2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(文科).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若集合Ax|5<x<2，Bx|3<x<3，则AB()Ax|3<x<2 Bx|5<x<2Cx|3<x<3 Dx|5<x<32圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)223下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin x Byx2cos xCy|ln x| Dy2x4某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A.90 B100C180 D3005执行如图所示的程序框图，输出的k值为()A3 B4C5 D66设a，b是非零向量，“a·b|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1 B.C. D28某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A6升 B8升C10升 D12升第卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上)9复数i(1i)的实部为_1023，3，log25三个数中最大的数是_11在ABC中，a3，b，A，则B_12已知(2，0)是双曲线x21(b>0)的一个焦点，则b_13如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_14高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_；(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分13分)已知函数f(x)sin x2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值16(本小题满分13分)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？17(本小题满分13分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18.(本小题满分14分)如图，在三棱锥V­ABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥V­ABC的体积19(本小题满分13分)设函数f(x)kln x，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点20(本小题满分14分)已知椭圆C：x23y23，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由参考答案与详解本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1解析：选A如图所示，易知ABx|3<x<22解析：选D圆的半径r，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.3解析：选B因为yx2是偶函数，ysin x是奇函数，ycos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数yln x的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y，是非奇非偶函数4解析：选C设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得，故x180.5解析：选B程序框图运行如下：k0，a3×，k1，此时>；a×，k2，此时>；a×，k3，此时>；a×，k4，此时<，输出k4，程序终止6解析：选A因为a·b|a|b|cosa，b，所以当a·b|a|b|时，有cosa，b1，即a，b0°，此时a，b同向，所以ab.反过来，当ab时，若a，b反向，则a，b180°，a·b|a|b|；若a，b同向，则a，b0°，a·b|a|b|，故“a·b|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件7解析：选C根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD，在RtVBD中，VD.8解析：选B因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 60035 000600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷68(升)第卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上)9解析：因为i(1i)ii21i，所以实部为1.答案：110解析：因为23<1，1<3<2，log25>log242，所以三个数中最大的数是log25.答案：log2511解析：在ABC中，根据正弦定理，有，可得sin B.因为A为钝角，所以B.答案：12解析：由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c2.根据双曲线的标准方程，可知a21.又c2a2b2，所以b23.又b>0，所以b.答案：13解析：把z2x3y变形为yxz，通过平移直线yx知，当过点A(2，1)时，z2x3y取得最大值为zmax2×23×17.答案：714答案：(1)乙(2)数学三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15解：(1)因为f(x)sin xcos x2sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间上的最小值为f.16(本小题满分13分)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1，2，)(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64×261128.由1282n2得n63，所以b6与数列an的第63项相等17解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大18.解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于OC·SVAB.又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为.19解：(1)由f(x)kln x(k>0)，得x>0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：X(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1， 上的唯一零点当k>e时，f(x)在区间(1， 上单调递减，且f(1)>0，f()<0，所以f(x)在区间(1， 上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点20解：(1)椭圆C的标准方程为y21，所以a，b1，c.所以椭圆C的离心率e.(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)，直线AE的方程为y1(1y1)(x2)令x3，得M(3，2y1)所以直线BM的斜率kBM1.(3)直线BM与直线DE平行理由如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又因为直线DE的斜率kDE1，所以BMDE.当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y1(x2)令x3，得点M，由得(13k2)x26k2x3k230，所以x1x2，x1x2.直线BM的斜率kBM.因为kBM10，所以kBM1kDE，所以BMDE.综上可知，直线BM与直线DE平行