2(1，)，且x1<x2，令t(x)，那么t(x1)，t(x2)，t(x1)t(x2)，x1>1，x2>1，x1<x2，x11>0，x21>0，x2x1>0.t(x1)>t(x2)，即>，当a>1时，loga>loga，即f(x1)>f(x2)；当0<a<1时，loga<loga，即f(x1)<f(x2)，当a>1时，f(x)在(1，)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(1，)上是增函数(3)a>1，f(x)在(1，)上是减函数，当x(1，)时，f(x)>f()loga(2)，由条件知，loga(2)1，a2.1g(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，)内有1005个零点，那么f(x)的零点共有()A1005个 B1006个C个 D个答案D解析奇函数的图象关于原点对称，g(x)在(0，)上与x轴有1005个交点，故在(，0)上也有1005个交点，又f(0)0，共有零点个2(·杭州模拟)假设函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，那么使得f(x)<0的x的取值范围是()A(，2) B(2,2)C(，2)(2，) D(2，)答案B解析f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，f(x)在(0，)上为增函数，由f(x)<f(2)得f(|x|)<f(2)，|x|<2，2<x<2.3以下函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()Af(x)sinx Bf(x)|x1|Cf(x)(axax) Df(x)ln答案D解析ysinx与yln为奇函数，而y(axax)为偶函数，y|x1|是非奇非偶函数ysinx在1,1上为增函数应选D.4(·安徽理，4)假设f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，那么f(3)f(4)()A1 B1C2 D2答案A解析f(3)f(4)f(2)f(1)f(2)f(1)211，应选A.5定义两种运算：ab，ab|ab|，那么函数f(x)()A是偶函数B是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数答案B解析f(x)，x24，2x2，又x0，x2,0)(0,2那么f(x)，f(x)f(x)0，应选B.6函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，假设g(1)2，那么f()的值为()A2 B0C2 D±2答案A解析由：g(x)f(x1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，即f(x)的周期T4，f()f(0)g(1)2，应选A.
